復(fù)變函數(shù)與與積分變換：第一章：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)-第1節(jié)

1、浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院任課教師：潘永娟任課教師：潘永娟課程網(wǎng)址課程網(wǎng)址: http:/:74/fbhs/公共公共 E-mail Address Password: fubian 在在文件中心文件中心-網(wǎng)盤目錄下的子目錄下網(wǎng)盤目錄下的子目錄下復(fù)變函數(shù)歷史背景復(fù)變函數(shù)歷史背景十八世紀(jì)：十八世紀(jì)：十六世紀(jì)：復(fù)數(shù)十六世紀(jì)：復(fù)數(shù)“虛數(shù)虛數(shù)”復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義流體力學(xué)等流體力學(xué)等達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾(Alembert: 1717-1783)歐拉歐拉 (Euler: 1707-1783) 復(fù)變函數(shù)歷史背景復(fù)變函數(shù)歷史背景十十九九世紀(jì)：世紀(jì)：柯西柯西 (Cauchy:

2、1789-1857): 復(fù)積分復(fù)積分黎曼黎曼 (Riemann: 1826-1866): 保形映射等保形映射等Cauchy-Riemann方程方程維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯 (Weierstrass: 1815-1897): 復(fù)級(jí)數(shù)復(fù)級(jí)數(shù)-復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立Fourier (傅里葉傅里葉 1768 1830)法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家. 代表作代表作熱的解析理論熱的解析理論(1822年年)(三角級(jí)數(shù)和三角積分三角級(jí)數(shù)和三角積分) 傅里葉分析傅里葉分析對(duì)近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展對(duì)近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展 都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響. 積分變換歷

3、史背景積分變換歷史背景(Fourier級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)和Fourier積分積分) Laplace (拉普拉斯拉普拉斯 1749 1827)法國(guó)數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家法國(guó)數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家代表性成果代表性成果:拉普拉斯變換、拉普拉斯定理、拉普拉斯方程拉普拉斯變換、拉普拉斯定理、拉普拉斯方程在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。積分變換歷史背景積分變換歷史背景(天體力學(xué)的主要奠基人、分析概率論天體力學(xué)的主要奠基人、分析概率論的創(chuàng)始人的創(chuàng)始人)研究?jī)?nèi)容研究?jī)?nèi)容主要內(nèi)容主要內(nèi)容:復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù): 自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)解析函數(shù)解析函數(shù)( 可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù) )復(fù)變函數(shù)

4、的積分復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)級(jí)數(shù)復(fù)級(jí)數(shù)留數(shù)留數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)積分變換積分變換: 將實(shí)函數(shù)變換為復(fù)函數(shù)將實(shí)函數(shù)變換為復(fù)函數(shù)Fourier變換變換Laplace變換變換Z變換變換(2) 復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于計(jì)算某些復(fù)雜的復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于計(jì)算某些復(fù)雜的實(shí)函實(shí)函數(shù)的積分?jǐn)?shù)的積分. (1) 解決了代數(shù)方程解決了代數(shù)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解的的210 x (3) 復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于流體流體的平面平行流動(dòng)的平面平行流動(dòng)等問題的研究等問題的研究.應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論證明了應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論證明了代數(shù)基本定理代數(shù)基本定理復(fù)變

5、函數(shù)與積分變換應(yīng)用背景問題問題.(4) 應(yīng)用于計(jì)算繞流問題中的應(yīng)用于計(jì)算繞流問題中的壓力和力矩壓力和力矩等等.(5) 應(yīng)用于計(jì)算應(yīng)用于計(jì)算滲流滲流問題問題. 例如：大壩、鉆井的浸潤(rùn)曲線例如：大壩、鉆井的浸潤(rùn)曲線.(6) 應(yīng)用于平面應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)問題、電問題、電(磁磁)場(chǎng)強(qiáng)度場(chǎng)強(qiáng)度. 例如：熱爐中溫度的計(jì)算例如：熱爐中溫度的計(jì)算. 最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計(jì)算最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計(jì)算, 從而研究機(jī)翼的造型問題從而研究機(jī)翼的造型問題.變換應(yīng)用于變換應(yīng)用于頻譜分析頻譜分析和和信號(hào)處理信號(hào)處理等等. (7) 復(fù)變函數(shù)理論也是復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ)積分變換的重要基

6、礎(chǔ). 積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號(hào)分析、圖象處理工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號(hào)分析、圖象處理和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域 頻譜分析是對(duì)各次諧波的頻率、振幅、相位之頻譜分析是對(duì)各次諧波的頻率、振幅、相位之間的關(guān)系進(jìn)行分析間的關(guān)系進(jìn)行分析. 隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，語音、圖隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，語音、圖象等作為信號(hào)，在頻域中的處理要方便得多象等作為信號(hào)，在頻域中的處理要方便得多.(8)變換應(yīng)用于求解微積分方程和控制問題變換應(yīng)用于求解微積分方程和控制問題. 在控制問題中，傳遞函數(shù)是輸入量的在控制問

