(完整word版)32正規(guī)子群與商群

1、 3.2正規(guī)子群與商群對(duì)一般的群G及N乞G,左、右陪集不一定相等，即一般aN = Na,(見上一章例子，G二S3，N二(1),(12),(13)N = N(13)。但對(duì)某些群G及其子群N乞G，總有性質(zhì)：-a，G,aN二Na。例如，取G二S3,N= A珥(0(123),(132)八G,則當(dāng)a取(1),(123),(132)A時(shí)，總有aN二Na。而當(dāng)a取(12),(13),(23)時(shí)，(12) (12),(23),(13)H N(12)，(13) (13),(23),(12)H N(13)，(23)N珥(23),(13),(12) = N(23)，所以 a G = S3，都有aN二Na。再比如，交

2、換群的子群總滿足上述性質(zhì)。1.1.正規(guī)子群的定義|:設(shè)G是群，N蘭G，若wG,有aN=Na，貝I稱N是G的正規(guī)子群(NormalNormal subgroupsubgroup ),記作N G由前面，仝是S3的正規(guī)子群:A3GS3.交換群的子群都是正規(guī)子群：任何群的中心C(G)都是G的正規(guī)子群:c(G)g。e和G總是G的正規(guī)子群稱為平凡正規(guī)子群，其余的正規(guī)子 群稱為非平凡正規(guī)子群。2.2. 正規(guī)子群的判定及性質(zhì) 定理 1 1. .設(shè)N蘭G,貝 I IN 4G二-a G,有aNa1N；二-a G,-x N,都有 axaaxa N.N.例 1 1 證明：n次交錯(cuò)群A是n次對(duì)稱群 S Sn n的正規(guī)子

3、群:AA S Sn例 2 2. .設(shè)G=GLn(R)DA|A Mn(R),且|A|7,N =SJ(R)A|A R且|A|= 1,證明：N VGo證明：pN，貝|XAX|=|XT|A|X|=|X|T|A|X|=|A|=1,從而，XAX N，所以N 1G o例 3 3 證明：K4= (1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)YS4。證明：注意，a a 中除單位元之外其余 3 3 個(gè)元素是S4中僅有的 2 2 階偶置換?，F(xiàn)-x K4 -S4，則：x：t 的階為 2 2 且是偶置換， 從而：X；：j K4，故KS4oNote:Note:由H蘭K,KN= HN,即子群具有傳遞性。 但正

4、規(guī)子群不具有傳遞性，即由H VK,K|N推不出H|No例如，由例 3 3，K4OS4。現(xiàn)取B4八(1),(12)(34廠K4，由于 K K4是 交換群，顯然有B4VK4。但是 B B4不是 S S4的正規(guī)子群，因?yàn)槿?(13)(13) S S4，有(13R(13R(13),(1234)13),(1234)八(13),(1432)(13),(1432) = =B B4(13)(13)。上一章有：一個(gè)群的 兩個(gè)子群的乘積不一定是子群，但是下面定理表明：兩個(gè)正規(guī)子群的乘積還是正規(guī)子群。定理2.( 1 1)設(shè)N,H蘭G,記NH =nh|n- N, H，則NH蘭G； (2 2)若NG，MG，貝U NH

5、|G.證明 (1 1)注意NH蘭G二NH二HN。- - nhnh NHNH (n(n N,hN,h H H ) )，由 NGNG 有hN二Nh，故nh Nh二hN HN，從而NH HN。同理可證HN NH。所以NH二HN,NH乞G。(2 2) 首先由(1 1)NH蘭G。其次，燈a運(yùn)G,有a(NH)二(aN)H二(Na)H二N (aH)二N(Ha)二(NH)a, 所以NHG.定理3|設(shè)f：GT G是群G到群G的滿同態(tài)，貝I(1)NVG- f(N)G,即正規(guī)子群的像還是正規(guī)子群；(2)N VG= f N)VG,即正規(guī)子群的逆像還是正規(guī)子群。 證明 (1 1)設(shè)NG，有上一節(jié)有f(N)蘭G。再w肚f

6、(N) G,由 f f 滿射有n N,a，G,使得n二f (n),a二f (a)。于是ana二f (a) f (n) f (a)二f (a) f (n) f (a1 f (ana-1)o由于NOG，所以anaN，從而ana_Vf(N),即f(N)G。(2(2)可類似證明,見上一節(jié)3.3.商群定義:設(shè)N空G，用GN表示N在G中的全部陪集的集合(不分 左、右),即GH珥aH a G。在GN中定義運(yùn)算如下：aN,bN-GN，規(guī)定(aN)(bN)=(ab)N。定理 4 4. .GN關(guān)于上面定義的運(yùn)算構(gòu)成群，叫做G對(duì)N的商群。 其中，GN的單位元為eN=N；(aNf aN。例 4 4. .設(shè)G = K廠

