線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)

1、·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第一章 行列式§1.1二階與三階行列式 §1.2全排列與逆序數(shù)§1.3 階行列式的定義 §1.4對(duì)換1. 求使 （1）是5階行列式中帶正號(hào)的項(xiàng)； （2）是5階行列式中帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)；2. 利用行列式的定義計(jì)算中的系數(shù)，并說明理由.班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：3. 利用行列式的定義計(jì)算下列行列式（1）（2）·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第一章 行列式§1.5行列式的性質(zhì)1. 計(jì)算下列行列式的值（1）（2）（3）班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：（4）2. 求方程的全部根.3. 一個(gè)階行列式的元素滿足則稱為反對(duì)稱行列式，證明

2、奇數(shù)階反對(duì)稱行列式為零。·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第一章 行列式§1.6行列式按行（列）展開1選擇題（1）四階行列式的值為（ ）（A）（B）（C） （D）（2） 若（ ）（A）12 （B）-12 （C）18 （D）02. 已知是行列式的元素的代數(shù)余子式，計(jì)算.班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：3. 計(jì)算下列階行列式的值（1），其中對(duì)角線上都是，未寫出的元素都是。（2）·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第一章 行列式4. ，試寫出關(guān)于的遞推式（叫Fibonacci數(shù)列）5. 證明班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：§1.7克拉默法則1. 問取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解？2. 設(shè)，證

3、明：若有個(gè)不同的零點(diǎn)，則.·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第二章 矩陣及其運(yùn)算§2.1 矩陣 §2.2矩陣的運(yùn)算1.設(shè)矩陣，求2.計(jì)算下列矩陣的乘積(1) (2) 班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：3.計(jì)算4.設(shè)計(jì)算.·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第二章 矩陣及其運(yùn)算5. 指出下列計(jì)算中的錯(cuò)誤并改正（或說明理由） （1）；（2）；（3）；（4）若,且則；（5）若,則或.班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：6.證明若都是對(duì)稱矩陣,則為對(duì)稱矩陣的充要條件是.7. 已知階方陣可交換,即,證明(為整數(shù))·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第二章 矩陣及其運(yùn)算 §2.3逆矩陣1. 判

4、斷下列方陣是否可逆,可逆的,求其逆矩陣(1) (2) 2. 解矩陣方程 班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：3. 若方陣滿足，證明都可逆，并求.4. 設(shè)是三階方陣，且，求.5. 設(shè)列矩陣，。 證明(1)的充分必要條件是. (2)當(dāng)時(shí)，是不可逆矩陣·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第二章 矩陣及其運(yùn)算§2.4矩陣分塊法1. 設(shè)矩陣，求，.2. 設(shè)矩陣，證明可逆，并求. 班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：3. 設(shè)是階非奇異矩陣，為的列矩陣，為常數(shù)，記分塊矩陣， (1)計(jì)算并化簡(jiǎn)； (2)證明：矩陣可逆的充分必要條件是。·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第三章 矩陣的初等變換與線性方程組 §3.1

5、矩陣的初等變換 §3.2初等矩陣1.用初等行變換化下列矩陣為行最簡(jiǎn)形. 2.用初等變換求下列方陣的逆矩陣. 班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：3.設(shè),求使.4.設(shè)是階可逆矩陣,將的第行與第行對(duì)換后得矩陣.(1)證明可逆 (2)求.·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第三章 矩陣的初等變換與線性方程組§3.3矩陣的秩1.求下列矩陣的秩:(1) (2) 班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：2. 確定參數(shù)，使矩陣的秩最小。3. 設(shè)是階方陣，若存在階方陣，使，證明：。 ·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第三章 矩陣的初等變換與線性方程組 §3.4線性方程組的解1. 選擇題(1)設(shè)是矩陣,是非

6、齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組,則下列結(jié)論正確的是( ).A. 若僅有零解,則有唯一解B. 若有非零解,則有無窮多個(gè)解C. 若有無窮多個(gè)解,則僅有零解D. 若有無窮多個(gè)解,則有非零解, (2)對(duì)非齊次線性方程組,設(shè),則( ).A.時(shí),方程組有解B.時(shí),方程組有唯一解C.時(shí),方程組有唯一解D.時(shí),方程組有無窮多解2. 解下列方程組: (1) 班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)： (2) 3. 設(shè) 問為何值時(shí),此方程組有唯一解,無解或有無窮多解?并在有無窮多解時(shí)求其通解.·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第四章 向量組的線性相關(guān)性§4.1向量組及其線性組合1. 設(shè)，求及.2. 已知向量組:

