從不同角度談解三角形

1、參課題從不同數(shù)學(xué)思想角度談解三角形解三角形是近些年高考的熱點(diǎn)，各省市的命題人在命題方向上標(biāo)新立異，但是我們可以從不同的方向 上來解析歷年省市的真題、各地的模擬題，從而探索解三角形的熱點(diǎn)命題規(guī)律，進(jìn)一步的提升對(duì)該知識(shí)點(diǎn) 的解題能力。轉(zhuǎn)化與化歸思想方法在研究、解決數(shù)學(xué)問題中，當(dāng)思維受阻時(shí)考慮尋求簡單方法或從一種情形轉(zhuǎn)化到 另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時(shí)也是成功 的思維方式.利用正、余弦定理，通過“邊化角、角化邊、切化弦等”的角度對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為熟悉的三角 恒等變換、三角函數(shù)、平面向量等問題，再進(jìn)行求解.1 在三角形ABC中，角A、B、C所

2、對(duì)的邊分別為- tanA 2ca、b、c,已知 a= 2 , 3, c= 2,2, 1 + nB 則C等于（B. 45°A . 30°C. 45°或 135°D. 60°【解析】由 1 + tanA=和正弦定理'得 cos Asin B+ sin Acos B= 2sin Ccos A，即 sin C= 2sin Ccos A，.又 cv a,二 Cv 60° 故 C = 45°. cos A= 60°由正弦定理，得 獲=科|，則sin C=¥【答案】選C2.在三角形ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的

3、邊分別為a、b、c,且 a2= b2+ c2 + , 3bc.若 a = . 3, SABC的面積，則 S+ 3cos Bcos C的最大值為（）又 a=，3,故 S= 2bcsin A=£默 asin C【解析】由cos A=啤二=七學(xué)一寧A = 5n，2bc2bc2 '6=3sin Bsin C,因此 S+ 3cos Bcos C = 3sin Bsin C+ 3cos Bcos C= 3cos (B C),于是當(dāng) B= C 時(shí)取得最大值3.【答案】選A3已知三角形ABC的三邊長是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且最大的內(nèi)角是最小內(nèi)角的 2倍，貝U最小內(nèi)角的余弦值為（）3一4 7 -

4、w5一6 2 - 3 BD【解析】 依題意，不妨設(shè)三邊長 a = m 1, b= m, c= m+ 1，其中m2, m N，則有C = 2A, sin C,2. 2 2 b + c a=sin 2A = 2sin Acos A，由正、余弦定理得 c= 2a ，則2bc2b2+ c2 a2 52+ 62 421)(m2+ 4m)，解得 m = 5，故 cos A=2bc2八 222、bc2 = a(b2c2 a2)，于是 m(m+ 1)2= (m2 " 3.【答案】選A4.在銳角三角形 ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c, a+a=6cos C，則詈C+賽的值【解析】由&#

5、163;+ a= 6cos C,得 b2 + a2= 6abcos C.化簡整理得 2(a2 + b2)= 3c2,將詈"C+ 'tmC切化弦，sin C 得龐cos A cos B sin C(A+ B)sin C sin C)= = B' cos C sin Asin B cos C sin Asin Bsin A + sinsin 2Ccos Csin Asin B.根據(jù)正、余弦定理得sin2Ccos Csin Asin B2 2c 2c2 ,22= 2 ,2 2a + b c a + b c ab 2ab2c2仝 =4.【答案】43 222c c5 .在 AB

6、C 中，B = 60 ° AC =百,【解析】由正弦定理知sABC=總-sin A，則AB+ 2BC的最大值為BC AB= 2sin C, BC= 2sin A.又 A+ C= 120° AB+ 2BC= 2sin C+ 4sin(120 C)= 2(sin C + 2sin 120 cos C 2cos 120 sin C)=2(sin C + . 3cos C+ sin C)= 2(2sin C + . 3cos C) = 2,7sin(C+ a,其中tan a= 23, a是第一象限角，由于 0°< C V 120°且a是第一象限角，因此AB

7、 + 2BC有最大值2 .7.【答案】2 ,76.在厶ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊長分別為 a, b, c,已知tan才+ A = 2.sin 2A2sin 2A + cos A的值;若B = n，a= 3,求厶ABC的面積.【解】(1)由 tan n+A = 2,得 tan A= 3,sin2A- 2sin2A+ cos A2ta n A2tan A+ 11(2)由 tan A= 3, A (0,n，得 sin A =cos A=3.'1010.1010，又由a=4 由 cos A= 5, 0vAv n,得 sin A= 5, , B=4及正弦定理 聶=爲(wèi)，得b=35由 si

