雙曲線的切線(全面版)

1、雙曲線的切線（11）本文擬討論由坐標(biāo)平面內(nèi)任意點(diǎn)P(x 0，y 0 )，引雙曲線 C1：x 2y 2= 1(a 0，a2b2b 0)(1) 的切線，切線的存在性、切線的條數(shù)、切線方程及切點(diǎn)坐標(biāo)不妨只考察P 在原點(diǎn)、 P 在坐標(biāo)軸正半軸上、P 在第一象限內(nèi)的情形當(dāng) P 在原點(diǎn)或P 在區(qū)域時(shí)，不存在切線；當(dāng)P 在C1 或C2(不含原點(diǎn)) 上時(shí)，僅一條切線；當(dāng)P 在區(qū)域、或在C3(不含A 、 B) 上時(shí)，有兩條切線結(jié)論：原點(diǎn)處無(wú)切線。點(diǎn)在 C3 上時(shí)一條切線當(dāng) P 在線段 AB 上時(shí)， Q 在 C1 的右支上半支當(dāng) P 在線段 AB 的延長(zhǎng)線上時(shí)，Q 在 C1 的左支下半支 若點(diǎn) P 在區(qū)域內(nèi) ,

2、過(guò) P 不存在切線 若點(diǎn) P 在曲線 C 1 上 (異于點(diǎn) A), 切點(diǎn)即點(diǎn) P若點(diǎn) P 在曲線 C2上 (異于點(diǎn) B),若P在線段 OB 上，Q在 C1右支下半支若 P 在線段 OB 的延長(zhǎng)線上，Q 在 C1 右支上半支若點(diǎn) P 在區(qū)域內(nèi) , Q1在 C1右支下半支， Q2 在 C右支上半支1若點(diǎn) P 在區(qū)域內(nèi) , Q、 Q位于 C同一支且在 x 軸同側(cè)121若點(diǎn) P 在區(qū)域內(nèi) , Q在 C的右支下半支， Q在 C的左支下半支1121? 若點(diǎn) P 在區(qū)域內(nèi) , Q1 在 C1 左支下半支， Q2 在 C1 的右支上半支如圖所示，記C 1 的漸近線為 C 2 x y = 0， C 1 的右頂點(diǎn)

3、為 A(a， 0) ，直線 C 3 a bx=a；C3 與 C2 的交點(diǎn)為 B(a，b)；C1 的內(nèi)部 (含焦點(diǎn)的部分 )為區(qū)域； C1 與 C2 之間的部分，在 C3 左側(cè)為區(qū)域，在 C3 右側(cè)部分為區(qū)域； C2 與 y 軸正半軸所夾的部分，在 C3 左側(cè)為區(qū)域，在 C3 右側(cè)為區(qū)域 1 若 P在原點(diǎn)x0 方程組 x 2y 2無(wú)實(shí)數(shù)解，a2b21 直線 x=0 不是 C1 的切線設(shè)過(guò) P(0， 0)的直線 l 的方程為 y=kx ，代入 (1)消去 y 得 (b2 a2k2)x2 a2b2，當(dāng) |k| b 時(shí)，此方程無(wú)實(shí)根，所以l與 C1無(wú)公共點(diǎn)；當(dāng) |k| b 時(shí)，此方程有兩相反aa實(shí)根，

4、 l 與 C1 有兩個(gè)交點(diǎn)故過(guò) P 不存在 C1 的切線2 若過(guò)點(diǎn) P 存在無(wú)斜率的切線此時(shí)切線方程為x = x 0 ，代入 (1)消去 x得 a2 y 2 = b2 (x 20 a2 ) ，此方程有兩相等實(shí)根的充要條件是 x 02 a2=0，即 |x 0 |= a故點(diǎn) P 在 C3上時(shí)， C31的一條切線，切點(diǎn)為 A 為 C3 若過(guò)點(diǎn) P 存在有斜率的切線設(shè)切線斜率為 k，則切線方程為y y0=k(x x0 )(2)將 (2) 代入 (1)消去 y 可得(b 2a2k2 )x2 2a2k(y 0 kx0 )x a2(y 0 kx 0)2 b2=0(3)方程 (3)的判別式= 4a2 b2 (

