分式的運(yùn)算及題型講解

1、§ 17.2分式的運(yùn)算一、分式的乘除法1、法則:（1）乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母 的積作為積的分母。（意思就是，分式相乘，分子與分子相乘，分母 與分母相乘）。a c ac用式子表示：b'd _bd（2）除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置 后，再與被除式相乘。dbead用式子表示:2、應(yīng)用法則時(shí)要注意：（1）分式中的符號法則與有理數(shù)乘除法 中的符號法則相同，即“同號得正，異號得負(fù)，多個(gè)負(fù)號出現(xiàn)看個(gè)數(shù), 奇負(fù)偶正” ；（2）當(dāng)分子分母是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行因式分解，以便 約分；（3）分式乘除法的結(jié)果要化簡到最簡的形式。二、分式的乘方1、法則：

2、根據(jù)乘方的意義和分式乘法法則，分式的乘方就是把 將分子、分母分別乘方，然后再相除。用式子表示：少丿b"（其中n為正整數(shù)，az 0）（2）在一2、注意事項(xiàng)：（1）乘方時(shí)，一定要把分式加上括號;個(gè)算式中同時(shí)含有乘方、乘法、除法時(shí)，應(yīng)先算乘方，再算乘除，有多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先因式分解，再約分；（3）最后結(jié)果要化到最簡三、分式的加減法（一）同分母分式的加減法1、法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減用式子表示:2、注意事項(xiàng)：（1） “分子相加減”是所有的“分子的整體”相加 減，各個(gè)分子都應(yīng)有括號；當(dāng)分子是單項(xiàng)式時(shí)括號可以省略，但分母 是多項(xiàng)式時(shí)，括號不能省略；（2）分式加減運(yùn)算的結(jié)果必須化成

3、最簡 分式或整式。（二）異分母分式的加減法1、法則：異分母分式相加減，先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式后，一2±2 =竺±竺=ad 蘭bc再加減。用式子表示：b d bd bd bd 。2、注意事項(xiàng)：（1）在異分母分式加減法中，要先通分，這是關(guān)鍵，把異分母分式的加減法變成同分母分式的加減法。（2）若分式加減運(yùn)算中含有整式，應(yīng)視其分母為 1,然后進(jìn)行通分。（3）當(dāng)分子的 次數(shù)高于或等于分母的次數(shù)時(shí)，應(yīng)將其分離為整式與真分式之和的形 式參與運(yùn)算，可使運(yùn)算簡便。四、分式的混合運(yùn)算1、運(yùn)算規(guī)則：分式的加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算，先乘方, 再乘除，最后算加減。遇到括號時(shí)，要先算括號里面的。

4、2、注意事項(xiàng)：（1）分式的混合運(yùn)算關(guān)鍵是弄清運(yùn)算順序；（2）有理數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算規(guī)律對分式運(yùn)算同樣適用，要靈活運(yùn)用交換 律、結(jié)合律和分配律；（3）分式運(yùn)算結(jié)果必須化到最簡，能約分的要約分，保證運(yùn)算結(jié)果是最簡分式或整式2/ c、 x(2)x - 2 ；x 22例計(jì)算:a -41a -a 2a - 2(3)x 1 x n 4二x* 2 -2xx2-2xx(x 2)2(x -3x 2) 1 解：原式= x2 -322(x -5x 6) 12x -5x61x2 -4x 31=1+ 2x 3x+2-1-1x2 -5 x 612x -4x3【分類解析】、分式運(yùn)算的幾種技巧x 11、先約分后通分技巧 例

5、計(jì)算x2 3x 2 + x 2 _4分析：不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)分式均能約分，故先約分后再計(jì)算x解：原式=(x 1)( x 2) + (x-、分離整數(shù)技巧例計(jì)算x2 -3x 2 - x2 -5x 6 - x2 -4x 3分析：兩個(gè)分式的分子、分母不能約分，如把分子突出分母，分離整數(shù)方法可使計(jì)算化簡。)(x 2) = x 2 + x 2-(x1)(x3)x -3 -(x -1) -(x -2)=(x -1)(x -2)(x-3)=(x -1)( x -2) - (x2)(x 3)-x x=(x -1)( x -2)( x -3) =- (x1)(x2)(x3)1233、裂項(xiàng)相消技巧 例計(jì)算x(x 1)