7、題中，傳遞函數(shù)是輸入量的Laplace變換與輸出量的變換與輸出量的Laplace變換之比變換之比.(9)(10) 后繼的相關(guān)課程后繼的相關(guān)課程電路原理電路原理， 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)，通信原理通信原理， 數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)處理，自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理，電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法 復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論和方法是實(shí)復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多之間有許多相似之處相似之處。但又有。但又有不同之處不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)

8、與結(jié)果意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果. 積分變換中公式積分變換中公式復(fù)雜復(fù)雜，但要理解和掌握，但要理解和掌握本質(zhì)本質(zhì).復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的幾何表示乘冪與方根乘冪與方根復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)的概念引進(jìn)虛數(shù)單位引進(jìn)虛數(shù)單位i，規(guī)定：規(guī)定：21,i iyxz稱稱為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù). .,Rx yx, y 分別稱為分別稱為 z 的的實(shí)部實(shí)部和和虛部，虛部，記為記為)Im(),Re(zyzx復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)(C)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) ( y =0)虛數(shù)虛數(shù) ( )0y 純

9、虛數(shù)純虛數(shù) ( x=0)非純虛數(shù)非純虛數(shù) ( )0 x 簡(jiǎn)單性質(zhì)：簡(jiǎn)單性質(zhì)：111,zxiy222iyxz,則212121yyxxzz且(2) 000yxiyxz且.(1) 設(shè)注意：一般說來，任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大?。∽⒁猓阂话阏f來，任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小！. .11221212()()()()xiyxiyxxi yy)()()()(211221212211yxyxiyyxxiyxiyx11111222222222()()()()zxiyxiyxiyzzxiyxiyxiy二二 、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算111,zxiy222iyxz設(shè)1. 和、差：2. 積：3. 商：2(0)z 復(fù)數(shù)的

10、加法與乘法滿足交換律，結(jié)合律；乘法還滿復(fù)數(shù)的加法與乘法滿足交換律，結(jié)合律；乘法還滿足分配律。足分配律。1212211222222222,x xy yx yx yixyxy1212,zzzz1 212,z zz z11222 (0);zzzzz;zz222Re( )Im( ) ;zzzzz2Re( ), 2Im( ).z zzz ziz （1）（2） （3）（4）41,mi41,mii421,mi43,mii()m Z5. 4. 共軛復(fù)數(shù)： 設(shè) , 則定義共軛復(fù)數(shù) zxiyzxiy,并有如下性質(zhì)：1nn-110. aaaa0,2. ()nnzxxxz證明若 是實(shí)系數(shù)方程證明若 是實(shí)系數(shù)方程的根

11、則 也是其根實(shí)系數(shù)方程的復(fù)根成對(duì)出現(xiàn)的根 則 也是其根實(shí)系數(shù)方程的復(fù)根成對(duì)出現(xiàn)例例22. ,1? zzzz對(duì)任何 是否有如果是,給出證明,對(duì)任何 是否有如果是,給出證明,如果不是,對(duì)哪些 值如果不是,對(duì)哪些 值例例才成立?才成立?三、復(fù)平面及復(fù)數(shù)的幾何表示三、復(fù)平面及復(fù)數(shù)的幾何表示設(shè) zxiyOxyxyP()P x y,x軸實(shí)軸,虛軸y軸1. 模模 、輻角、輻角z rOP (x,y)22xy ;, ,xzyz,zxy22 zzzz則有模：輻角：Arg,ztan(Arg )yzxOP A 00 OPz在在 時(shí)時(shí), 定義定義 的輻角的輻角 是以正實(shí)軸為始邊是以正實(shí)軸為始邊,以表示以表示 的向量的向

12、量 為終邊的角的為終邊的角的弧度數(shù)弧度數(shù), 記作：記作： 0z zzOP 任一非零復(fù)數(shù)的幅角有無窮多個(gè)，且任意兩個(gè)幅任一非零復(fù)數(shù)的幅角有無窮多個(gè)，且任意兩個(gè)幅角之間相差角之間相差2.k輻角主值輻角主值 的確定的確定)0(argzzzarg00 在在 的幅角中的幅角中, 把滿足把滿足 的幅角的幅角 定義定義為為z的輻角主值，記作的輻角主值，記作 (0)z 0OxyxyP(x,y)0arctan 0,00/2, 0, 0/2 0, 0argarctan 0,0arctan 0,0 0,0yxyyxxyxyzyxyxyxyxxy ,;,;,;,.或，注意：當(dāng)注意：當(dāng)z=0時(shí)時(shí), 輻角不確定輻角不確定

