高三數(shù)學(xué)人教版a版數(shù)學(xué)(理)高考一輪復(fù)習(xí)教案：8.5橢圓word版含答案(精編版)

1、第五節(jié)橢圓1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程2橢圓的幾何性質(zhì)掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一橢圓的定義條件結(jié)論 1結(jié)論 2 平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)m 與平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn) f1，f2m 點(diǎn)的軌跡為橢圓f1，f2為橢圓的焦點(diǎn)|f1f2|為橢圓的焦距|mf1| |mf2|2a2a|f1f2| 易誤提醒當(dāng)?shù)絻啥c(diǎn)的距離之和等于|f1f2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段f1f2；當(dāng)?shù)絻啥c(diǎn)的距離之和小于|f1f2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在自測(cè)練習(xí) 1已知橢圓x225y2161 上一點(diǎn) p 到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)f1的距離為 3，則 p 到另一個(gè)焦點(diǎn)f2的距離為 () a2b3 c5 d7 解析： a225， 2a10，由定義

2、知，|pf1|pf2|10，|pf2|10|pf1|7. 答案： d 知識(shí)點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2y2b21(ab0) y2a2x2b21(ab0) 圖形性質(zhì)范圍a xa，bybbxb，aya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0， b)，b2(0，b) a1(0， a)，a2(0， a)，b1(b,0)，b2(b,0) 軸長軸 a1a2的長為 2a；短軸 b1b2的長為 2b焦距|f1f2|2c離心率eca(0,1) a，b，c的關(guān)系c2a2b2易誤提醒注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)上點(diǎn)的坐標(biāo)為p(x，y)時(shí)

3、，則|x|a，這往往在求與點(diǎn)p 有關(guān)的最值問題中用到，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因必記結(jié)論(1)當(dāng)焦點(diǎn)的位置不能確定時(shí)，橢圓方程可設(shè)成ax2by21 的形式， 其中a，b 是不相等的正常數(shù)，或設(shè)成x2m2y2n21(m2n2)的形式 (2)以橢圓x2a2y2b2 1(ab0)上一點(diǎn) p(x0，y0)(y00)和焦點(diǎn) f1(c,0)，f2(c,0)為頂點(diǎn)的 pf1f2中，若 f1pf2 ，注意以下公式的靈活運(yùn)用：|pf1|pf2| 2a；4c2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2| cos ；spf1f212|pf1|pf2| sin . 自測(cè)練習(xí) 2若焦點(diǎn)在x 軸上的橢圓x22y

4、2m1 的離心率為12，則 m_. 解析： 因?yàn)榻裹c(diǎn)在x 軸上，所以0mb0)上任意一點(diǎn)p 到兩焦點(diǎn)的距離之和為6，且橢圓的離心率為13，則橢圓方程為 _解析 ：由題意得2a6，故 a3.又離心率eca13.所以 c 1，b2a2c2 8，故橢圓方程為x29y281. 答案：x29y281 4橢圓 ：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，焦距為 2c，若直線y3(xc)與橢圓 的一個(gè)交點(diǎn)m 滿足 mf1f22mf2f1，則該橢圓的離心率等于_解析：依題意得 mf1f260 ， mf2f130 ，f1mf290 ，設(shè)|mf1|m，則有 |mf2|3m，|f1f2| 2m，該橢

5、圓的離心率是e|f1f2|mf1|mf2|31. 答案：31 考點(diǎn)一橢圓的定義及方程|1已知兩圓c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，動(dòng)圓在圓c1內(nèi)部且和圓c1相內(nèi)切，和圓c2相外切，則動(dòng)圓圓心m 的軌跡方程為() a.x264y2481b.x248y264 1 c.x248y2641 d.x264y248 1 解析： 設(shè)圓 m 的半徑為r，則|mc1|mc2|(13r)(3r)16，m 的軌跡是以c1， c2為焦點(diǎn)的橢圓， 且 2a16,2c8， 故所求的軌跡方程為x264y2481. 答案： d 2.(2016大慶模擬 )如圖，已知橢圓c：x2a2y2b21(ab0)，其中左