6、+ (x 1)(x 3) + (x 3)(x 6)1丄 1 丄分析：此類題可利用 n（n m） = m （ n-m ）裂項(xiàng)相消計(jì)算。11 211311解：原式=(x - x -.-1) + 2(x 1-x 3)+ 3(x 3 -x 6)1 1 6=x - x 6 = x(x 6)F +3x+6+5x+2練習(xí)：:/ -212214、分組計(jì)算技巧例計(jì)算a -2+ a 1-a -1-a 2分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)原式中第一、E四項(xiàng)分母乘積為a2-4，第二項(xiàng)、第三項(xiàng)分母乘積為a2-1，采取分組計(jì)算簡捷。1122解：原式=(a -2 -a 2)+a -1-a -1)4-412= 2 + 2 = a-4a1(a

7、2 -4)( a2-1)1111練習(xí)：+ :- 廠亠24- 1 F-卜 3x+ 2F十4x+35、分式求值問題全解1)字母代入法例 1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求一a+bc+d-+-的值.a亠d ab cb亠c亠da亠d【解析】 仔細(xì)觀察已知條件，雖然出現(xiàn)的字母很多，但都可以用一個(gè)字母代替:a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一個(gè)字母代替其它字母來實(shí)現(xiàn)代數(shù)式的化簡aLbc-L-L-d十a(chǎn) d ab eb c d1a daa - 1a 2a +3+a a 3aa 1 a 2a - 1 - a 2 a 3a a 3aa - 1a 2a-3-+ +2a - 33a -

8、33a 62a3a a 3 a 1 a 22a 33(a 1)3(a2)=1+ - +-53【探討】當(dāng)已知條件中不同的字母都可以用一個(gè)字母表示時(shí),字母帶入法，因?yàn)樽詈蟮慕Y(jié)果一定是由有理數(shù)或者某個(gè)字母表示,第一個(gè)要想到的方法就是 所以用這種方法能不能得到正確結(jié)果就在于自己的分式化簡能力了。2）設(shè)值代入法x V z例2.已知，求證:a b c2xyyz zxx2abbc caa【解析】這道題也可以用字母代入法，可以得到y(tǒng)，a分母中有分式，化簡麻煩。我們用一種新的代入方式，考慮到z =2x，代入后分式的分子a-、上、-連等，讓它們都a b c等于 k 貝U x=ak y=bk z=ck代入得xy 亠

9、 yz 亠 zx akbk 亠 bkck 亠 ckak ab亠be亠caab亠be亠caab bcca 2=kab - bcca=k2x2a【探討】當(dāng)遇到連等式，可以采用以下三種方式來運(yùn)用這個(gè)條件(2)設(shè)x_yz-kabc(3)設(shè)xyz二 kabc“bc則(1) y x , z xaa貝V x=ak y=bk則y二k a b cz=ck其中a b c = 03）整式代入法1例3.已知：-a1=3，求分式b2a 3ab 2ba - ab -b的值.【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本來就比較復(fù)雜，會增加我們化簡的負(fù)擔(dān)。將條件化簡成乘積形式,b a得=3 ,再將分式稍化簡變?yōu)閍b2(a -b)

10、 3ab(a _b) _ ab,可以發(fā)現(xiàn)分子分母中只有（a-b）和ab這兩項(xiàng)，所以可以用ab代替b-ab a = 3ab2a 3ab -2b2(a -b) 3ab- 6ab 3ab3a ab b(a b) ab3ab ab4【探討】用整式代入法，能夠很大程度地化簡代數(shù)式，比字母代入法更優(yōu)越， 但要善于觀察代數(shù)式的組成部分，比如這題，代數(shù)式就含有 得到a-b與ab的關(guān)系，題目很快就解出來了。ab和a-b這兩項(xiàng)，剛好條件也適當(dāng)變形能4）變形代入法這類題是用代入法最需要技巧的，我們分以下五類題型來分析怎么變形再代入。ab + be + ca例4 （方程變形）.已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,