13、.Argarg2 ,zzkkZ即argarg ?zz (第二象限第二象限)(第三象限第三象限)121212,zzzzzz2. 復(fù)數(shù)的向量運(yùn)算復(fù)數(shù)的向量運(yùn)算: yx y OO12z z2z1z2z2z 12z zx平行四邊形法則或三角形法則平行四邊形法則或三角形法則有關(guān)系式：有關(guān)系式：1z3. 復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示cossinxryr, rz其中則則(cossin )zriire復(fù)數(shù)的三角表示復(fù)數(shù)的三角表示.復(fù)數(shù)的指數(shù)表示復(fù)數(shù)的指數(shù)表示. 線段線段 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度12z z12zz為為為為z的一個(gè)輻角的一個(gè)輻角(一般取一般取 輻角主值輻角主值) 1211221) ,ii

14、zrezr e設(shè)則則121212,=+2.zzrrk且2) 0| 0.zz有如下結(jié)論有如下結(jié)論:1) 13 ,zi 2) sincos55zi1,rz3sincoscos,52510例例1 1 將下列復(fù)數(shù)化為三角形式與指數(shù)形式將下列復(fù)數(shù)化為三角形式與指數(shù)形式. .3cossinsin,5251033cossin1010zi 310.ie解解 1)2,rz3arctan()12,3222 cossin33zi 232.ie 2)1212() ()zzzz例例2 2 設(shè)設(shè)z1, ,z2為任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證為任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證證明證明2121zzzz2121212()()zzzzzz21122211

15、zzzzzzzz21122221zzzzzz1 21 21 22Re(),z zzzz z)2Re(212221221zzzzzz2122212zzzz2212122 zzzz因?yàn)橐驗(yàn)樗运詢蛇呴_方即得所要得不等式兩邊開方即得所要得不等式. .212()zz四四、乘冪與方根乘冪與方根111111(cossin),izrire222222)sin(cosierirz12121122(cossin)(cossin)z zrrii1 212,z zzz)Arg()Arg()Arg(2121zzzz設(shè)則于是，12()12121212cos()sin()irrirr e1 212arg()arg( )

16、arg( )z zzz1、乘積乘積如取，121zzi ,幾何意義幾何意義 將復(fù)數(shù)將復(fù)數(shù)z1按按逆時(shí)針逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 Argz2，再將其伸縮再將其伸縮|z2|倍。倍。1 oxy(z)1z2 z1z22 z212()1 212121212cos()sin()iz zrrirr e對(duì)有限個(gè)復(fù)數(shù)相乘也有類似結(jié)果 ！2、商、商)-(121212121212)sin()cos(ierrirrzz2211,zzzz1212ArgArgArgzzzz于是，由復(fù)數(shù)除法的定義由復(fù)數(shù)除法的定義 z=z2 /z1,1211122,(0),iizrerzr e設(shè) |z|z1|=|z2| 及及 A

17、rgz1+Argz=Arg z2（ z10）即即 z1z = z22211,zrzzrArgz=Argz2-Argz1 即：即：2211argarg()arg( )zzzz(cossin ),izrire設(shè)innnnnerninrzzzz )sin(cos 個(gè)則 innnerz 由由定定義義得得.1nnzz 定義定義特別：當(dāng)特別：當(dāng)|z|=1時(shí)，即：時(shí)，即：zn=cosn+isin n，則有，則有 (cos+isin)n=cosn+isinn 一棣模佛一棣模佛(De Moivre)公式。公式。3、乘冪、乘冪()nZ問題問題 給定復(fù)數(shù)給定復(fù)數(shù)z=re i ，當(dāng)，當(dāng)z0時(shí)，求所有滿足時(shí)，求所有滿足

18、 n=z 的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)。這樣的。這樣的值都稱為值都稱為z 的的 n次方根，次方根，1.nz記,zeni 由由設(shè)設(shè) iinnree 有有)(2,Zkknrn （開方）（開方）乘方的逆運(yùn)算乘方的逆運(yùn)算112kinnnzr e22(cossin)nkkrinn)1, 2 , 1 , 0( nk3、方根、方根2, ()nkrkZn幾何上幾何上， 的的n個(gè)值是個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，以原點(diǎn)為中心， 為半為半徑的圓周上徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)，個(gè)等分點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周即它們是內(nèi)接于該圓周的正的正n邊形的邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。個(gè)頂點(diǎn)。1nznr148(1)22442(cossin) (0,1,2,3)44kikkik如xyo0 1 2 3 822i 113( 8)2k ?222(cossin) (0,1,2)33kkik13