高三數(shù)學(xué)高考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1 高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)第一章集合與函數(shù)概念【1.1.1 】集合的含義與表示（1）集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性. （2）常用數(shù)集及其記法n表示自然數(shù)集，n或n表示正整數(shù)集，z表示整數(shù)集，q表示有理數(shù)集，r表示實(shí)數(shù)集 .（3）集合與元素間的關(guān)系對(duì)象a與集合m的關(guān)系是am，或者am，兩者必居其一 . （4）集合的表示法自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合. 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合. 描述法： x|x具有的性質(zhì) ，其中x為集合的代表元素. 圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.（5）集合的分類含有有限個(gè)元素的集

2、合叫做有限集. 含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 (). 【1.1.2 】集合間的基本關(guān)系（6）子集、真子集、集合相等名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖子集ba（或)aba 中的任一元素都屬于 b (1)aa (2)a(3)若ba且bc，則ac(4)若ba且ba，則aba(b)或ba真子集ab （或 ba）ba，且 b 中至少有一元素不屬于a （1）a（a 為非空子集）(2)若ab且bc，則acba集合相等aba 中的任一元素都屬于 b， b 中的任一元素都屬于 a (1)ab (2)ba a(b)（7）已知集合a有(1)n n個(gè)元素，則它有2n個(gè)子集，它有21n個(gè)真子集，它

3、有21n個(gè)非空子集，它有22n非空真子集 . 高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2 【1.1.3 】集合的基本運(yùn)算（8）交集、并集、補(bǔ)集名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖交集ab|,x xa且xb（1）aaa（2）a（3）abaabbba并集ab|,x xa或xb（1）aaa（2）aa（3）abaabbba補(bǔ)集uae|,x xuxa且1()uaae2()uaaue【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法（1）含絕對(duì)值的不等式的解法不等式解集|(0)xa a|xaxa|(0)xa a|x xa或xa|,|(0)axbc axbc c把a(bǔ)xb看 成 一 個(gè) 整 體 ， 化 成|xa，|(0)xa

4、 a型不等式來(lái)求解（2）一元二次不等式的解法判別式24bac000二次函數(shù)2(0)yaxbxc a的圖象o一元二次方程20(0)axbxca的根21,242bbacxa（其中12)xx122bxxa無(wú)實(shí)根20(0)axbxca的解集1|x xx或2xx|x2bxar()()()uuuabab痧?()()()uuuabab痧?高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)3 20(0)axbxca的解集12|x xxx1.2 函數(shù)及其表示【1.2.1 】函數(shù)的概念（1）函數(shù)的概念設(shè)a、b是兩個(gè)非空的數(shù)集， 如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合a中任何一個(gè)數(shù)x，在集合b中都有唯一確定的數(shù)( )f x和它對(duì)應(yīng)，

5、 那么這樣的對(duì)應(yīng) （包括集合a，b以及a到b的對(duì)應(yīng)法則f）叫做集合a到b的一個(gè)函數(shù)，記作:fab函數(shù)的三要素: 定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)（2）區(qū)間的概念及表示法設(shè),a b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且ab，滿足axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做 , a b；滿足axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間，記做( , )a b；滿足axb，或axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別記做 , )a b，( , a b；滿足,xa xa xb xb的實(shí)數(shù)x的集合分別記做 ,),(,),(, ,(, )aabb注意： 對(duì)于集合|x axb與區(qū)間( , )a b，前者a可以大

6、于或等于b，而后者必須ab（3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：( )f x是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)( )f x是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)( )f x是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1tanyx中，()2xkkz零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零若( )f x是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是： 若已知( )f x的定義域?yàn)?, a b，其復(fù)合函數(shù)( )f g x的定義域應(yīng)由不等式( )

7、ag xb解出高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)4 對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義（4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲狄虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法：觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值判別

