一元二次方程知識點總結(jié)及典型習(xí)題解析

1、一元二次方程、本章知識結(jié)構(gòu)框圖二、具體內(nèi)容(一)、一元二次方程的概念1 .理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個數(shù)為1,未知數(shù)的最高次數(shù)為 2,整式方程，可化為一般形式；2 .正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù)2(1)明確只有當(dāng)二次項系數(shù) a#0時，整式方程ax+bx+c =0才是一元二次方程。(2)各項的確定(包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù) ).(3)熟練整理方程的過程3 . 一元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解4 .列出實際問題的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1 .明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為

2、一元一次方程求解；2 .根據(jù)方程系數(shù)的特點，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 .體會不同解法的相互的聯(lián)系；4 .值得注意的幾個問題：22(1)開平方法：對于形如 x =門或(2*+9 =n(a #0)的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負數(shù)，可用開平方法求解形如x2 = n的方程的解法：當(dāng) n >0時，x = ±Jn ；當(dāng) n = 0 時，x1 = x2 = 0 ;當(dāng)n <0時，方程無實數(shù)根。(2)配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x + m)2 =門的方程，再運用開平方法求解。配

3、方法的一般步驟：移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊;,.2一(x+m) = n的形式;“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為1;配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為求解：若n之0時，方程的解為x = -m土 Jn,若n<0時，方程無實數(shù)解。(3)公式法：一元二次方程2ax+ bx + c = 0(a = 0)的根 x =- b 二 b2 -4ac2a當(dāng)b2 -4ac >0時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根不相等；2b當(dāng)b -4ac =0時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根相等，寫為xi = x2 =2a當(dāng)b2 -

4、4ac <0時，方程無實數(shù)根.公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定 a,b,c的值；代入b2-4ac中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根；若 b2 -4ac之0代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。(因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0,那么這兩個因式至少有一個為0,即:若 ab=0,則 a = 0M£b = 0 ；因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得到

5、兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。(5)選用適當(dāng)方法解一元二次方程對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應(yīng)注意二次根式的化簡問題。方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。(6)解含有字母系數(shù)的方程(1)含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；(2)對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進行討論。第16頁共14頁(三)、根的判別式1. 了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用

6、判別式求一元二次方程中符合 題意的參數(shù)取值范圍。(1) A = b2 _4ac(2)根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程ax2 +bx +c = 0 ( a = 0)當(dāng)Ja #0。方程有實數(shù)根;A至0時a #0' A0時U方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)'a#0u方程有兩個相等的實數(shù)根；)= 0 時a #0當(dāng)1方程無實數(shù)根; <0時從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2.常見的問題類型(1)利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況(2)已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍(3)應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況

7、先計算出判別式(關(guān)鍵步驟)；用配方法將判別式恒等變形；判斷判別式的符號；總結(jié)出結(jié)論.例：求證：方程(a2+1)x2-2ax + (a2+4) = 0無實數(shù)根。(4)分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時未指明是二次方程，后面也未指明兩個根，那一定要對方程進行分類討論，如果二次系數(shù)為0,方程有可能是一元一次方程；如果二次項系數(shù)不為0, 一元二次方程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根。(5) 一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式(組)等知識綜合命題，解答時要在全面分析的前提下，注意合理運用代數(shù)式的變形技巧(6) 一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合(7) 判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問

8、題(四)、一元二次方程的應(yīng)用1 .數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2 .幾何問題：這類問題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對結(jié)果要 結(jié)合幾何知識檢驗。3 .增長率問題（下降率）：在此類問題中，一般有變化前的基數(shù)（ a）,增長率（x）,變化的次數(shù)（n）, 變化后的基數(shù)（b）,這四者之間的關(guān)系可以用公式 a（l+x）n=b表示。4 .其它實際問題（都要注意檢驗解的實際意義，若不符合實際意義，則舍去）。（五）新題型與代幾綜合題（1）有100米長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600平方米，在場地的北面有一堵50

9、米的舊墻，有人用這個籬笆圍成一個長40米、寬10米的倉庫，但面積只有 400平方米，不合要求，問應(yīng)如何設(shè)計矩形的長與寬才能符合要求呢？（2）讀詩詞解題（列出方程，并估算出周瑜去世時的年齡）：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位學(xué)子算得準(zhǔn)，多少年華屬周瑜？ （36歲）已知：a,b,c分別是AABC勺三邊長，當(dāng)m>0時，關(guān)于x的一元二次方程c（x2 +m） +b（x2 m） 2%；'max = 0有兩個相等的實數(shù)根，求證：AABC是直角三角形。（4）已知：a,b,c分別是AABC的三邊長，求證：方程 b2x2+（b2 +