7、e,a,b,c，取N=e,a，則可驗(yàn)證：NG(G交換群)，此時(shí)GN=eN,aN,bN,cNe,a, b,cP。e,a是GN的單位元，e,a b,c二b,c；b,c b,c二e,ao例 5 5. .設(shè)G =Sn，N = A，貝US?An=A1,Bn，其中 B Bn是全體奇置換 的集合。A An是SnA的單位元，AA=BAA=Bn，B BnB Bn=人 注意，Bn可以寫成Bn=(12)代.注意：在商群GN中，一 G G，有(aN)akN;|GNF(G:N)；對(duì)有限群還有l(wèi)GN卜（G：N）G|商群的應(yīng)用定理 5 5 設(shè)G是一個(gè)pn階的有限交換群，其中 p p 是素?cái)?shù)，則G有P P 階元，從而G有 p

8、 p 階子群。證明對(duì) n n 用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n = 1時(shí)，G是 p p 階循環(huán)群，G的非單位元都是 p p 階元，定理成立。假設(shè)定理對(duì)階數(shù)為pk（仁k*：n）的有限交換群成立，以下證對(duì)階數(shù) 為pn的有限交換群也成立。-a G且a -e。（1 1）若p|a|，令|a|= ps，則|ash p，aswG，a as是G的一個(gè) p p 階元, 定理成立。（2 2）若 p p 不整除|a|，記|a|= m，則m1,（m, p） = 1。由于|a| |G |，即m| pn，所以m | n。令H “ a ，由G交換群得H 0 G，且|%| =罟=P計(jì)。此時(shí)%是一個(gè)PkX k= mn）階的有限交 換群。由歸

9、納假設(shè)，GH存在 p p 階元，設(shè)為bH（b G），|bH卜Pc令|b|= r，則（bH）r二bH = eH = H，從而p|r。設(shè)廠pt，由|b|= i- pt得|b十p，b1是G的一個(gè) p p 階元，定理成立。推論pq（p,q為互異素?cái)?shù)）階交換群必為循環(huán)群。證明 設(shè)|G|=pq，G交換群。由定理 5 5，G有 p p 階元 a a 和 q q 階元b又因?yàn)閜,q為互異素?cái)?shù)，且ab二ba，所以|ab|= pq =|G|，從而G是由ab生成的循環(huán)群。例如，6 = 2 3階交換群只能是 6 6 階循環(huán)群；10=2 5階交換群只 能是 1 10 0階循環(huán)群，。注意：推論對(duì)非交換群不成立。例如151

10、=6=2 3, S S3不是循環(huán) 群. .4.4.哈密爾頓群與單群介紹（1 1） 哈密爾頓群：如果G是一個(gè)非交換群，且G的每個(gè)子群都 是正規(guī)子群，則稱G是一個(gè)哈密爾頓群。例6四元數(shù)群Q“,i, j,k,-1,-i,-j,-k是哈密爾頓群。證明首先Q8是非交換群。其次由 LagrangeLagrange 定理及其推論，可以 找出Q8的真子群只有d，1，-1，i，-i，1，T，j，-j，1,-1,k,-k其中耳-卩顯然是Q8的正規(guī)子群。對(duì)N = 1,-1,i,T，不難檢驗(yàn) x1,i,j,k,-1,-i,-j,-E，xN二Nx恒成立，所以1,-1丄是Q8的正規(guī)子群。同理，Tj-j?，：11,kk也是

11、Q8的正規(guī)子群 從而Q8是哈密爾頓群。注意:1 1, 2 2, 3 3, 5 5, 7 7 階群都是循環(huán)群，因而是交換群，從而都 不是哈密爾頓群。再由上一節(jié)例 3 3 和習(xí)題，4 4 階和 6 6 階群也都不 是哈密爾頓群。因此，例 4 4 表明，四元數(shù)群Q8（8 8 階）是階數(shù)最 小的哈密爾頓群。（2 2） 單群:階數(shù)大于 1 1 且只有平凡正規(guī)子群的群稱為單群（交換非交換都可以）例如，素?cái)?shù)階的群一定是單群。另外，由例 3 3 得交錯(cuò)群A不是 單群，因?yàn)镵A4。而（1 1 階，3 3 階）顯然是單群。又當(dāng)5時(shí)，可以證明A都是單群（證明略）。這樣，A是所有交錯(cuò)群中唯一的非單群。另外還可以證明：當(dāng)n_3且n=4時(shí)，Sn的正規(guī)子群只有，A和它自己Sn，這樣Sn幾乎是單群（僅有一個(gè)非平凡正規(guī)子群）單群可以分為交換單群和非交換單群兩大類。 其中有限交換 單群的結(jié)構(gòu)非常簡單，即 定理6|有限交換群G是單群當(dāng)且僅當(dāng)它是素?cái)?shù)階的循環(huán)群。證明首先，素?cái)?shù)階的循環(huán)群一定是單群。