8、式法：若函數(shù)( )yf x可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程2( )( )( )0a y xb y xc y，則在( )0a y時(shí)，由于,x y為實(shí)數(shù)，故必須有2( )4 ( )( )0bya yc y，從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法【1.2.2 】函數(shù)的表示法（5）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析

9、法、列表法、圖象法三種解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（6）映射的概念設(shè)a、b是兩個(gè)集合， 如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合a中任何一個(gè)元素， 在集合b中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng) （包括集合a，b以及a到b的對(duì)應(yīng)法則f） 叫做集合a到b的映射，記作:fab給定一個(gè)集合a到集合b的映射，且,aa bb如果元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1 】單調(diào)性與最大（?。┲担?）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法高中數(shù)

10、學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)5 yxo函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對(duì)于屬于定義域i內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 x1、x2,當(dāng) x1 x2時(shí)，都有 f(x 1)f(x 2)， 那 么 就 說(shuō)f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是 增函數(shù)x1x2y=f(x)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3） 利用函數(shù)圖象 （在某個(gè)區(qū)間圖象上升為增）（4）利用復(fù)合函數(shù)如果對(duì)于屬于定義域i內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 x1、x2，當(dāng) x1f(x 2)， 那 么 就 說(shuō)f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是 減函數(shù)y=f(x)yxoxx2f(x )f(x )211（1）利用定

11、義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3） 利用函數(shù)圖象 （在某個(gè)區(qū)間圖象下降為減）（4）利用復(fù)合函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù) 對(duì) 于 復(fù) 合 函 數(shù)( )yf g x， 令( )ug x， 若( )yf u為 增 ，( )ug x為 增 ， 則( )yf g x為增；若( )yf u為減，( )ug x為減，則( )yf g x為增；若( )yf u為增 ，( )ug x為 減 ， 則 ( )yf g x為 減； 若( )yf u為 減，( )ug x為 增， 則( )yf g x為減（2）打“”函數(shù)(

12、 )(0)af xxax的圖象與性質(zhì)( )f x分別在(,a、,)a上為增函數(shù)，分別在,0)a、(0,a上為減函數(shù)（3）最大（?。┲刀x一般地，設(shè)函數(shù)( )yf x的定義域?yàn)閕，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：（1）對(duì)于任意的xi，都有( )fxm；（2）存在0 xi，使得0()f xm那么，我們稱m是函數(shù)( )f x的最大值，記作max( )fxm一般地，設(shè)函數(shù)( )yf x的定義域?yàn)閕，如果存在實(shí)數(shù)m滿足： （1）對(duì)于任意的xi，都有( )f xm； （2）存在0 xi，使得0()fxm那么，我們稱m是函數(shù)( )f x的最小值，記作高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)6 max( )fxm【1.3.

13、2 】奇偶性（4）函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x) 定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f( x)= f(x) ,那么函數(shù)f(x) 叫做 奇函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）如果對(duì)于函數(shù)f(x) 定義域內(nèi)任意一個(gè) x， 都有 f( x)= f(x) ,那么函數(shù) f(x) 叫做 偶函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱）若函數(shù)( )fx為奇函數(shù)，且在0 x處有定義，則(0)0f奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反

14、在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)補(bǔ)充知識(shí)函數(shù)的圖象（1）作圖利用描點(diǎn)法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；畫出函數(shù)的圖象利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象平移變換0,0,|( )()hhhhyf xyf xh左移 個(gè)單位右移 |個(gè)單位0,0,|( )( )kkkkyf xyf xk上移 個(gè)單位下移 |個(gè)單位伸縮變換01,1,( )()y

15、fxyfx伸縮01,1,( )( )aayfxyaf x縮伸對(duì)稱變換高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)7 ( )( )xyf xyf x軸( )()yyf xyfx軸( )()yf xyfx原點(diǎn)1( )( )y xyf xyfx直線( )(|)yyyyf xyfx去掉 軸左邊圖象保留 軸右邊圖象，并作其關(guān)于軸對(duì)稱圖象( )|( ) |xxyfxyfx保留 軸上方圖象將 軸下方圖象翻折上去（2）識(shí)圖對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系（3）用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)