6、焦點(diǎn)為f( 2 5，0)，p 為 c 上一點(diǎn)， 滿足 |op| |of|， 且 |pf|4，則橢圓c 的方程為 () a.x225y251 b.x236y216 1 c.x230y2101 d.x245y225 1 解析： 設(shè)橢圓的焦距為2c，右焦點(diǎn)為f1，連接 pf1，如圖所示由 f(25，0)，得 c 2 5. 由|op|of|of1|，知 pf1pf. 在 rtpf1f 中， 由勾股定理， 得|pf1|f1f|2|pf|2452 428. 由橢圓定義，得|pf1|pf|2a4812，從而 a6，得 a2 36，于是 b2 a2 c236 (25)216，所以橢圓c 的方程為x236y21

7、61. 答案： b 3若橢圓c：x29y221 的焦點(diǎn)為f1，f2，點(diǎn) p 在橢圓 c 上，且 |pf1|4，則 f1pf2() a.6b.3c.23d.56解析： 由題意得a 3，c7，則 |pf2|2. 在 f2pf1中，由余弦定理可得cosf2pf14222 2 722 4212. 又 f2pf1(0， )， f2pf123. 答案： c 橢圓定義應(yīng)用的兩個(gè)方面一是利用定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、 最值和離心率等考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)|(1)(2015 高考廣東卷 )已知橢圓x225y2m2 1(m0)的左焦點(diǎn)為f1(4,0)，則m() a2b3 c4

8、 d9 (2)如圖，已知橢圓e 的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，過f1且斜率為2 的直線交橢圓e 于 p，q 兩點(diǎn)，若 pf1f2為直角三角形，則橢圓e 的離心率為 () a.53b.23c.23d.13解析 (1)由 425m2(m0)? m 3，故選 b. (2)由題意可知，f1pf2是直角，且tan pf1f22，|pf2|pf1|2.又|pf1| |pf2|2a， |pf1|2a3， |pf2|4a3.根據(jù)勾股定理得2a324a32(2c)2，所以離心率eca53. 答案 (1)b(2)a 求解直線與橢圓位置關(guān)系問題的常規(guī)思路(1)求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既不畫

9、出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形 當(dāng)涉及頂點(diǎn)、 焦點(diǎn)、 長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系(2)求橢圓離心率問題，應(yīng)先將e 用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于 e 的等式或不等式， 從而求出 e 的值或范圍 離心率 e 與 a， b 的關(guān)系e2c2a2a2b2a21b2a2?ba1e2. 1如圖，已知f1，f2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以f2為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點(diǎn)m，n，若過f1的直線 mf1是圓 f2的切線，則橢圓的離心率為() a.31 b23 c.22d.32解析： 因?yàn)檫^ f1的直線 mf1是圓 f2的切線，

10、所以可得 f1mf290 ， |mf2|c.因?yàn)?|f1f2|2c，所以可得 |mf1|3c.由橢圓定義可得|mf1| |mf2|c3c2a，可得離心率eca21331. 答案： a 考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系|已知點(diǎn) a(0， 2)，橢圓 e：x2a2y2b21(ab0)的離心率為32，f 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，直線af 的斜率為2 33，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求 e 的方程；(2)設(shè)過點(diǎn) a 的直線 l 與 e 相交于 p，q 兩點(diǎn)，當(dāng) opq 的面積最大時(shí)，求l 的方程解(1)設(shè) f(c,0)，由題意kaf2c233，c3，又離心率eca32，a2，ba2c21，故橢圓的方程為x24y21.