10、c2a2）x + c2 = 0沒有實數(shù)根。（5）當(dāng)m是什么整數(shù)時，關(guān)于x的一元二次方程 mx24x + 4 = 0與x2 - 4mx + 4m2 4m - 5 = 0的根都是整數(shù)？ （ m=1）2m -1_(6)已知關(guān)于x的萬程x +2x +=0,其中m為實數(shù)，(1)當(dāng)m為何值時，方程沒有實x 2x-2m數(shù)根？ ( 2)當(dāng)m為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根？求出這三個實數(shù)根。答案：(1) m <-2 (2) x = -1,1±V2.(六)相關(guān)練習(xí)(一)一元二次方程的概念1. 一元二次方程的項與各項系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項，一次項，常數(shù)項：_

11、22(1)5x 一2 =3x(5x ,-3x,-2)(2)、,2 _6x2 _15x =0(6x2,15x,- . 2)(3) 3y(y 1) =7(y 2) -5(3y2,_4y,_9)(4) (m . m)(m - . m) (m -2)2 =7 -5m(2m2,0, -3)222(5) (5a -1)2 -4(a -3)2(3a2,2a,-5)2 .應(yīng)用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值2(1) m為何值時，關(guān)于 x的方程(m J2)xm (m+3)x = 4m是一元二次方程。(2)若分式x - 7x - 8一n= 0 ,則 x =x -13 .由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值(

12、1)關(guān)于x的一元二次方程(a 1)x2+x + a2 1 =0有一個根為0,則2=(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a #0)有一個根為1, 一個根為1,則a+b+ c =a -b c =(3)已知c為實數(shù)，并且關(guān)于x的一元二次方程x23x + c =0的一個根的相反數(shù)是方程 x2+3x-c = 0的一個根，求方程 x2 +3x c = 0的根及c的值。(二)一元二次方程的解法_ 2(2) 169(x-3) =2891.開平方法解下列方程：(3) y2 361 =0(1) 5x2 -125 =0(4) (1-<3)m2 =0(5)2(3x 1)2 =8 52_(2) y

13、 +5y+1=0(2) p2 3 = 2.3p2.配方法解方程：(1) x2 2x -5 =0(3) 2 y2 -'4y = -33.公式法解下列方程：(1) 3x2 = 6x -222(3) 7y =11y(4) 9n =5n2(5) x 2 = (x -2)(2x -1)-34.因式分解法解下列方程:2(2) y 4y -45 = 01 2(1) -x2 -9=04(3) 8x2 10x -3 =0(4) ,7x2-.21x=0(5) 6x2 -3,3x =2、.2x-、,6， 一、2(6) (x -5) =2(x-5)-1 (x2 3x)2 -2(x2 3) -8 =0222(2

14、) 2m -m 1=2(m -2m)5.解法的靈活運用(用適當(dāng)方法解下列方程)(1)2(2x -7)2 =128(3) 6x(x -2) =(x 2)(x - 3)2 一 一一(4)y 3y(3-2y)y(3y-1)3 一 23225 5) 81(2x -5)2 =144(x -3)26 .解含有字母系數(shù)的方程( 解關(guān)于x的方程)：(1) x2 -2mx m2 -n2 = 0(2) x2 3a2 = 4ax - 2a 12(3) (m+n)x +2nx = mn (m + n00)(4) a2(x2 -x ， 1) -a(x2 -1) = (a2 - 1)x（三）一元二次方程的根的判別式1.不

15、解方程判別方程根的情況：(1) 4x2_x+3=7x(2) 3(x2+2) = 4x(3) 4x2 - 5 =4、, 5x22. k為何值時，關(guān)于x的二次方程kx26x + 9 = 0(1)有兩個不等的實數(shù)根(2)有兩個相等的實數(shù)根(3)無實數(shù)根3,已知關(guān)于x的方程 4x2 -(m+2)x =1-m有兩個相等的實數(shù)根.求m的值和這個方程的根.2_24,若方程x +2(a+1)x+a +4a5=0有實數(shù)根，求：正整數(shù) a.5.對任意實數(shù) m,求證：關(guān)于x的方程(m2 +1)x2 -2mx + m2 +4=0無實數(shù)根.6. k為何值時，方程(k 1)x2 (2k+3)x + (k+3) =0有實數(shù)