16、量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法第二章基本初等函數(shù) ()2.1 指數(shù)函數(shù)【2.1.1 】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（1）根式的概念如果,1nxa ar xr n，且nn，那么x叫做a的n次方根當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a的n次方根用符號(hào)na表示；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)na表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)na表示； 0 的n次方根是 0；負(fù)數(shù)a沒(méi)有n次方根式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，0a 根 式 的 性 質(zhì) ：()nnaa； 當(dāng)n為 奇 數(shù) 時(shí) ，nnaa； 當(dāng)n為 偶 數(shù)

17、時(shí) ， (0)| (0) nnaaaaaa（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：(0,mnmnaaam nn且1)n0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：11()() (0,mmmnnnaam nnaa且1)n0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義注意口訣： 底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(0, ,)rsrsaaaar sr()(0, ,)rsrsaaar sr()(0,0,)rrraba babrr高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)8 【2.1.2 】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（4）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)(0 xyaa且1)a叫做指數(shù)函數(shù)圖象1a01a定

18、義域r值域(0,)過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)0 x時(shí)，1y奇偶性非奇非偶單調(diào)性在r上是增函數(shù)在r上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxax1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxaxa變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低2.2 對(duì)數(shù)函數(shù)【2.2.1 】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（1）對(duì)數(shù)的定義若(0,1)xan aa且，則x叫做以a為底n的對(duì)數(shù)，記作logaxn，其中a叫做底數(shù)，n叫做真數(shù)負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：log(0,1,0)xaxnan aan（2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式log 10a，log1aa，log

19、baab（3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)：lg n，即10logn；自然對(duì)數(shù)：ln n，即logen（其中2.71828e） xayxy(0,1)o1yxayxy(0,1)o1y高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)9 （4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果0,1,0,0aamn，那么加法：logloglog ()aaamnmn減法：logloglogaaammnn數(shù)乘：loglog()naanmmnrlogananloglog(0,)bnaanmm bnrb換底公式：loglog(0,1)logbabnnbba且【2.2.2 】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（5）對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對(duì)數(shù)函數(shù)定義函數(shù)log(0ayx a且1

20、)a叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象1a01a定義域(0,)值域r過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)1x時(shí)，0y奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)在(0,)上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況log0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxlog0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxa變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高(6) 反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)( )yf x的定義域?yàn)閍， 值域?yàn)閏， 從式子( )yf x中解出x，得式子( )xy如xyo(1 ,0 )1xlo gayxxyo( 1 ,0 )1xl o gayx高中數(shù)學(xué)必修 1-

21、必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)10 果對(duì)于y在c中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子( )xy，x在a中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子( )xy表示x是y的函數(shù)，函數(shù)( )xy叫做函數(shù)( )yf x的反函數(shù)，記作1( )xfy，習(xí)慣上改寫成1( )yfx（7）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式( )yf x中反解出1( )xfy；將1( )xfy改寫成1( )yfx，并注明反函數(shù)的定義域（8）反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)( )yf x與反函數(shù)1( )yfx的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱函數(shù)( )yf x的定義域、值域分別是其反函數(shù)1( )yfx的值域、定義域若( , )p a b在原函數(shù)( )yf x的圖

22、象上，則( , )p b a在反函數(shù)1( )yfx的圖象上一般地，函數(shù)( )yf x要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)2.3 冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù)（2）冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)11 一、二象限 (圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 )；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限過(guò)定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1)單調(diào)性：如果0，則冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且

23、在0,)上為增函數(shù)如果0，則冪函數(shù)的圖象在(0,)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近x軸與y軸奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)qp（其中, p q互質(zhì)，p和qz） ，若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)， 則qpyx是奇函數(shù)， 若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)， 則qpyx是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則qpyx是非奇非偶函數(shù)圖象特征：冪函數(shù),(0,)yxx，當(dāng)1時(shí)，若01x，其圖象在直線yx下方，若1x，其圖象在直線yx上方，當(dāng)1時(shí)，若01x，其圖象在直線yx上方，若1x，其圖象在直線yx下方補(bǔ)充知識(shí)二次函數(shù)（1）二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：2( )(0)f xaxbxc a頂