11、且abc 0,求- 的值.b2【解析】對已知條件作形變往往要比對代數(shù)式做形變簡單得多，因?yàn)榇鷶?shù)式比條件復(fù)雜,而且給代數(shù)式做形變漫無目的，往往得不到想要的結(jié)果。這道題已知條件是兩個(gè)等式，三個(gè)字母，所以我們可以用一個(gè)字母表示其它字母，對已知條件變形得到方程組a+b+c=0a+2b+3c=0用c代替a、b代入到分式中，能很快求解出來【解析】觀察已知條件，有平方項(xiàng),所以可以化成平方的形式2 2 2 2a 亠 b -8a 亠 6b 亠 25 =(a - 4) 亠(b 亠 3)=0其中(a -4)2 _ 0 (b 3)2 _0 所以(a - 4)2 =02 (b - 3) =0再帶入原式很容易求出解。1例

12、6（對應(yīng)變形）.證明：若a+b+c=0,則22b +c -a1 +2 2 2c +a1a2 b22=°.-c2 2 2ab 亠be 亠 ca_ 2c 2c 亠 c 3 b24c24例5 （非負(fù)變形）.已知：2 2222a ab - 6ba，b-8a6b25=0，求 22 的值.a -4ab +4b【解析】這題可以用整式代入法，比如用 -b-c代替a,但是代數(shù)式a的符號和位置在三個(gè) 分式中不同，如果用 a2 =（b - c）2代入得到的分母截然不同，增大化簡的難度。如果將代數(shù)式三個(gè)分式的分母化成相同的形式，反而化簡方便，比如：用a=-b-c代入b ' c - a中的a,得到-2

13、bc用b=-a-c代入c ' a - b中的b,得到-2ac用c=-a-b代入a2 b2 -c2中的c,得到-2ab原式=1-2ac1-2aba b c=°-2 abc例7 （倒數(shù)變形）.已知xyxza,x y x z二 b, yz 二 c,且 abc = 0.求證 y z2abcx 二bc ac - ab【解析】已知條件是的形式，不能化簡，如果顛倒分子分母，將x yxy=a改寫成1 =二_丄=丄丄的形式，使得 a xy x yx、y相互獨(dú)立，簡化已知條件。寫出變化后的形式111( y z x y x z x112= _ 2所以一xabx1 1 1 + abcbc 亠 ac

14、- ab已知abc2 abc，得證。bc - ac - ab(歸類變形).11a = b = cbc1，且 a、b、ac互不相等，求證:2 2abc=1能不能求出b、c的代數(shù)式 就考慮從結(jié)構(gòu)化【解析】已知條件有三個(gè)字母，兩個(gè)方程，若用a表示b、都是問題。因此我們變形不要太過著急，如果從消元化簡的方式不能變形,簡的方式來變形。這道題條件的形式不復(fù)雜，分為整式和分式，將整式歸類，分式歸類：a _b二1 -1 = b c，可以發(fā)現(xiàn)分式形式大致消失了, c b bc剩下的是加減形式（a-b）、（b-c）和乘積形式bc將能從已知條件得到的關(guān)系列出來b cc aa ba -b, b -c 二，c - a

15、二bcacab左邊和左邊相乘，右邊和右邊相乘得(a b)( b c)( c a)(b c)( c a)( a b) 2 2abc【結(jié)論】給已知條件變形是用代入法的前提，變形的目的是化簡已知條件,度上來化簡：消元的角度：方程變形、非負(fù)變形減少字母數(shù)量，方便化簡可以從兩個(gè)角化簡結(jié)構(gòu)的角度：對應(yīng)、倒數(shù)、歸類變形-調(diào)整關(guān)系式結(jié)構(gòu)，方便化簡代入的方法多種多樣，在此不可能一一列舉出來，對大部分題目，條件適當(dāng)變形再代入是最適用的方法，當(dāng)然也有例外，比如習(xí)題可以先化簡代數(shù)式再代用條件，事辦功倍。觀察代數(shù)式，對已知4，代數(shù)式并不是最簡形式,【練習(xí)】22c “ 2a 3bc b，則2r4 a 2ab c的值等于（設(shè)值代入）A.2 B.3C.19 D.242、若2b3a2+b2