2022年“任意”和“存在”在不等式含參問題中的差異

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載“任意”和“存在”在不等式含參問題中的差異在高三一輪復(fù)習(xí)中,我們常常接觸到一些含有“任意”或“存在”字眼的不等式含參問題,這為復(fù)習(xí)中的難點,確為高考的熱點,20xx年新課標(biāo)全國高考文科21 題其次問就為一道涉及“任意”字眼的不等式含參問題；結(jié)合高三一輪復(fù)習(xí),我發(fā)覺這兩個字眼在不等式含參問題中存在著戲劇性的差異,現(xiàn)做些簡潔分析；一.“任意”在不等式含參問題中的解法；王員外家有四個千金,想招一個年齡比四個女兒都 大的女婿, 那么王員外在年齡上應(yīng)遵 循什么呢？答案很明顯,這個女婿只需比他的大女兒的歲數(shù)大即可；從這個淺顯的例子我們 可以抽象出這樣一個常

2、識： “比最大值大, 就比其它值均大, 比最小值小, 就比其它值均?。?”現(xiàn)實生活中,這樣的規(guī)律常識比較常見,如,要比213 班全班同學(xué)都高,只需比全班最高的那個高； 要比全班同學(xué)都矮,只需比最矮的那個矮；我在個人的教學(xué)實踐中發(fā)覺這個 常識在解含 “任意” 字眼的不等式含參問題中有著比較重要的作用,現(xiàn)舉例說明它的重要性,同時也勉勵廣大同學(xué)留意類似的生活常識,學(xué)著將其應(yīng)用于數(shù)學(xué)難題的摸索中,有時可以做精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載到事半功倍；例 1：求使不等式x4x3a 對任意 xr 恒成立的 a 的取值范疇？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

3、 - - - 歡迎下載解析：令 y =x -4 -x -3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載要使 x4x3a 對一切 xr 只需 aymax精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載法 1：由 y =x -4 -x -3的圖像可求得ymax= 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a1法 2：由不等式的重要性質(zhì)ababab 知精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x4x3 x4 x31精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y max= 1a1注：要使一個參數(shù)要比

4、一個式子大恒成立,只須比這個式子的最大值仍要大即可；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2：設(shè)實數(shù)x、 y 滿意 x2 y1 21 ,當(dāng) xyd0 恒成立時, 求 d 的取值范疇？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：當(dāng) xyd0 恒成立,即d xy恒成立,只須d xy 的最小值精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即可,故而將問題轉(zhuǎn)化為求- x +y 的最值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

5、解：設(shè) xcos、 y1sin、xcos、 ysin1（三角換元,也可以認(rèn)為為將精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圓的方程改寫為參數(shù)方程）就：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載d xsinycos1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2sin 2 sincos114精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載而22 sin2422 sin24212 sin1214精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 sin1的最小值為421 ,即 xy 的最小值為21 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

6、要使 d xy 恒成立,只須d21注：要使一個參數(shù)要比一個式子小恒成立,只須比這個式子的最小值仍要?。欢?“存在”字眼在不等式含參問題中的解法；如王員外的擇婿條件變成找一個比其中一個女兒的年齡大的女婿的話,那年齡的要求只需比最小女兒的年齡大；這一常識可以應(yīng)用于解含“存在”字眼的不等式含參問題；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 1（引）：求存在xr 使不等式x4x3a 成立時的 a 的取值范疇？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：令 y =x -4 -x -3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精

7、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載存在 xr 使 x4x3a 只需 aymin精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由 y =x -4 -x -3的圖像可求得ymin-7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a-7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注：字眼從“任意”變到“存在”,結(jié)果就從aymax 變?yōu)?aymin,真為戲劇性的轉(zhuǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變呀；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2（引）.設(shè)存在實數(shù)x、 y 滿意 x2 y1 21 ,使 xyd0 成立,求 d 的取精品學(xué)

8、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載值范疇？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：存在實數(shù)x、 y 使 xyd0 成立,即 d xy 成立,只須 dxy 的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載最大值即可,故而將問題轉(zhuǎn)化為求- x +y 的最值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：設(shè) xcos、 y1sin、xcos、 ysin1（三角換元,也可以認(rèn)為為將精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圓

9、的方程改寫為參數(shù)方程）就：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載d xsinycos1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2sin 2 sincos114精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載而22 sin2422 sin24212 sin1214精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 sin1的最大值為421,即 xy的最大值為21 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載存在實數(shù)x、 y 使 xyd0 成立,只須d21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

