2010年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-山東

1、2010年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案 -山東2010年一般高等學(xué)校招生全國一致考試(山東卷)理科數(shù)學(xué)本試卷分第I卷和第II卷兩部分，共4頁。滿分150分。考試用時120分鐘。 考試結(jié)束后， 將本試卷和答題卡一弁交回。注意事項：1 .答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色墨水署名筆將自己的姓名、座號、準(zhǔn)考據(jù)號、縣區(qū) 和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的地點上。2 .第I卷每題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦潔凈后，再選涂其余答案標(biāo)號。3 .第II卷一定用0.5毫米黑色署名筆作答，答案一定寫在答題卡各題目指定地區(qū)內(nèi)的地 點，不可以寫在試卷上；如需變動，先劃掉本來的答案

2、，而后再寫上新的答案；不 可以使用涂改液、膠帶紙、修正帶。不按以上要求作答的答案無效。4 .填空題請直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。參照公式：錐體的體積公式： v=1 Sh 。此中s是錐體的底面積，h是錐體的高。3假如事伯A、B互斥，那么P ( A+B ) =P ( A ) +P ( B);假如事件A、B獨立，那么P( AB ) P( A) P( B)第I卷(共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個選項中，只有一項為哪 一項切合題目要求的。(1)已知全集U=R ,會合M 尸 x | x F =2,則CuM =(A ) x | 一1 吸

3、 3(B ) x 廠1 多 3)(C) x | x或 x 為已知a_J2i.= + (，云)，此中 i b i a b R(A) -1(B) 1(3)在空間，以下命題正確的選 項是(A)平行直線的平行投影重合(C)垂直于同一平面的兩個平面平行(4)設(shè)f ( x)為定義在 R上的奇函數(shù)，當(dāng)(D ) x | x1 或 x 3i為虛數(shù)單位，則 a b b二(C) 2(D) 3(B )平行于同向來線的兩個平面平行(D )垂直于同一平面的兩條直線平行x q時， f x - x * x * b b為常數(shù))，則 '()2 2(A) 3(B) 1(C) -1(D) -3f ( 1)2010年全國高考理

4、科數(shù)學(xué)試題及答案 -山東(D)(a © b)十(a b) 2-1 a 12 | b 12(5)已知隨機(jī)變量E聽從正態(tài)散布 N (1,。2),若 P(2) >= 0.023，則 P( -2 勺把 M 2戶(B)(6)樣本中共有五個個體，其值分別為(C)(D) 21(A )12(8)某臺小型晚會由可以排在第一位,(A) 36 種1(B)4(C)7(D )126個節(jié)目構(gòu)成，演出次序有以下要求：節(jié)目甲一定排在前兩位，節(jié)目乙不 節(jié)目內(nèi)一定排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出次序的編排方案共有(B)42種(C) 48 種(D) 54 種(9)設(shè) an是等比數(shù)列，則“a1 < a2 <

5、 a3 ”是“數(shù)列 an 是遞加數(shù)列”的(A )充足而不用要條件(C)充足必需條件(B )必需而不充足條件(D)既不充足也不用要條件(10)設(shè)變量x, y知足拘束條件x - y * 2- 0,；x =5y +1010,則目標(biāo)函數(shù)、x + y 8-0,z = 3x 4 y的最大值和最小值分別為(A) 3, -11(B)-3, -11(C) 11, -3(D )11,3(A )(D )(11)函數(shù)y =2 x x2的圖象大概是(C)(12)定義平面向量之間的一種運算以下：對隨意的a = ( m,v), b = ( p & q)。令 a O(C)a,0,1,2,3 ,若該樣本的均勻值為1,則

6、樣本方差為6(B)-5(7)由曲線y工x2 , y-x3圍成的關(guān)閉圖形面積為b = mq -np.下邊說法錯誤的選項是(A )若a與b共線，則a o b=0(B)(C)對隨意的R R R,有(-a)。b =丸(a O b)2010年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案 -山東第n卷(共90分)二、填空題：本大題共 4小題，每題 4分，共16分。(13)履行右圖所示的程序框圖，若輸入 X 40 , 貝II輸出 y的值為。x(14)若對隨意 x 0, 2,a恒成立，x 3x 1則a的取值范圍是。(15 )在 9BC中，角A, b, C所對的邊分別為a, b, c ,若 a = <2 ,b =2,sin