5、x 20 a2 )k 2 2x 0 y 0 k (y 20 b2 ) 令 f(k) = (x 20 a2 )k 2 2x0 y 0 k (y 20 b2 )3.1若點(diǎn) P 在 C3 上 (異于點(diǎn) A) x0=a，一次方程f(k)=0 的解為y 02b 2k =(4)2x 0 y0(1) 當(dāng) y 0 = b時(shí)，即 P與 B重合時(shí)， k = b ，過(guò) P且斜率為 b 的直線即直線 C 2 ，不是aaC1 的切線(2) 當(dāng)y 0 b時(shí)，將 (4) 代入 (2)得切線方程為 (y 20 b2 )x 2x0 y 0 yx 0 (y 20 b2 ) = 0.設(shè)切點(diǎn)為 Q(Q x ，Q y ) ，將切線方程

6、與 (1) 聯(lián)立解之可得 Q xx 0 ( b 2y 02 )， Q yb22y02b2 y 02b22y0當(dāng) P 在線段 AB 上時(shí)， b y0， Qx0， Qy 0，故 Q 在 C1 的右支上半支當(dāng) P 在線段 AB 的延長(zhǎng)線上時(shí)， b y0， Qx0， Qy 0，故 Q 在 C1 的左支下半支3.2若點(diǎn) P 不在 C3上此時(shí) x0 a二次方程f(k)=0 有實(shí)根的充要條件是其判別式= 4(b 2 x 20 a2 y 20 a2 b2 ) 0，x02y02設(shè) = (2b2 1)，a則 0 03.2.1若點(diǎn) P 在區(qū)域內(nèi)此時(shí)x 02y 021，a2b2 0方程 f(k)=0無(wú)實(shí)根，故過(guò)P 不

7、存在切線3.2.2若點(diǎn) P 在曲線 C 1上 (異于點(diǎn) A)此時(shí)x 02y 02= 1，(5)a2b2 = 0，方程 f(k)x 0 y 0b 2 x 0= 0的二重根為 k = 2a2，注意到 (5) 式，則 k =2y 0x 0a將 k值代入 (2) 整理得切線方程為b2 x 0 x a2 y 0 y = b2 x 02 a2 y 02 ，注意到 (5)式，切線方程可化為x 0 xy 0 y1切點(diǎn)即點(diǎn) Pa2b 23.2.3若點(diǎn) P 在曲線 C 2上 (異于點(diǎn) B)此時(shí)x 02y 02= 0，(6)a2b2 = 1 0，方程 f(k)= 0有兩相異實(shí)根易驗(yàn)證，k 1= y 0 是其一根，另

8、一根x 0為k 2 =y 02b 2÷y0=x0 (y 02b2 )(7)x2a2x 0y2200 (x 0a )過(guò)點(diǎn) P 且斜率為 k1的直線即 C，不是 C的切線故C僅有一條切線將 (7)211代入 (2)并注意到 (6) ，可得切線方程為x 02a2y 02b 2y = 12a2 x02b 2 y 0設(shè)切點(diǎn)為 Q(Q x ， Q y ) ，由 (3) 知， Q x =a2 k( y0kx 0 )b22k2，將 (7) 代入上式并注意到ax 02a2y 02b 2(6) ，則 Q x =，將 Q x 代入(2) 并注意到 (6) ，可得 Q y =，故切點(diǎn)為2x 02y0x 02

9、a2y02b2Q(，)2x02y 0 x0 0， Qx0，故 Q 在 C1的右支上若 P 在線段 OB 上， 0 y0b， Qy 0，故 Q 在 C1右支下半支若 P 在線段 OB 的延長(zhǎng)線上， y0 b， Qy0，故 Q 在 C1右支上半支若點(diǎn) P 在區(qū)域內(nèi)此時(shí)0 x 02 y 021，(8)a2b2 0，方程 f(k)=0有兩相異實(shí)根，設(shè)為k1 、 k2 ，且 k1k2，則k 1k 22x 0 y 0x 02a2(9)k 1k 2y 02b2x 02a2設(shè)相應(yīng)于 ki 的切點(diǎn)為 Qi (xi ， yi )， i=1 ， 2由 (3) 知 xia2 k i (y 0k i x0 )(10)=