11、(2)由題意知，直線l 的斜率存在，設(shè)直線l 的斜率為k，方程為 ykx2，聯(lián)立直線與橢圓方程，得x24y21，y kx2，化簡(jiǎn)，得 (14k2)x216kx120. 16(4k23)0， k234. 設(shè) p(x1，y1)， q(x2，y2)，則 x1x216k14k2，x1 x2121 4k2，|pq|1 k2|x1 x2|1 k244k2314k2. 坐標(biāo)原點(diǎn) o 到直線 l 的距離 d2k21. sopq121k244k2314k22k2144k2314k2. 令 t4k23(t0)，則 sopq4tt244t4t. t4t4，當(dāng)且僅當(dāng)t4t，t2 時(shí)，等號(hào)成立，sopq 1，故當(dāng) t

12、2，即4k232，k72時(shí)， opq 的面積最大，從而直線 l 的方程為y 72x2. 2(2016 邯鄲質(zhì)檢 )已知橢圓c：x2a2y2b21(ab0)過點(diǎn) a22，32，離心率為22，點(diǎn) f1，f2分別為其左、右焦點(diǎn)(1)求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓c 恒有兩個(gè)交點(diǎn)p，q，且opoq？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解： (1)由題意，得ca22，得 bc. 因?yàn)?22a2322b21(ab0)，得 c1，所以 a22，所以橢圓c 方程為x22y21. (2)假設(shè)滿足條件的圓存在，其方程為x2y2 r2(0r0 恒成立直線 p

13、q 與圓相切，r2b21k223，存在圓x2y223. 當(dāng)直線 pq 的斜率不存在時(shí)，也存在圓x2y223滿足題意綜上所述，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2y223滿足題意26.幾何法求解橢圓離心率范圍問題【典例】(2015 山西大學(xué)附中月考)已知橢圓c：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，若橢圓c 上恰好有6 個(gè)不同的點(diǎn)p，使得 f1f2p 為等腰三角形，則橢圓c 的離心率的取值范圍是() a.13，23b.12，1c.23，1d.13，1212，1思維點(diǎn)撥 利用對(duì)稱性分|pf1| |f1f2|，|pf2|f1f2|兩種性質(zhì)討論，結(jié)合幾何特征建立相關(guān)不等式求解解析 6 個(gè)不同的

14、點(diǎn)有兩個(gè)為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，另外4 個(gè)分別在第一、二、三、四象限，且上下對(duì)稱左右對(duì)稱不妨設(shè)p 在第一象限 ，|pf1|pf2|，當(dāng)|pf1|f1f2|2c 時(shí)，|pf2|2a|pf1|2a2c，即 2c2a2c，解得 eca12.因?yàn)?e1，所以12e2c，且 2c2c2a2c，解得13e12.綜上可得13e12或12eb0)的左、 右焦點(diǎn)分別為f1(c,0)，f2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn) p 使asinpf1f2csinpf2f1，則該橢圓的離心率的取值范圍為_解析： 由asin pf1f2csinpf2f1，得casinpf2f1sinpf1f2.又由正弦定理得sinpf2f1sinpf1

15、f2|pf1|pf2|，所以|pf1|pf2|ca， 即|pf1|ca|pf2|.又由橢圓定義得|pf1|pf2|2a， 所以 |pf2|2a2ac， |pf1|2acac.因?yàn)?|pf2|是 pf1f2的一邊，所以有2c2acac2a2a c0，所以e22e10(0eb0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)a 使得 aof 為正三角形，那么橢圓的離心率為() a.22b.32c.312d.3 1 解析：由題意，可設(shè)橢圓的焦點(diǎn)f 的坐標(biāo)為 (c,0)， 因?yàn)?aof 為正三角形， 則點(diǎn)c2，32c在橢圓上，代入得c24a23c24b21，即e23e21e24，得e2423，解得e31，故選d. 答案：