7、 B cosB 二 v2 ,則角 A 的大小 為。(16)已知圓C過點(1, 0),且圓心在 x軸的正半軸上，直線l : y = x 1被圓C所截得的弦長為2或,則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為,O三、解答題：本大題共6小題，共74分。(17)(本小題滿分已知函數(shù) f (x)12分）_ 1 sin 2x sin . cos2 x cos 弱=2 sin（三,中)(收中機(jī))，其圖象過1222點(,1).62(I)求。的值；1(II)將函數(shù) y = f ( x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到本來的一，縱坐標(biāo)不變，狀得函數(shù)2y = g(x)的圖象，求函數(shù) g( x)在0,1上的最大值和最小值。4(1

8、8)(本小題滿分 12分)已知等差數(shù)列 an 知足：a3=7,a5 +a7 =26. an 的前n項和為Sn .（I）求 a4 及 Sn ；（n）令bn二一（n三*N ）,求數(shù)列 bn 的前nan2 =1項和T n .（19）（本小題滿分12分）如圖，在五棱錐P-ABCDE中PA JL平面ABCDE , AB/CD , AC/ED , , AE/BC ,上ABC 45 ,AB 2= J2, BC =2AE 4，三角形 PAB是等腰三角形。(I )求證：平面 PCD JL平面PAC ;(II)求直線 PB與平面PCD所成角的大小；(田)求四棱錐 P- ACDE的體積。(20)(本小題滿分 12分

9、)某學(xué)校舉行知識比賽，第一輪選拔共設(shè)有A、B、C、D四個問題，規(guī)則以下：每位參加者計分器的初初始分均為10分，答對問題 A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分每回答一題，計分器顯示累計分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計分?jǐn)?shù)小于8分時，答題結(jié)束，裁減出局；當(dāng)累計分?jǐn)?shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計分?jǐn)?shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，裁減出局；每位參加者按問題A、B、C、D次序作答，直至答題結(jié)束假定甲同學(xué)又t問題A、B、C、D 回答正確的概率挨次為與否互相之間沒有影響(I)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；(H)用 匕表示甲內(nèi)當(dāng)家本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù)，求(21)(本小題滿分 12

10、分)如圖，已知橢圓x + -y = 1(a b /)白徜心率a 2 b22為 ,以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦方F1 ,F22為極點的三角形的周長為4( J5 -1), 一等軸雙曲線的極點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于項點的任一點，直線 PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B 和 C、D.(I)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；3 , 1 ,1 , 1 ,且各題回答正確4234亡的散布列和數(shù)學(xué)希望E* .k1 k 2-1；()設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2 ,證明:(田)能否存在常數(shù)也，使得 AB +；：CD|3 AB JCD恒成立？若存在，求 /的值;若不存在，請說明原因(22)(

11、本小題滿分 14分)1 一 a已知函數(shù) f ( x) =1nx ax -1(aR).x1(I)當(dāng)a 時，議論 f ( x)的單一性；2(n)設(shè)g(x);x 2 一 2bx也當(dāng)a二T附，若對隨意 x1后(0,2)，存在x2 w1,2,使4f ( x1-g( x2 ),務(wù)實數(shù)b的取值范圍.2010年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案 -山東22參照答案評分說明：1.本解答指出了每題要考察的主要知識和能力，弁給出了一種或幾種解法供參照，如 果考生的解法與本解答不一樣，可依據(jù)試題的主要考察內(nèi)容對比評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng) 的評分細(xì)則。2.對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，假如后繼部分的解答未改變該題的 內(nèi)容和

12、難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超出該部分正確解答應(yīng) 得分?jǐn)?shù)的一半假如后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分。3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。 一、選擇題：此題考察基礎(chǔ)知識和基本運算，每題5分，滿分 60分。(1) C B (3) D(4) D (5) C (6) D(7) A (8) B二、填空題：此題考(13) 一 4三、解答題(9) C (10) A (11) A (12) B查基礎(chǔ)知識和基本運算，每題(金,)(15)再564分，滿分 16分。(16) +x y 3 - 0(17)本小題主要考察綜合運

