Leslie矩陣模型

1、3.4 Leslie 矩陣模型本節(jié)將以種群為例，考慮種群的年齡結(jié)構(gòu)，種群的數(shù)量主要由總 量的固有增長(zhǎng)率決定，但是不同年齡結(jié)構(gòu)動(dòng)物的繁殖率和死亡率有著 明顯的不同，為了更精確地預(yù)測(cè)種群的增長(zhǎng)，在此討論按年齡分組的 種群增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型，這個(gè)向量形式的差分方程是Leslie在20世紀(jì)40年代用來(lái)描述女性人口變化規(guī)律的，雖然這個(gè)模型僅考慮女性人口的 發(fā)展變化，但是一般男女人口的比例變化不大。假設(shè)女性最大年齡為s歲，分s歲為n個(gè)年齡區(qū)間：年齡屬于.:ti的女性稱為第i組，設(shè)第i組女性人口數(shù)目為 Xi（i =1,2，,n），稱x=（xi,x2 - ,Xn）T為女性人口年齡分布向量，考慮x隨 tk的變化情況，

2、每隔-年觀察一次，不考慮同一時(shí)間間隔內(nèi)的變化（即n將時(shí)間離散化）。設(shè)初始時(shí)間為to，tk =to 竺時(shí)間的年齡分布向量為 nx（k）=（x（k）,x2k）- ,xnk）T，這里只考慮由生育、老化和死亡引起的人口 演變，而不考慮遷移、戰(zhàn)爭(zhēng)、意外災(zāi)難等社會(huì)因素的影響。設(shè)第i組女性的生殖率（已扣除女嬰的死亡率）為 ai （第i組每位 女性在S年中平均生育的女嬰數(shù)，a：蘭0），存活率bi （第i組女性在-nn年仍活著的人數(shù)與原來(lái)人數(shù)之比，0£bi蘭1）,死亡率=1-d，假設(shè)ai， d在同一時(shí)間間隔內(nèi)保持不變，這個(gè)數(shù)據(jù)可由人口統(tǒng)計(jì)資料獲得。tk時(shí)第一組女性的總數(shù)x1k）是tz時(shí)各組女性（人數(shù)為

3、 x（k4）,i =1,2,，n ）所生育的女嬰的總數(shù)，可以由下式表示：tk時(shí)第i 1組（i 1 ）女性人數(shù)x雞是tk=時(shí)第i組女性經(jīng)-年存活下n來(lái)的人數(shù)，可以由下式表示:用矩陣將上兩式表示為:記：ai a?an_, a.0 00kX2L =0b2匕93,x(k)=kX3，a+ +000 0bn0 _1k Xn .貝U有 x二Lkx稱L為L(zhǎng)eslie矩陣，由上式可算出tk時(shí)間各年齡組人口總數(shù)、人口 增長(zhǎng)率以及各年齡組人口占總?cè)丝诘陌俜直?。利用Leslie模型分析人口增長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)觀察時(shí)間充分長(zhǎng)后人口增長(zhǎng) 率和年齡分布結(jié)構(gòu)均趨于一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，這與矩陣L的特征值和特征向量有關(guān)。矩陣L有唯一的單重正特征

4、值i，對(duì)應(yīng)的特征向量為：若i是矩陣L的正特征值，則L的任一個(gè)（實(shí)的或者復(fù)的）特征值 都滿足：若矩陣L的第一行有兩個(gè)順序元素ai，ai! 0，則L的正特征值是 嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)特征值這種要求在人口模型中是能保證的， 所以L矩陣必有 嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)特征值。若矩陣L有嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)特征值i，對(duì)應(yīng)特征向量為xi，貝卩：這表明時(shí)間tk充分長(zhǎng)后，年齡分布向量趨于穩(wěn)定，即各年齡組人n數(shù)X（k）占總數(shù)-x（k）的百分比幾乎等于特征向量 Xi中相應(yīng)分量占分量i =±總和的百分比。x（宀）（k）同時(shí)tk充分大后，人口增長(zhǎng)率 礦1趨于1-1，或說(shuō)'1 1時(shí),Xi人口遞增；1 J時(shí)，人口遞減；-1 1時(shí)，人口總數(shù)穩(wěn)定不

5、變例1加拿大人口數(shù)量預(yù)測(cè)問(wèn)題為了研究加拿大的人口年齡結(jié)構(gòu)，對(duì)加拿大的人口進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，1965年的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示（由于大于 50歲的婦女生育者極少，故只討論050歲之間的人口增長(zhǎng)問(wèn)題）表1加拿大人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年齡組i年齡區(qū)間10,5)0.000000.9965125,10)0.000240.99820310,15)0.058610.99802415,20)0.286080.99729520,25)0.447910.99694625,30)0.363990.99621730,35)0.222590.99460835,40)0.104590.99184940,45)0.028260.998701

6、045,50)0.00240分析：由上表得到加拿大人口的Leslie矩陣L如下所示，求解特征方程,00.000240.058610.286080.447910.363990.222590.104590.028260.002400.9965100000000000.9982000000000000.9980200000000000.99729000000L =00000.9969400000000000.9962100000000000.9946000000000000.99184001000000000.987000可以得到L矩陣的特征值： =1.0763和特征向量：通過(guò)上述過(guò)程大家可以發(fā)現(xiàn)，

7、一旦L矩陣的維數(shù)過(guò)大，那么求解特征方程將是一個(gè)非常復(fù)雜的過(guò)程，運(yùn)用matlab求解程序如下： clear all L=zeros(10,10);L(1,:)=0,0.00024,0.05861,0.28608,0.44791,0.36399,0.22259,0.10459,0.02868,0.00240; L(2,1)=0.99651;L(3,2)=0.99820;L(4,3)=0.99802;L(5,4)=0.99729;L(6,5)=0.99694;L(7,6)=0.99621;L(8,7)=0.99460;L(9,8)=0.99184;L(10,9)=0.98700; v,d=eig(L);a1=d(1,1); a2=v(:,1);a3=v(:,1)./sum(v(:,1);pie(a3) legend('0,5)','5,10)','10,15)','15,20)','20,25)','25,30)','30,35)','35,40)','40,45)','45,50)') 結(jié)果：圖 1 加拿大人口結(jié)構(gòu)示意圖由 L 矩陣的特性可知： 當(dāng)時(shí)間充分長(zhǎng)后， 年齡分布向量趨于穩(wěn)定， 即各年齡組人數(shù) xi(k