8、n C= sin (A+ B)= sin (A + 才)，得 sin C = 2J51貝廿 ABC 的面積 S= qabsin C= 9.,則a的取值范圍是（）【變式1 - 1】鈍角三角形的三邊長為a, a+ 1, a + 2,其最大角不超過120°3A . Ov av 3B. av 3C. 2v a< 3【解析】因?yàn)閍, a+1, a + 2為鈍角三角形的三邊長,a+ a+ 1 > a + 2,則a>1.由大邊對(duì)大角可知，邊長為a+ 2的邊對(duì)應(yīng)的角 B最大，由余弦定理得2cos 0=222a + (a + ° (a+ 2) (0,-2),得2a(a+ 1

9、)v 3 .【答案】選B【變式1 2】若滿足條件C = 60° AB = 3, BC= a的三角形ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是（）A . (1 , .2)B. ( .2,3)D. (1, 2)C. ( 3, 2)【解析】因?yàn)镃= 60° AB= ,3，由正弦定理，得 雄=sBCA= 2，二a= 2 sin A，又A + B = 120° 且三角形有兩解， 60° v Av 120° °且A90° °即v sin Av 1,得,3v a v 2.答案】 選CA 一 b【變式1 3】在厶ABC中，角A , B ,

10、C的對(duì)邊分別為 a , b , c ,且2cos2 cos B sin(A B)sin B3+ cos(A+ C)=-：5(1)求cos A的值;若a= 4 2, b= 5，求向量BA在BC方向上的投影.2A B3【解】(1)由 2cos2cos B sin(A B)sin B + cos(A+ C)=:,2 53得cos(A B)+ 1cos B si n(A B)sin B cos B=；,53 即 cos(A B)cos B sin(A B)sin B = 5.33則 cos(A B+ B)=- 5,即卩 cos A=- 5.由正弦定理，有asin Absin B，所以sin B =n由

11、題知a>b，則A> B，故B = 4.根據(jù)余弦定理，有（42）2=52+ c2- 2X5cX3，解得c=1或c=7（舍去）.故向量BA在BC方向上的投影為|BA|cos B = 22.角度二：函數(shù)與方程思想函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題方程思想，是從問題中的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組 ），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.有時(shí)，還通過函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、 接軌，達(dá)到解決問題 的目的.1 .在 ABC中，角 A, B, C所對(duì)的邊長分別為 a, b, c,且滿足csin A

12、 = >；3acos C,貝U sin A+ sin B 的最大值是（）A. 1B.,2C.3D. 3【解析】 由 csin A = V3acos C,得 sin Csin A=sin Acos 6在厶ABC 中 sin A工0 所以 sin C = V3cosC,ntan C= 3, C (0, n )貝U C= 3.所以 sin A+ sin B = sin A+ sin3_3?s in A+ cosA= , 3sin A+n,（2 n、n0,亍，所以當(dāng)A= 3時(shí)，sin A+ sin B取得最大值 3.【答案】 選C2.在厶ABC 中，D 為 BC 邊上一點(diǎn)，DC = 2BD ,

13、AD = 2，/ ADC = 45°,若 AC = . 2AB，貝U BD 等B. 4A . 2 + .3C. 2+ ,5【解析】 在厶ADC 中，AC2= AD2+ DC2 2AD DC cos 45 =2 + DC2 2y2 DC 2= 2 + DC2 2DC ;在厶ABD 中，AB2= BD2+ AD2 2BD AD cos 135 = BD2+ 2+ 2 , 2 BD = 2 (2 + BD2+ 2BD)，整理得BD2 4BD 1 = 0,解得BD = 2 + ' 5或2 .5(舍去).【答案】 選C3.在三角形 ABC 中，2sin2 A= . 3sin A, si

14、n (B C) = 2cos Bsin C,則AC2 AB【解析】2sin2 A2 =si n A? 1 cos A =y3s in A? si n (A + 6) = 2 .因?yàn)?o < Av nA+ 6< F，則 A+ n= 56n,所以 A= 2n.再由余弦定理，得 a2= b2+ c2 + bc,；將 sin (B C)= 2cos Bsin C 展開得 sin 663Bcos C= 3cos Bsin C,將其角化邊,得= cl邁，即2b2-2c2= a2,；將代入,得b2 3c2 bc= 0,左右兩邊同除以c-3=0，解得 r1 +13 或 c=¥ (舍去),

15、ACABbc【答案】(2)由(1)得bsin Ba = csin A sin C1+ .1324 .在 ABC中，角 A, B, C所對(duì)的邊長分別為 a, b, c,已知bcos C+. 3bsin C a c= 0.(1)求 B ；若b = .3,求2a+ c的取值范圍.【解】(1)由正弦定理知 sin Bcos C+ 3sin Bsin C sin A sin C = 0,將 sin A= sin (B+ C) = sin Bcos C + cos Bsin C 代入上式, 得叮3sin Bsin C cos Bsin C sin C = 0, 在厶 ABC 中，sin CM0 貝U ,