13、用三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行運算、變形、變換和求解的能力，滿分12分。解：(I)因為 f ( x) - - sin 2xsincos2 x cos總1 sin(一)(。騁乩喙鍥)222所以 f ( x) - - sin 2x sin 21cos2x cos cos12122一 sin 2x sin cos2xcos22- 1 (sin 2xsin cos 2x cos ) 2二工 cos(2 x 3).2 .- 1又函數(shù)圖象過點(,)6 21 辱:吆咽u所以1 - cos(2)2 _ 26常一中=即 cos( ) 1,y It又00 _江所以.3(n)由(I)知1f (x)二一cos(

14、2x -),將函數(shù)y= f ( x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短2010年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案 -山東1 g(x) _ f (2 x) _cos(4x),27T所以4 x 0,所以4xi£31故 cos(4 x2工3j321L3所以y匕g( x)在0,-上的最大值和最小值分別為4(18)本小題主要考察等差數(shù)列的基本知識，考察邏輯推理、1和.24等價變形和運算能力。解:(I)設(shè)等差數(shù)列 an 的首項為ai ,公差為因為a3 =7, a5 + a7 = 26 ,所以a1 2d =7,2a1 ' 10d = 26 ,解得ai-3,d - 2.因為an - ai ( n 1)d ,

15、 S n_n(ai a n)卻+十31到本來的 _ ,縱坐標(biāo)不變，獲得函數(shù)y j ( x)的圖象，可知2因為4(n1)一 !- _ + 一所以2).an 2n 1, Sn n(n()因為 an - 2n 1所以 an2 一 1 一 4n( n 1)11 11所以bn().4n(n 1)4 n n 1故 Tn - b1 . b2bn1 ，-(1 1 T- 1 &妙叼+葉 )4223 n n 1-1 (1 - 1 )+4 n 1二n2010年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案 -山東的前n項和 n所以數(shù)列 bn Tn -4( n 1)(19)本小題主要考察空間中的基本關(guān)系，考察線面垂直、 面面垂直

16、的判斷以及線面角和幾何體體積的計算，考察識圖能力、空間想象能力和邏輯推理能力，滿分12分。(I)證明：在AABC 中，因為 二ABC 45, BC=4 , AB 2 2癥所以 AC2 二 AB2BC 2 - 2 AB BC cos45 二 8所以AC二2 2故 BC2 - AC 2 AB2所以 BAC 900又 PA ,平面 ABCDE , AB/CD ,所以 CD PA, CD AC又 PA, AC 導(dǎo)面 PAC，且 PA n AC=A , 所以CD ,平面PAC,又CD仁平面PCD, 所以平面PCD ,平面PAC。(n)解法一：因為AAPB是等腰三角形，所以 PA 一 AB 一 2 2工;

17、+=所以 PB - PA2 AB2 - 4又 AB/CD ,所以點B到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離1 因為CD 平面PAC ,在Rt PAC中，L r二 7二 aJPA 22, AC 2 2所以PC=4故PC邊上的高為 2,此即為點 A到平面PCD的距離，所以B到平面PCD的距離為h 2.、田則sinPB 42"0 一又,0 2設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為 ，8 = "所以 6解法二：由(I )知 AB , AC , AP兩兩互相垂直,z軸成立如圖apab是等腰三角形,分別以AB , AC , AP為X軸, 所示的空間直角坐標(biāo)系，因為"2,0),

18、 P(0,0,2 - 2)所以 PA _ AB _2 2所以 A(0,0,0), B(2 2,0,0), C(0,2因為 AC/DE , CD 兒 AC ,所以四邊形 ACDE是直角梯形,因為 AE =2,之 ABC =45°, AE /BC所以 BAE -1350所以 CAE =450故 CD 二 AE sin 45 0 二 2 2 二122所以 D( 2,2 2,0)所以 CP =(0, 2 x2,2 石)，CD Y 20h)設(shè)m = ( x, y, z)是平面PCD的一個法向量，則 m CP 0, m CD 0 二解得 x - 0, y - z取 y 1,得 m （0,1,1）