7、, ; : ,. 證明組與組等價(jià).班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：3. 已知求被表示的線性組合.4 已知，證明（1）能由線性表示 ； （2）不能由線性表示 . ·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第四章 向量組的線性相關(guān)性§4.2 向量組的線性相關(guān)性1. 判斷下列命題是否正確，正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”（ ）(1)若是一組線性相關(guān)的維向量，那么對(duì)于任意不全為0的數(shù)，都有;（ ）(2) 若是一組線性無關(guān)的維向量，那么對(duì)于任意不全為0的數(shù)，都有;（ ）（3）若向量組是線性相關(guān)的，則其中任何一個(gè)向量都可由其余向量線性表示;（ ）（4）若向量組中任取個(gè)向量所組成的部分向量組都線性無關(guān)，那

8、么這個(gè)向量組本身是線性無關(guān)的;（ ）（5）若向量組線性相關(guān)，則可由線性表示;（ ）（6）若向量組中任何一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示，則向量組線性無關(guān);（ ）（7）設(shè)為一個(gè)向量組，若對(duì)于任意不全為0的數(shù)都有，則向量組線性無關(guān).2.判斷向量組的線性相關(guān)性.班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：2. 已知向量組線性無關(guān)， ,討論t滿足何關(guān)系時(shí)，是線性無關(guān)的.4 . 已知向量組線性無關(guān)，且 , ,.證明：向量組 線性無關(guān) .·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第四章 向量組的線性相關(guān)性§4.3向量組的秩1. 利用矩陣的初等行變換求下列矩陣的列向量組的秩及一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最

9、大無關(guān)組線性表示: 2. .向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)，求向量組的秩，并說明理由.班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：3.設(shè)向量組的秩為2，求.4. 設(shè)向量組的秩為；向量組的秩為；向量組的秩為，則有·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第四章 向量組的線性相關(guān)性§4.4線性方程組的解的結(jié)構(gòu)1.選擇題 （1）設(shè)矩陣的秩為，且是齊次方程的兩個(gè)不同的解，則的通解為（ ）； （）（） （）（） （2）已知是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同解，是的基礎(chǔ)解系，為任意常數(shù)，則的通解為（ ）； （） （） （） （）2. 求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：2. 求非齊次線性方程組的通解.3. 設(shè)

10、有個(gè)方程個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組其中,討論為何值為時(shí),方程組僅有零解,有無窮多個(gè)解？在有無窮多個(gè)解時(shí),求其通解.·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第四章 向量組的線性相關(guān)性4. 設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明 （1）線性無關(guān) （2）線性無關(guān).班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：§4.5向量空間1.設(shè)， ， 問是不是向量空間？為什么？2.求中的向量在基下的坐標(biāo).·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第五章 相似矩陣及二次型§5.1 向量的內(nèi)積 長(zhǎng)度及正交性1.下列矩陣是不是正交矩陣?并說明理由(1) （2）2.設(shè) 為 維 列向量，令，證明是對(duì)稱

11、的正交矩陣。班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：3.試用Schmidt正交化方法將下列是向量組正交化: 4. 證明:設(shè)都是階正交方陣,則 (1) 或 ； (2) ,也是正交方陣·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第五章 相似矩陣及二次型§5.2 方陣的特征值與特征向量1.判斷下列命題是否正確？(1)滿足的數(shù)和向量是方陣的特征值和特征向量; (2)如果是方陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,為任意實(shí)數(shù),則也是對(duì)應(yīng)于的特征向量;(3)設(shè)是階方陣和的特征值,則是的特征值.2. .求下列矩陣的特征值和特征向量: 班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：3. 已知是的逆陣的特征向量，求.4. 已知3階矩陣的特征值為，求·線

12、性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第五章 相似矩陣及二次型§5.3相似矩陣 §5.4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化1. 設(shè)階方陣與相似，則( ) A. B. 與有相同的特征值及特征向量 C. 與都相似于同一對(duì)角陣 D. 對(duì)任意常數(shù)，與相似2. 設(shè)、都是階矩陣，且可逆，證明與相似。3. 已知是矩陣的一個(gè)特征向量，(1)求參數(shù)、及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值； (2)問能不能相似對(duì)角化？并說明理由。班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：4. 試求一個(gè)正交相似變換矩陣，將下列實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣5. 設(shè)矩陣與相似，求、；并求一個(gè)正交矩陣，使.·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第五章 相似矩陣及二次型§5.5二