16、 d 2 已知橢圓e：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為f(3,0)， 過點(diǎn) f 的直線交e 于 a， b 兩點(diǎn)若ab 的中點(diǎn)為m(1， 1)，則 e 的方程為 () a.x245y2361 b.x236y2271 c.x227y2181 d.x218y291 解析： kab013112，kom 1，由 kab komb2a2，得b2a212， a22b2.c3， a218，b29，橢圓 e 的方程為x218y291. 答案： d 3(2016 廈門模擬 )橢圓 e：x2a2y231(a0)的右焦點(diǎn)為f，直線 yx m 與橢圓 e 交于a，b 兩點(diǎn)，若 fab 周長的最大值是8，則 m 的

17、值等于 () a0 b1 c.3 d2 解析： 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為f， 則 fab 的周長為afbfabafbfafbf4a8，所以a2，當(dāng)直線ab 過焦點(diǎn)f(1,0)時(shí)， fab 的周長取得最大值，所以0 1m，所以 m1.故選 b. 答案： b 4已知 f1，f2是橢圓x225y291 的兩個(gè)焦點(diǎn)， p 是該橢圓上的任意一點(diǎn)，則|pf1| |pf2|的最大值是 () a9 b16 c25 d.252解析： 設(shè) p(x，y)，則 |pf1|a ex，|pf2|aex，|pf1| |pf2|(aex)(aex)a2e2x2. 當(dāng) x0 時(shí)， |pf1| |pf2|取最大值a225. 答案： c

18、5已知 f1，f2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)p，使得 pf1pf2，則橢圓的離心率的取值范圍是() a.55，1b.22，1c. 0，55d. 0，22解析： 設(shè) p(x，y)，pf1(cx，y)，pf2 (c x，y)，由 pf1 pf2，得 pf1 pf20，即 (cx， y) (c x， y) x2 y2 c2 x2b21x2a2 c2c2x2a2 b2c20， x2a2c2b2c20， c2b20， 2c2a2， e22.又 eb0)的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率e_. 解析： 因?yàn)閳A (x2)2y21 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，(3,0)，所以 c 1，a3，

19、eca13. 答案：137(2015 泰安模擬 )若橢圓x2a2y2b21(a0，b0)的焦點(diǎn)在x 軸上，過點(diǎn) (2,1)作圓 x2y24 的切線，切點(diǎn)分別為a，b，直線ab 恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程為_解析： 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，則n1m2nm 1，即 m2n2n2m0.m2n24，2mn40，即直線ab 的方程為2xy 40.直線ab 恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)， 2c4 0，b4 0，解得 c2，b 4，所以 a2b2c220，所以橢圓方程為x220y2161. 答案：x220y2161 8(2016 保定模擬 )直線 l 過橢圓 c：x22y21 的左焦點(diǎn)f，且與

20、橢圓c 交于 p，q 兩點(diǎn)， m 為弦 pq 的中點(diǎn)， o 為原點(diǎn)，若 fmo 是以線段of 為底邊的等腰三角形，則直線l的斜率為 _解析： 因?yàn)?fmo 是以線段of 為底邊的等腰三角形，所以直線om 與直線 l 的斜率互為相反數(shù)設(shè)直線l 的斜率為 k，則有 k (k)12，解得 k22. 答案： 229.如圖，橢圓c：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為f，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為a，b，且 |ab|52|bf|. (1)求橢圓 c 的離心率；(2)若斜率為2 的直線 l 過點(diǎn) (0,2)，且 l 交橢圓 c 于 p，q 兩點(diǎn)， opoq，求直線l 的方程及橢圓c 的方程解： (1)由已知

21、|ab|52|bf|，即a2b252a,4a2 4b25a2,4a24(a2c2)5a2， eca32. (2)由(1)知 a24b2，橢圓c：x24b2y2b21. 設(shè) p(x1，y1)， q(x2，y2)，直線 l 的方程為y22(x 0)，即 2xy20. 由2xy20，x24b2y2b21，消去 y，得 x24(2x2)24b20，即 17x232x164b20. 3221617(b24)0，解得 b21717. x1 x23217，x1x2164b217.opoq， op oq0，即 x1x2y1y20， x1x2 (2x1 2)(2x2 2)0，5x1x24(x1x2) 40. 從