16、3sin B cos B 1 = 0,2 2a+ c = 4s in A+ 2s in C = 4si n A+ 2si n (石 A)= 5si n A+ . 3cos A = 2 . 7si n(A+ a,其中tan a= , a是第一象限角，5由于0°< A< 120°且a是第一象限角，27sin(A + a) (雨,吋7 因此2a + c的取值范圍為(.3, 2 .75.凸四邊形PABQ中，其中A、B為定點(diǎn)，AB= 3, P、Q為動(dòng)點(diǎn)，滿足 AP = PQ= QB = 1.(1)寫出cos A與cos Q的關(guān)系式；設(shè)三角形PAB和三角形PQB的面積分別為

17、 S和T,求S2+ T2的最大值.【解】(1)在厶PAB 中，由余弦定理知 PB2= PA2 + AB2 2PA AB cosA = 4 2.3cos A,2同理，在 PQB 中 PB = 2 2cos Q,4 2 . 3cos A = 2 2cos Q,：cos Q= , 3cos A 11T=?PQ QB sin Q,1 J3由已知得，S= ?PA ABsin A = sin A,S2 + T2= 3si n2A+ 4s in 2Q= 4(1 cos2A) + 3(1 cos2Q)3 23333 272COsA+icos A+ 4= 2 cos A "6 + 8 ,當(dāng) cos A

18、 =,S2+ T2有最大值為78【變式2-1】已知 ABC的三內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是 a, b, c,向量m = (sin B,1 cos B)與向1量n = (2,0)的夾角0的余弦值為1(1)求角B的大??；若 b=J3，求a+ c的范圍.【解】(1) -im= (sin B,1 cos B), n= (2,0) ,.mrn= 2sin B,又 |m|= 7sin2B+ (1 - cos B f =寸2 - 2cos B = 20< B< n, )< B<才， in |> 0, /|m|= 2sinm-n2sin B B 1而|n|= 2,cos 0=

19、而廠=cos 2 = 2 , 4sin 2b a cn(2)由(1)得 snB=sm= snC=2,且A+C=3sinB2.B2n .B= 2n3 , B= 3 . a + c= 2sin A+ 2sin C= 2sin A+ 2sin (扌-A)= sin A+ . 3cos A = 2sin (A+ p,又 0v Avn 所以A+ n< 孑，所以¥v sinA+所以.3< 2sin A +,即a+ c的取值范圍為(.3 , 2.【變式2 2】設(shè)厶ABC的三內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是 a, b, c, a= btan A,且B為鈍角.n(1)證明：B A = ；

20、(2)求sin A + sin C的取值范圍.【證明】由a=btan a及正弦定理得栄=b=%,： n所以 sin B = cos A,即 sin B= sin ?+ A ,n又B為鈍角，貝y 2+ A7tn2.n,故 B = A+；,即卩 B A=【解】(2)由可知 C= n (A+ B)= n (2A+ 寸)=寸2A>0，故 A (0, jn t /-0 V A V 4，故 0v sin Av,(1 '9 9V-2pnA-8氣由此可知sin A+ sin C的取值范圍是【變式2-3】已知圓0的半徑為R(R為常數(shù))，它的內(nèi)接 ABC滿足2R(sin2 A-sin2 C) = (

21、,2a-b)sin B, 其中a, b, c分別為角A, B, C的對(duì)邊，求 ABC面積的最大值.【解】由正弦定理得a2- c2= b( 2a-b),即卩a2+ b2- c2= 2ab2 2 2由余弦定理得cos C =咼"=¥，則C=:11兀 2則 S= absin C= 2 2Rsin A 2 Rsin B s in 4 = 72R sin Asin B 又 A + B =字，即 B= 3n-A442 23 n2222n 1則 S= ,2R sin Asin B= 2R sin Asin ( A) = R (sin A + sin Acos A)= R 石sin (2A

22、 4)+?3 n 口訂 nn 5 n又 ov av-,則-4v2A-4v 匸n n3 n1 +、/"2 2則當(dāng)2A 4 = 2即A= B = 38時(shí)， ABC面積的最大值為 Smax=2R 角度三：數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，將反映問題的抽象數(shù)量關(guān) 系與直觀圖形結(jié)合起來，也是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來的一種解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方 法.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化，有助于把握數(shù)學(xué) 問題的本質(zhì)它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.1 .在三角形ABC中，已知A : B= 1 : 2，/