24、點(diǎn)式：2( )()(0)f xa xhk a兩根式：12( )()()(0)f xa xxxxa（2）求二次函數(shù)解析式的方法已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式若已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求( )f x更方便（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù)2( )(0)f xaxbxc a的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為,2bxa頂點(diǎn)坐標(biāo)是24(,)24bacbaa當(dāng)0a時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在(,2ba上遞減，在,)2ba上遞增， 當(dāng)2bxa時(shí)，2min4( )4acbfxa；當(dāng)0a時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在(,2

25、ba上遞增，在,)2ba上遞減，當(dāng)2bxa時(shí)，2max4( )4acbfxa高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)12 二次函數(shù)2( )(0)f xaxbxc a當(dāng)240bac時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)11221212( ,0),( ,0),| | |m xm xmmxxa（4）一元二次方程20(0)axbxca根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布設(shè)一元二次方程20(0)axbxca的兩實(shí)根為

26、12,x x，且12xx令2( )f xaxbxc， 從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類問(wèn)題：開(kāi)口方向：a對(duì)稱軸位置：2bxa判別式：端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)kx1x2xy1x2x0aoabx20)(kfkxy1x2xoabx2k0a0)(kfx1x2kxy1x2x0aoabx2k0)(kfxy1x2xoabx2k0a0)(kfx1kx2af( k) 0 0)(kfxy1x2x0aokxy1x2xok0a0)(kf高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)13 k1x1x2k2xy1x2x0ao1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xo0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2有且僅有一個(gè)根x1（或 x

27、2）滿足 k1x1（或 x2）k2f( k1) f( k2)0，并同時(shí)考慮f(k1)=0或 f( k2)=0 這兩種情況是否也符合xy1x2x0ao1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xo0a1k2k0)(1kf0)(2kfk1x1k2p1x2p2此結(jié)論可直接由推出（5）二次函數(shù)2( )(0)f xaxbxc a在閉區(qū)間, p q上的最值設(shè)( )f x在區(qū)間, p q上的 最大值為m，最小值為m，令01()2xpq（）當(dāng)0a時(shí)（開(kāi)口向上）若2bpa，則( )mf p若2bpqa，則()2bmfa若2bqa，則( )mf q若02bxa，則( )mf q02bxa，則( )mfpxof(p

28、)f(q)()2bfaxof(p)f(q)()2bfaxof(p)f(q)()2bfaxof(p)f(q)()2bfa0 xxof(p)f(q)b0 x高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)14 ( ) 當(dāng)0a時(shí)( 開(kāi)口向下 ) 若2bpa，則()mfp若2bpqa，則()2bmfa若2bqa，則( )mf q若02bxa，則( )mf q02bxa，則( )mfp第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù))(dxxfy，把使0)(xf成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù))(dxxfy的零點(diǎn)。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義： 函數(shù))(xfy的零點(diǎn)就是方程0)(xf實(shí)數(shù)根， 亦即函數(shù))(xfy的圖

29、象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程0)(xf有實(shí)數(shù)根函數(shù))(xfy的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù))(xfy有零點(diǎn)3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù))(xfy的零點(diǎn)： 1（代數(shù)法）求方程0)(xf的實(shí)數(shù)根； 2（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù))(xfy的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù))0(2acbxaxy），方程02cbxax有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)），方程02cbxax有兩相等實(shí)根（二重根） ，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)），方程02cbxax無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函