19、又 BP =（ 2- 2而 2） 設(shè)e表示向量 BP與平面PCD的法向量 m所成的角,_ m BP 1貝U cos :-一 一-I m | BP | 2所以1 -3所以直線PB與平面PCD所成的角為 八.6（田）因為 AC/ED , CD 生 AC所以四邊形 ACDE是直角梯形2010年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案 -山東X02因為 AE _2, ABC _ 450, AE /BC所以.BAE -1350所以.CAE - 450故 CD _ AE sin 45 0ED ACAE . cos 45 0 _ 2 -2 2 _2 _ 22所以S四邊形ACDE23.又 PA 5面 ABCDE1所以Vp

20、cde322 223(21)本小題主要考察橢圓、雙曲線的基本觀點和基天性質(zhì)，考察直線和橢圓的地點關(guān)系,考察坐標(biāo)第、定值和存在性問題，考察數(shù)形聯(lián)合思想和探究問題的能力。解：(I)設(shè)橢圓的半焦距為 cc由題意知c，%2c 4平1)所以 a - 2 2, c 2又a2b2 +c2，所以 b =2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，x2由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 y 2一上一=1(m 刈，22m m因為等軸雙曲線的極點是橢圓的焦點,所以m = 2所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2()設(shè) A(xi , yi ), B( x2 , y2 ), P(x3 , yo )則 k1 = y0 ,k 2X0 2y°20

21、10年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案 -山東因為點P在雙曲線X2-y2 =4 上,所以 X02 - yo2 - 4.所以kik2.L上一0_iX02 X0 - 2X02- 4即 ki k2- 1.(m)因為PFi的方程為y二ki (X 2),將其代入橢圓方程得(2k 2 i)X2 . 8k 2 x8k 2i8-8ki28ki2- 8由違達(dá)定理得 XiX2 2k 2+ii,XiX2 2k所以 | AB| =4i+ki2J ( Xi+ X2 )2,4XiX29 J _ O ki2( 8ki22ki2)4 8ki22h2ki242ki22 ki2 i同理可得 |CD | 4一 k2222k2 . i則“

22、i 2ki2 iL (2依2|AB| |CD|ki2i-)i又 ki k2- i所以 1一iI AB| |CD |2 (2ki2i ki2ki2 i i , ki2 i)82ki2 i . ki2ki2 i ki22 )_ 3 23 2.+- «a故 |AB| |CD | - |AB| |CD |所以，存在使| AB| *|CD | 二九| AB| |CD | 恒成立。(22)本小題主要考察導(dǎo)數(shù)的觀點以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考察分類議論思想、數(shù)形聯(lián)合思想、等價變換思想，以及綜合運用知識解決新情境、新問題的能力。解：(I)因為 f ( x) = ln x _ ax +0 =1x

23、1 a 1 ax2 . x 1 a 小 、所以 f ( x) _ _ _ a _ x 婦(0, 一：)x x 2x2令 h(x) - ax2 - x 1 a, x (0,二)(1)當(dāng) a = 0 時,h ( x ) = -x + 1, x 蕾(0, + 兇 )所以，當(dāng)x丘(0,1)時,h( x) >0,此時f x) <0，函數(shù)f ( x)單一遞減；當(dāng)x早1,4s)時，h( x)二：0 ,此時f '(x) > 0,函數(shù)f(x)單一遞(2)當(dāng) a 0 時，由 f (x)=0即 ax2 -x +1 - a =0 ,解得 x1 =1, x2=4 = 1a當(dāng)a =；時，x1二x2 , h(x) - 0恒成立，此時f (,x) 0 0 ,函數(shù)f ( x)在(0, +°°)上單一遞減；當(dāng) 0 <a <1時，1 -1 >1 >02 ax £(0,1)時，h(x) >0,此時f ( x)焚0,函數(shù)f (x)單一遞減；x -(1,11) 時，h(x) <0,此時代 x)>0,函數(shù) f ( x) 單一遞加；ax ( 7, Z )時