22、而5 164b2171281740，解得 b1，滿足 b21717，橢圓 c 的方程為x24y21. 10已知橢圓c：x2a2y2b21(ab0)過點(diǎn)1，32，且橢圓c 的離心率為12. (1)求橢圓 c 的方程；(2)若動(dòng)點(diǎn) p 在直線 x 1 上，過 p 作直線交橢圓c 于 m，n 兩點(diǎn)，且p 為線段 mn中點(diǎn)，再過p 作直線 lmn.證明：直線l 恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解： (1)因?yàn)辄c(diǎn)1，32在橢圓 c 上，所以1a294b21.又橢圓 c 的離心率為12，所以ca12，即 a2c，所以 a24，b3，所以橢圓c 的方程為x24y231. (2)設(shè) p( 1，y0)，y0 32，

23、32，當(dāng)直線mn 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線mn 的方程為yy0k(x1)，m(x1，y1)，n(x2，y2)由3x24y212，yy0k x1 ，得 (34k2)x2 (8ky08k2)x (4y20 8ky04k212)0，所以 x1x28ky0 8k234k2. 因?yàn)?p 為 mn 中點(diǎn)，所以x1x22 1，即8ky08k234k2 2，所以 k34y0(y00)因?yàn)橹本€ lmn， 所以 kl4y03， 所以直線l 的方程為yy04y03 (x1)， 即 y4y03x14，顯然直線l 恒過定點(diǎn)14，0 . 當(dāng)直線 mn 的斜率不存在時(shí)，直線mn 的方程為x 1，此時(shí)直線 l 為 x 軸，也過點(diǎn)

24、14，0 . 綜上所述，直線l 恒過定點(diǎn)14，0 . b 組高考題型專練1(2015 高考福建卷 )已知橢圓e：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為f，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為m，直線 l：3x 4y0 交橢圓 e 于 a，b 兩點(diǎn)若 |af|bf|4，點(diǎn) m 到直線 l 的距離不小于45，則橢圓e 的離心率的取值范圍是() a. 0，32b. 0，34c.32，1d.34，1解析： 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為f1，半焦距為c，連接 af1，bf1，則四邊形af1bf 為平行四邊形，所以 |af1| |bf1|af|bf|4.根據(jù)橢圓定義，有|af1|af|bf1|bf|4a.所以84a， 解得 a2.因?yàn)辄c(diǎn)

25、 m 到直線 l： 3x4y0 的距離不小于45， 即4b545， b 1， 所以 b2 1，所以 a2c21,4 c21，解得 0c3，所以 0b0)的右焦點(diǎn)f(c,0)關(guān)于直線ybcx 的對(duì)稱點(diǎn)q在橢圓上，則橢圓的離心率是_解析：設(shè)左焦點(diǎn)為f1， 由 f 關(guān)于直線ybcx 的對(duì)稱點(diǎn)q 在橢圓上， 得|oq|of|， 又|of1|of|，所以f1qqf ，不妨設(shè) |qf1|ck，則 |qf|bk，|f1f|ak，因此2cak.又 2a ckbk，由以上二式可得2cak2abc，即caab c，即 a2c2bc，所以 bc，e22. 答案：223(2015 高考陜西卷 )如圖，橢圓e：x2a2y2b21(ab0)經(jīng)過點(diǎn)a(0， 1)，且離心率為22. (1)求橢圓 e 的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn) (1,1)，且斜率為k 的直線與橢圓e 交于不同的兩點(diǎn)p，q(均異于點(diǎn)a)，證明：直線 ap 與 aq 的斜率之和為2. 解： (1)由題設(shè)知ca22，b1，結(jié)合a2b2c2，解得a2.所以橢圓的方程為x22y21. (2)證明：設(shè)直線pq 的方程為yk(x1)1(k 2)，代入x22y21，得 (12k2)x24k(k1)x2k(k2)0. 由已知 0. 設(shè) p(x1，y1)， q(x2，y2)，x1x20，則