30、數(shù)無(wú)零點(diǎn)xof(p)f(q)()2bfaxof(p)f(q)()2bfaxof(p)f(q)()2bfa0 xxof(p)f(q)()2bfaxof(p)f(q)()2bfa0 x高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)15 高中數(shù)學(xué)必修 2 知識(shí)點(diǎn)第一章空間幾何體1.1 柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖1 三視圖：正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下2 畫三視圖的原則：長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等3 直觀圖：斜二測(cè)畫法4 斜二測(cè)畫法的步驟：（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；（2）.平行于 y 軸的線長(zhǎng)度變半，平行于x，z 軸的線長(zhǎng)度不變；（3）.畫法要寫

31、好。5 用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的步驟：（1）畫軸（ 2）畫底面（ 3）畫側(cè)棱（ 4）成圖1.3 空間幾何體的表面積與體積（一）空間幾何體的表面積1 棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和2 圓柱的表面積3 圓錐的表面積2rrls4 圓臺(tái)的表面積22rrlrrls5 球的表面積24 rs（二）空間幾何體的體積1 柱體的體積hsv底2 錐體的體積hsv底313 臺(tái)體的體積hssssv)31下下上上（4 球體的體積334rv第二章直線與平面的位置關(guān)系2.1 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1 1 平面含義：平面是無(wú)限延展的2 平面的畫法及表示（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形

32、，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的 2 倍長(zhǎng)（如圖）（2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示，如平面ac 、平面 abcd等。3 三個(gè)公理：（1）公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號(hào)表示為al bl = l ab公理 1 作用：判斷直線是否在平面內(nèi)222rrlsd c b a la 高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)16 （2）公理 2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為： a、b、c三點(diǎn)不共線 = 有且只有一個(gè)平面，使 a、b 、c。公理 2 作用：確

33、定一個(gè)平面的依據(jù)。（3）公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為： p = =l，且 pl 公理 3 作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c 是三條直線ab cb 強(qiáng)調(diào)：公理4 實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理 4 作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角

34、定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4 注意點(diǎn)： a 與 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置來(lái)確定，與o 的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)o 一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， ) ； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線在平

35、面平行 沒(méi)有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來(lái)表示a a=a a2.2. 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：c b a p l共面直線=a c2高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)17 a b = aab 2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：a b ab = p ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；

36、（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.3 2.2.4 直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：aa ab = b 作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)表示：= a ab = b 作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1 直線與平面垂直的判定1、定義如果直線l 與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l 與平面 互相垂直，記作l，直線

37、l 叫做平面 的垂線，平面 叫做直線 l 的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí), 它們唯一公共點(diǎn)p叫做垂足。 l p 2、判定定理： 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)18 注意點(diǎn)： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2 平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形a 梭 l b 2、二面角的記法：二面角-l-或-ab- 3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。2.3

38、.3 2.3.4 直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2 性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖第三章直線與方程3.1 直線的傾斜角和斜率3.1 傾斜角和斜率1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l 與 x 軸相交時(shí) , 取 x 軸作為基準(zhǔn) , x軸正向與直線l 向上方向之間所成的角 叫做直線 l 的傾斜角 . 特別地 , 當(dāng)直線 l 與 x 軸平行或重合時(shí) , 規(guī)定 = 0 . 2、 傾斜角 的取值范圍： 0 180. 當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí) , = 90 . 3、直線的斜率 : 一條直線的傾斜角( 90)

39、的正切值叫做這條直線的斜率, 斜率常用小寫字母k表示 , 也就是 k = tan 當(dāng)直線 l 與 x 軸平行或重合時(shí) , =0, k = tan0=0; 當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí) , = 90 , k 不存在 . 由此可知 , 一條直線 l 的傾斜角 一定存在 , 但是斜率 k 不一定存在 . 平面（公理1、公理 2、公理 3、公理 4）空間直線、平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)19 22122221ppxxyy4、 直線的斜率公式 : 給定兩點(diǎn) p1(x1,y1),p2(x2,y2),x1x2, 用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線p1p2的