10、歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注：字眼從“任意”變到“存在”,結(jié)果就從dymin 變?yōu)?dym ax,真為戲劇性的轉(zhuǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變呀；三.典例分析通過以上的例子大家對含“任意” 或“存在” 字眼的不等式含參問題的解法已有了熟悉,下面一起來解決20xx年新課標(biāo)全國卷（文）21 題例 3.2021 ·課標(biāo)全國卷21設(shè)函數(shù) f x ex ax 2.(1) 求 f x 的單調(diào)區(qū)間；(2) 如 a 1, k 為整數(shù),且當(dāng)x>0 時, xk f x x 1>0,求 k 的最大值解： 1 f x 的定義域為 , , f x ex

11、 a.如 a0,就 f x>0 ,所以 f x 在 , 單調(diào)遞增如 a>0,就當(dāng) x , ln a 時, f x<0 ；當(dāng) xln a, 時, f x>0 ,所以, f x 在 , ln a 單調(diào)遞減,在ln a, 單調(diào)遞增2 由于 a 1,所以 xk f x x 1 x ke x 1 x1.故當(dāng) x>0 時, x k f x x1>0 等價于精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載x 11k<ex x x>0 （注： k 小于一個式子對任意大于0 的 x 恒成立只需比它的最小值?。﹛ 1令 g x ex x, 1所以 kg

12、x min精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載而 gx xe 1xexxx2 1 xx2.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x由1 知,函數(shù) h x e x 2 在0 , 單調(diào)遞增而 h1<0 , h2>0 ,所以 h x 在0 , 存在唯獨的零點故 gx 在0 , 存在唯獨的零點設(shè)此零點為 ,就 1、2 當(dāng) x 0 , 時, gx<0 ；當(dāng) x , 時, gx>0. 所以 g x 在 0 ,的最小值為g 又由 g 0,可得 e 2,所以 g 1 2、3由于式等價于k<g , k2故整數(shù) k 的最大值為2.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

13、 歡迎下載例 4.已知fx2xlnx、gx-x 2ax3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）求函數(shù)f x的最小值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）如存在 x 0、 ,使f xg x 成立,求實數(shù)a 的取值范疇；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：（ 1）f x 的定義域為0、 , f ' x2ln x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令

14、 f ' xx10、e0 得 x1 e1e1 、e精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載'f xfx_0+2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載微小值 -e精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載只有一個微小值點,也就為最小值點,所以,fxminf 1 - 2ee精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2 ） 存 在x0、, 使f xg x成 立 , 即 存 在x0、使精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

15、迎下載2xlnx-x 2ax3 成立；3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載也就為存在x0、 使 a2lnxx成立,x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載只需 a2lnxx3 minx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載記 hx2lnxx'233 、 x x x0、3 x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載h x12xx20 得 xx1、 x3舍）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0、111、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

16、 - 歡迎下載h ' x_0+精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載hx微小值 4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以,hx minf14 ,所以 a4a32精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 5.設(shè) f x x xlnx, g x x x 3.(1) 當(dāng) a 2 時,求曲線y f x 在 x 1 處的切線方程；(2) 假如存在x1,x20、2使得 g x1 g x2 m成立,求滿意上述條件的最大整數(shù)m；1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(3) 假如對任意的s, t , 2 都有 f s g t 成立,求實數(shù)a 的取值范疇 . 2精品學(xué)

17、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：（ 1）當(dāng) a 2 時, f x 2 xln x,f x' x2ln x x 21、 f12、 f' 11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 y2x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以曲線在x1處的切線方程為xy - 30精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2 ） 存 在x1 , x20、2使 得g x1 g x2 m成 立 , 等 價 于精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mgx 1 g x2 maxg xmaxg x min精品學(xué)習(xí)

18、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載g x x3 x2 3, g ' x3 x22 x3 x x2 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0220、33 2 、223精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載g ' x_0+精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載gx-3極 最 小值- 85127精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以, mgx 1 g x2 maxg x maxg xmin85=1- （ -）=2711227精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以滿意條件的最大整數(shù)m=4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3）對 任 意 的s、t 1 、2、2都 有f s g t 成 立 , 等 價 于 在 區(qū) 間1 1 、 2 上2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x ming x max,由（ 2）知,在區(qū)間、2 上, 2g x maxg 21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以,f x min1 ,又由于1f 1a、a