16、根.7.設(shè)m為整數(shù)，且4cm<40時，方程x2 2(2m 3)x+4m2 14m+ 8 = 0有兩個相異整數(shù)根， 求m 的值及方程的根。一元二次方程應(yīng)用題總結(jié)分類及經(jīng)典例題1、列一元二次方程解應(yīng)用題的特點列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展，從列方程解應(yīng)用題的方法來講， 列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一 次，因此這類問題大部分都可通過算術(shù)方法來解決.如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由 于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問題，經(jīng)過兩次增長的平均增長率問題，數(shù)學(xué) 問題中涉及積的一些問

17、題，經(jīng)營決策問題等等.2、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟和列一元一次方程解應(yīng)用題一樣，列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟是：“審、設(shè)、歹h解、答”.(1) “審”指讀懂題目、審清題意，明確已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.這一步是解決問題的基礎(chǔ);(2) “設(shè)”是指設(shè)元，設(shè)元分直接設(shè)元和間接設(shè)元，所謂直接設(shè)元就是問什么設(shè)什么，間接設(shè)元雖然所設(shè)未 知數(shù)不是我們所要求的，但由于對列方程有利，因此間接設(shè)元也十分重要.恰當(dāng)靈活設(shè)元直接影響著 列方程與解方程的難易；(3) “列”是列方程，這是非常重要的步驟，列方程就是找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個相等關(guān)系列出 含有未知數(shù)的等式，即方程.找出相等關(guān)系列

18、方程是解決問題的關(guān)鍵；(4) “解”就是求出所列方程的解；(5) “答”就是書寫答案，應(yīng)注意的是一元二次方程的解，有可能不符合題意，如線段的長度不能為負數(shù)， 降低率不能大于100%等等.因此，解出方程的根后，一定要進行檢驗.3、數(shù)與數(shù)字的關(guān)系兩位數(shù)=(十位數(shù)字)X10十個位數(shù)字三位數(shù)二(百位數(shù)字)X 100 + (十位數(shù)字)X 10十個位數(shù)字4、翻一番翻一番即表示為原量的 2倍，翻兩番即表示為原量的4倍.5、增長率問題(1)增長率問題的有關(guān)公式：增長數(shù)=基數(shù)X增長率實際數(shù)=基數(shù)+增長數(shù)(2)兩次增長，且增長率相等的問題的基本等量關(guān)系式為：原來的X (1+增長率)增長期數(shù)=后來的說明：(1)上述

19、相等關(guān)系僅適用增長率相同的情形；(2)如果是下降率，則上述關(guān)系式為：原來的X (1增長率)下降期數(shù)=后來的6、利用一元二次方程解幾何圖形中的有關(guān)計算問題的一般步驟整體地、系統(tǒng)地審讀題意；(2)尋求問題中的等量關(guān)系(依據(jù)幾何圖形的性質(zhì))；(3)設(shè)未知數(shù)，并依據(jù)等量關(guān)系列出方程；(4)正確地求解方程并檢驗解的合理性；(5)寫出答案.7、列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵(1)審題是設(shè)未知數(shù)、列方程的基礎(chǔ)，所謂審題，就是要善于理解題意，弄清題中的已知量和未知數(shù)，分清 它們之間的數(shù)量關(guān)系，尋求隱含的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)分直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)，這就需根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系正確選擇設(shè)未知數(shù)的方法和正確地設(shè)出未知

20、數(shù).8、列方程解應(yīng)用題應(yīng)注意：(1)要充分利用題設(shè)中的已知條件，善于分析題中隱含的條件，挖掘其隱含關(guān)系；(2)由于一元二次方程通常有兩個根，為此要根據(jù)題意對兩根加以檢驗.即判斷或確定方程的根與實際背景和題意是否相符，并將不符合題意和實際意義的1 .已知直角三角形三邊長為三個連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長和面積2 . 一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4,且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4, 求這個兩位數(shù)3 .某印刷廠在四年中共印刷1997萬冊書，已知第一年印刷了 342萬冊，第二年印刷了 500萬冊，如果以后兩年的增長率相同，那么這兩年各印刷了多少萬冊？4 .某人把5000元存入銀行，定期一年到期后取出300元，將剩余部分（包括利息）繼續(xù)存入銀行，定期還是一年，且利率不變，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？（不計利息稅）5 .某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件，每件盈利