40、斜率：斜率公式 : k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 兩條直線的平行與垂直1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意 : 上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立即如果k1=k2, 那么一定有 l1l2 2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即3.2.1 直線的點(diǎn)斜式方程1、直線的 點(diǎn)斜式 方程：直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)),(000yxp，且斜率為k)(00 xxkyy2、 、直線的 斜截式 方程：已知直線l的斜

41、率為k，且與y軸的交點(diǎn)為),0(bbkxy3.2.2 直線的兩點(diǎn)式方程1 、 直 線 的 兩 點(diǎn) 式 方 程 ： 已 知 兩 點(diǎn)),(),(222211yxpxxp其 中),(2121yyxxy-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直線的截距式方程：已知直線l與x軸的交點(diǎn)為a)0,(a，與y軸的交點(diǎn)為b),0(b，其中0,0 ba3.2.3 直線的一般式方程1、直線的一般式方程：關(guān)于yx,的二元一次方程0cbyax（a，b 不同時(shí)為 0）2、各種直線方程之間的互化。3.3 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式3.3.1 兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1、給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)l1：3x+4y-2=0 l1：2x+

42、y +2=0 方程組3422220 xyxy解 ： 解得 x=-2，y=2 所以 l1 與 l2 的交點(diǎn)坐標(biāo)為m（-2，2）3.3.2兩點(diǎn)間距離兩點(diǎn)間的距離公式3.3.3點(diǎn)到直線的距離公式高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)20 1點(diǎn)到直線距離公式：點(diǎn)),(00yxp到直線0:cbyaxl的距離為：2200bacbyaxd2、兩平行線間的距離公式：已知兩條平行線直線1l和2l的一般式方程為1l：01cbyax，2l：02cbyax，則1l與2l的距離為2221baccd第四章圓與方程4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：222()()xaybr圓心為 a(a,b),半徑為 r 的圓的方程

43、2、點(diǎn)00(,)m xy與圓222()()xaybr的關(guān)系的判斷方法：（1）2200()()xayb2r，點(diǎn)在圓外（2）2200()()xayb=2r，點(diǎn)在圓上（3）2200()()xayb2r，點(diǎn)在圓內(nèi)4.1.2 圓的一般方程1、圓的一般方程：022feydxyx2、圓的一般方程的特點(diǎn)：(1) x2 和 y2 的系數(shù)相同，不等于0沒(méi)有 xy 這樣的二次項(xiàng) (2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)d、e、f，因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了(3) 、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。4.2.1 圓與圓的位

44、置關(guān)系1、用點(diǎn)到直線的距離來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l：0cbyax， 圓c：022feydxyx， 圓的半徑為r， 圓心)2,2(ed到直線的距離為d，則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)rd時(shí)，直線l與圓c相離； （2）當(dāng)rd時(shí)，直線l與圓c相切；（3）當(dāng)rd時(shí)，直線l與圓c相交；4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)21 兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的連心線長(zhǎng)為l，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)21rrl時(shí)，圓1c與圓2c相離；（2）當(dāng)21rrl時(shí)，圓1c與圓2c外切；（3）當(dāng)|21rr21rrl時(shí)，圓1c與圓2c相交；（4）當(dāng)|2

45、1rrl時(shí)，圓1c與圓2c內(nèi)切；（5）當(dāng)|21rrl時(shí)，圓1c與圓2c內(nèi)含；4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；2、過(guò)程與方法用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論4.3.1 空間直角坐標(biāo)系1、點(diǎn) m 對(duì)應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組),(zyx，x、y、z分別是 p、q、r 在x、y、z軸上的坐標(biāo)2、有序?qū)崝?shù)組),(zyx，對(duì)應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)3、空間中任意點(diǎn)m 的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組

46、),(zyx來(lái)表示，該數(shù)組叫做點(diǎn)m 在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)， 記 m),(zyx，x叫做點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn) m 的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn) m 的豎坐標(biāo)。4.3.2 空間兩點(diǎn)間的距離公式1、空間中任意一點(diǎn)),(1111zyxp到點(diǎn)),(2222zyxp之間的距離公式22122122121)()()(zzyyxxppoyxmmrpqoyzxmp1p2nm1n2n1m2h高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)22 高中數(shù)學(xué)必修 3 知識(shí)點(diǎn)第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類問(wèn)題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有