10、222bak i將 (10) 代入 (2)得y i =b 2 ( y0k i x 0 )(11)b 2a2 k i2由 (10) 、(11)和 (9) 可推得x1 x 2a4 ( y02b 2 )b 2 x 02a2 y 02b4 ( x 02(12)y1 y 2a2 )b 2 x 02a2 y 02 0 x0 a， 0 y0 b，由 (8) 和 (12)知， x1x2 0， y1y2 0， Q1、 Q2 在 C1 的同一支，且在 x 軸異側(cè)x02a2 0b( y 0b0 )2 0 f ( )xaaf (b)( y 0b x0 ) 2 0aa f(k) = 0的兩根在區(qū)間 b ， b 之外，即

11、 |k i | b a aa由 (9) 知， k1k2 0， k 1 b ， k 2 b aa故 Q1在 C1 右支下半支， Q2在 C1右支上半支±b，代入特殊地，若 P在線段 OA上，由對(duì)稱性知 k1 = k 2 ，由 (9)得k =a2x 02(2)得切線方程 y = ±b(xx 0 )；代入 (10)、 (11)得切點(diǎn)坐標(biāo)為22a x 0a2b a2x 02(，±)x 0x 0若點(diǎn) P 在區(qū)域內(nèi)仿的討論可知， x1x2 0， y1y2 0， Q1、 Q2 位于 C1 同一支且在 x 軸同側(cè)二次函數(shù)f(k) 的對(duì)稱軸為x 0 y 0，易證x 0 y 0bk

12、= 2a22a2ax 0x 0事實(shí)上，取點(diǎn) M(x0 ， y )為 C 1 右支上半支上的點(diǎn)，則x 02y '21，a2b2x 0y 0b2 x 0 y 0b 2 x 0 y 0b2 x 0 y 0b2·x 0b2a b 222 22 2222 22y 02·x 0ab x 0a ba ya y 0aab ax02a2 0x 0 y0b x 02a2ab( y 0bx0 )2 0f ( )aa f(k)= 0的兩根在區(qū)間 ( b ， ) 上，即 k1 b ， k 2 b aaa若點(diǎn) P 在區(qū)域內(nèi)此時(shí)x 02y02 0，a2b2 0，f(k)=0 有兩相異實(shí)根仿 3.

13、2.4的討論知： x 1x 2 0， y 1y 2 0且 k 1 b ， k2 b ，aa Q在 C的右支下半支， Q在 C 的左支下半支1121特殊地，若 P在y軸正半軸上，由對(duì)稱性知， k 1 = k 2 ，由 (9)y02b 2y 02b 2得， k = ±，代入 (2) 得切線方程為 y = ±x y0 ，aa代入 (10) 、 (11)得切點(diǎn)坐標(biāo)為(±ay 02b 2b2y 0，)y 03.2.7若點(diǎn) P 在區(qū)域內(nèi)仿 3.2.5的討論知， x 1x 2 0， y 1y 2 0，且 k 1 b ， k2 b ，aa Q在 C左支下半支， Q在 C的右支上半支1121綜上所述： 當(dāng) P 在原點(diǎn)或 P 在區(qū)域時(shí)， 不存在切線； 當(dāng) P 在 C1 或 C2 (不含原點(diǎn) )上時(shí)，僅一條切線；當(dāng)P 在區(qū)域、或在 C3(不含 A 、B) 上時(shí)，有兩條切線當(dāng)由 P可引 C1的兩條切線時(shí)，設(shè)切線上任一點(diǎn)為N(x，y), 則分 PM所成比為 ( 1) 的點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 (x 0x，y 0y11+)若Q在C1上，則(x 0 +x ) 2( y0y )2= 1，a2(1)22(1)2b整理可得 ( x 2y 21) 2 x 0 xy 0 y1)x02y 02a2b22(2b2(2b21)=0aa PN 為切線，此關(guān)于的二次方程有兩重根，故x 0 x y 0