13、次型及其標(biāo)準(zhǔn)型 §5.6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形1. 求正交變換，將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形:2. 已知二次型的秩為2. (1)求參數(shù)及此二次型矩陣的特征值； (2)指出方程表示何種二次曲面.班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：3. 已知二次型通過正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形求參數(shù)及所用的正交變換矩陣 4. 用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形: (1) (2)·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第五章 相似矩陣及二次型§5.7 正定二次型1. 判別下列二次型的正定性:(1) (2)班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：2. 問為何值時(shí),二次型是正定二次型.·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·第五章 相似矩陣及二次型3

14、. 設(shè)是正定矩陣,證明也是正定矩陣班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：4. 證明：若，則是正定矩陣·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·線性代數(shù)模擬試卷線性代數(shù)模擬試卷一 單項(xiàng)選擇題 1、已知四階行列式D中第三列元素依次為-1，2，0，1，它們的余子式依次分別為5，3，-7，4，則D=( ) A.-15 B.15 C.0 D.12、設(shè)是矩陣，是矩陣，則（ ） A當(dāng)時(shí)，必有行列式；B當(dāng)時(shí)，必有行列式 C當(dāng)時(shí)，必有行列式；D當(dāng)時(shí)，必有行列式3、設(shè)為的一個(gè)基，則下列仍為的一個(gè)基的是（ ）A. B. C. D. 4、對(duì)非齊次方程組，設(shè)，則( ) A.時(shí)，方程組有解； B. 時(shí)，方程組有唯一解 C.時(shí)，方程組有唯一解

15、； D. 時(shí)，方程組有無窮多解 5、下列命題中不正確的是( ) A.合同矩陣的秩必相等 B.與對(duì)稱矩陣合同的矩陣仍是對(duì)稱陣 C.與都是二次型的矩陣 D.行列式大于零的矩陣是正定矩陣班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：二、填空題1、設(shè)為的一個(gè)基，則在該基下的坐標(biāo)為 。2、3、若二次型為正定二次型，則 。4、若則 。5、設(shè)是階矩陣，是的伴隨矩陣若有特征值，則必有一個(gè)特征值是 三、解答題。1、求·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·線性代數(shù)模擬試卷2、求矩陣方程，其中 。 3、設(shè)及試求：當(dāng)為何值時(shí)可由線性表出，并且表示法唯一。4、求的特征值和特征向量。5、設(shè)為3階矩陣，求。四、當(dāng)、為何值時(shí)，線性方程組有唯一解，無

16、解，有無窮多組解，并求出有無窮多組解時(shí)的通解（五、設(shè)矩陣A與B相似，其中，求; 求正交陣P，使得.班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)：六、證明題。 1、設(shè)是階矩陣，如果存在正整數(shù)，使得（為階零矩陣）， 則矩陣的特征值全為 2、設(shè)向量組是齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量不是方程組的解，求證：線性無關(guān)。·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·參考答案參考答案：§1.1§1.41. （1）；(2) 2. 的系數(shù)為2，的系數(shù)為13.（1） ； （2）24§1.51. （1）6123000（2）7 ；（3）；（4）. 2. §1.61. （1） ；（3）. 2. 58 3.（1）

17、； （2）.4. §1.71.§2.1，§2.21. ·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·參考答案2.（1） ； （2）3. 4. 、§2.31.（1） ； （2） .2. 4.§2.41. 2. ·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·參考答案§3.1, §3.21. 2. 3. 4.略§3.3 1. (1) (2)2. §3.4 1. (1) C (2) A2. (1) (2) 3.且時(shí)有唯一解,時(shí)無解,時(shí)有無窮多解,解為 ·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·參考答案§4.11.3.

18、67;4.21.（1）×，（2），（3）×，（4）×，（5）×，（6），（7）.2.線性無關(guān).3.4.略.§4.32.秩為33.§4.41. （1）；（2）2.3.4. 且時(shí)方程組僅有零解;當(dāng),或時(shí)方程組有無窮多解若,方程組的通解為 ·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·參考答案若方程組的通解為.§4.51.是,不是. 2. 坐標(biāo).為：0，1，1.§5.11. （1）不是；（2）是.3. ，§5.2 1. （1）錯(cuò)誤；（2）錯(cuò)誤；（3）錯(cuò)誤.2. 特征向量為3. 或.4. ·線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)·參考答案§5.3 §5.41. （D）3. （2）; ;； （2）不能§5.5 §5.61. , 2. (1) ;(2) ,故表示橢圓柱面3.