47、效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成. 2. 算法的特點(diǎn) : (1)有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無(wú)限的. (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可. (3)順序性與正確性： 算法從初始步驟開(kāi)始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無(wú)誤，才能完成問(wèn)題. (4)不唯一性：求解某一個(gè)問(wèn)題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具體的問(wèn)題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過(guò)有限、

48、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決. 1.1.2程序框圖1、程序框圖基本概念：（一）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說(shuō)明來(lái)準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說(shuō)明。（二）構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用程序框名稱功能起止框表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少的。輸入、輸出框表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明 “是”高中數(shù)學(xué)必修

49、 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)23 或“ y” ；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“n” 。學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的時(shí)候，要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：1 、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號(hào)。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號(hào)只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過(guò)一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號(hào)。4 、判斷框分兩大類， 一類判斷框“是” 與“否” 兩分支的判斷， 而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語(yǔ)言要非常簡(jiǎn)練清楚。（三） 、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。1 、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，

50、語(yǔ)句與語(yǔ)句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的一種基本算法結(jié)構(gòu)。順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來(lái)，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，a 框和 b 框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完a 框指定的操作后，才能接著執(zhí)行 b 框所指定的操作。2、條件結(jié)構(gòu)：條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過(guò)對(duì)條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。條件 p是否成立而選擇執(zhí)行a框或 b框。無(wú)論 p條件是否成立，只能執(zhí)行a 框或 b框之一，不可能同時(shí)執(zhí)行 a 框和 b框，也不可能a框、 b 框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判

51、斷框。3 、循環(huán)結(jié)構(gòu)： 在一些算法中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開(kāi)始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類：（1） 、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件p 成立時(shí)，執(zhí)行a 框，a 框執(zhí)行完畢后，再判斷條件p 是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行a 框，如此反復(fù)執(zhí)行a 框，直到某一次條件p 不成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行a 框，離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu)。（2） 、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件p 是否成立，如果 p仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行a

52、框，直到某一次給定的條件p 成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行a 框，離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu)。a b a 成立不成立p 不成立p 成立a 高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)24 當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)注意： 1 循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來(lái)判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2 在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。1.2.1輸入、輸出語(yǔ)句和賦值語(yǔ)句1 、輸入語(yǔ)句（1）輸入語(yǔ)句的一般格式（2）輸入語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能；（3） “提示內(nèi)容”提示用

53、戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運(yùn)行時(shí)其值是可以變化的量；（4）輸入語(yǔ)句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式；（5）提示內(nèi)容與變量之間用分號(hào)“；”隔開(kāi)，若輸入多個(gè)變量，變量與變量之間用逗號(hào)“，”隔開(kāi)。2、輸出語(yǔ)句（1）輸出語(yǔ)句的一般格式（2）輸出語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；（3） “提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)； （4）輸出語(yǔ)句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及字符。3、賦值語(yǔ)句（1）賦值語(yǔ)句的一般格式（2）賦值語(yǔ)句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量；（3）賦值語(yǔ)句中的“”稱作賦值號(hào)，與數(shù)學(xué)中的等號(hào)的意義是不同的。賦值號(hào)的左右兩邊不

54、能對(duì)換，它將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量；（4）賦值語(yǔ)句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式；（5）對(duì)于一個(gè)變量可以多次賦值。注意： 賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如：2=x是錯(cuò)誤的。賦值號(hào)左右不能對(duì)換。如“a=b ” “b=a ”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。不能利用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數(shù)式的演算。（如化簡(jiǎn)、 因式分解、解方程等）賦值號(hào)“= ”與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同。122 條件語(yǔ)句1、條件語(yǔ)句的一般格式有兩種： （1）ifthen else 語(yǔ)句； （2）ifthen 語(yǔ)句。2、ifthen else語(yǔ)句ifthen else 語(yǔ)句的一般格式

55、為圖1，對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖2。圖形計(jì)算器格式input“提示內(nèi)容”；變量input “提示內(nèi)容”，變量print“提示內(nèi)容”；表達(dá)式圖形計(jì)算器格式disp “提示內(nèi)容”，變量變量表達(dá)式圖形計(jì)算器格式表達(dá)式變量高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)25 圖 1 圖 2 分析：在 ifthen else 語(yǔ)句中，“條件”表示判斷的條件， “語(yǔ)句 1”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語(yǔ)句2”表示不滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；end if 表示條件語(yǔ)句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對(duì)if 后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行then 后面的語(yǔ)句1；若條件不符合，則執(zhí)行else 后面的語(yǔ)句 2。3、ift

56、hen 語(yǔ)句ifthen 語(yǔ)句的一般格式為圖3，對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖4。注意： “條件”表示判斷的條件； “語(yǔ)句”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容， 條件不滿足時(shí)，結(jié)束程序；end if 表示條件語(yǔ)句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)首先對(duì)if 后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合就執(zhí)行then 后邊的語(yǔ)句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語(yǔ)句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語(yǔ)句。123 循環(huán)語(yǔ)句循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)的。對(duì)應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言中也有當(dāng)型（ while型）和直到型（ until型）兩種語(yǔ)句結(jié)構(gòu)。即while語(yǔ)句和 until語(yǔ)句。1、while語(yǔ)句（1）while語(yǔ)句的一般格式是對(duì)應(yīng)的程序框圖

57、是（2）當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到while語(yǔ)句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行while與 wend之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件不符合為止。這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到wend 語(yǔ)句后，接著執(zhí)行wend 之后的語(yǔ)句。因此，當(dāng)型循環(huán)有時(shí)也稱為“前測(cè)試型”循環(huán)。if 條件then語(yǔ)句 1 else 語(yǔ)句 2 end if 否是滿足條件？語(yǔ)句 1 語(yǔ)句 2 if 條件 then語(yǔ)句end if （圖 3）滿足條件？語(yǔ)句是否（圖 4）while 條件循環(huán)體wend 滿足條件？循環(huán)體否是高中數(shù)學(xué)必修 1-必修 5 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)26

58、 2、until語(yǔ)句（1）until語(yǔ)句的一般格式是對(duì)應(yīng)的程序框圖是（2）直到型循環(huán)又稱為“后測(cè)試型”循環(huán)，從until型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語(yǔ)句時(shí)，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿足時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到loop until語(yǔ)句后執(zhí)行其他語(yǔ)句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語(yǔ)句。分析： 當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學(xué)生討論再歸納）（1）當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；在 while語(yǔ)句中，是當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，在until語(yǔ)句中，是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)1.3

59、.1 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：（1） ：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n 得到一個(gè)商0s和一個(gè)余數(shù)0r； （2） ：若0r0，則 n 為 m ，n 的最大公約數(shù)；若0r0，則用除數(shù)n 除以余數(shù)0r得到一個(gè)商1s和一個(gè)余數(shù)1r； （3） ：若1r0，則1r為 m ，n 的最大公約數(shù)； 若1r0，則用除數(shù)0r除以余數(shù)1r得到一個(gè)商2s和一個(gè)余數(shù)2r；依次計(jì)算直至nr0，此時(shí)所得到的1nr即為所求的最大公約數(shù)。2、更相減損術(shù)我國(guó)早期也有求最大公約數(shù)問(wèn)題的算法，就是更相減損術(shù)。在九章算術(shù)中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者

60、，副置分母?子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯為：（1） ：任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2 約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步。 （2） ：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。例 2 用更相減損術(shù)求98 與 63的最大公約數(shù) . 分析：（略）3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。滿足條件？循環(huán)體是