23、ACB的平分線CD把三角形分成面積為 3 : 2的兩部分,則cos A等于()D. 0【解析】如圖，TACD = - = AD, B = 2A, / ACD = Z BCD，設(shè) AD = 3k, BD = 2k (k>0),Sa bcd 2 DBcCD3k在ACD中，由正弦定理得s-= snp,；CD2k2kcd2k在厶BCD中，由正弦定理得-CD =2k= 耗，即 CD= 幷，；sin B sin/ BCD sin / ACD2sin Acos A sin / ACD33由得2cos A = 3，即cos A= 4.【答案】 選C2.在扇形AOB中，圓心角/ AOB等于60°

24、,半徑為2,在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P引平行于OB的直線交OA于點(diǎn)C，設(shè)/ AOP= 0,則三角形POC面積取最大值時(shí) B的值為.【解析】 如圖，/ CP/OB, / CPO = / POB = 60° 0 / OCP= 120°CPOP心pOC中，由正弦定理得sm/ pc。-sin 02= CPsin120 =sin 0， CP = ¥si n 0,V3又OC = i 220 , - OC=sin(60 0), sin(60 0) sin120.3'八1 1三角形 POC 面積為 S(0)= 2CP OCsin 120 =? -sin"314

25、1sin 0寸cos 0，sin 0 = 【sin(2 9+ 30 °) ?, / 0 (0J3時(shí)，S(0)取得最大值為2".【答案】30°4 二 sin.3442 =/3sin 0sin(60 0 祎:60 °), 2 0+ 30 ° (30； 150 °, 當(dāng) 0= 30 °1【變式3 1】在三角形ABC中，/C= 90° ,M是BC的中點(diǎn).若sin/ BAM =彳,則sin/ BAC =3【解析】 如圖，設(shè)AC = b, AB= c, BC = a,12a 在厶ABM中，由正弦定理得 si n/AC 因?yàn)?s

26、in/BMA = sin/CMA =,si n/BMA =Lc1 2- 3a22BAM sin/ BMA'又 AC= b = . c2-a2, AM = . b2+ *a2= - c2-4a21，又由得T =2c 2 ，兩邊平方化簡得4c4 12a2c2 + 9a4= 0,1c -aJ2-3/2c- 3a=0，則sin /BAC= a-3 .【答案】-3【變式3-2】 ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分/ ABC , ABD面積是 ADC面積的2倍.,sin / B(1) 求 s ；J2(2) 若 AD = 1 , DC = 2，求 BD 和 AC 的長./ Saabd = 2 $ a

27、cd , / BAD = / CAD , - AB= 2AC,由正弦定理，得sin/ B sin/ CAC = 1AB = 2Sa abd SaacdBDDC， BD= 2,在厶ABD和厶ACD中，由余弦定理得AB【解】(1)如圖， S abd = ?AB AD sin / BAD, Sa acd = ?AC AD sin / CAD,= AD2+ BD2-2 AD BD cos/ ADB, AC2= AD2+ DC2- 2 AD DC cos/ ADC, 故 AB2 + 2AC2 = 3AD2 + BD2+ 2DC2= 6, 由(1)知 AB= 2AC,.AC = 1.角度四：分類討論思想I

28、所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，如不能用同一標(biāo)準(zhǔn)、同一種運(yùn)算、同一個(gè)定理或同一種方法去解決，因而會(huì)出現(xiàn)多種情況，我們就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)論得到整個(gè)問題的解答實(shí)質(zhì)上分類討論是“化整為零， 各個(gè)擊破，再積零為整”的策略分類討論時(shí)應(yīng)注意理解和掌握分類的原則、方法與技巧，做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，不重復(fù)、不遺漏地分類討論”.1 在 ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為a,b, c, ac= 3,S ABC =3 34求B;若b= .2,求厶ABC的周長.3,3即 sin B =1 1【解】因?yàn)?Saa

29、bc = 2acsin B,所以 2$sin B=n 2 n又因?yàn)镺v B V n,所以B= §或-3-.n ,、2 n由可知，B= 3或y,當(dāng) B = 時(shí)，因?yàn)?a2 + c2 ac= (a + c)2 3ac= 2, ac= 3，所以 a+ c= 11;當(dāng) B = 3時(shí)，因?yàn)?a + c + ac= 2, ac= 3,所以 a + c = 1(舍去)，所以 ABC的周長為a+ c+ b = ,' 11 + "2.2.在厶ABC中，內(nèi)角 A, B, C所對(duì)的邊長分別是 a, b, c.(1) 若c= 2, C= n且厶ABC的面積為.3，求a, b的值；(2) 若

30、 sin C + sin(B A) = sin 2A,試判斷 ABC 的形狀.【解】(1) t c= 2, C = n 由余弦定理 c2= a2 + b2 2abcos C 得 a2+ b2 ab = 4.31又 ABC 的面積為 3, 2absin C = . 3 , ab= 4.a2+ b2 ab = 4 ,聯(lián)立方程組解得a = 2 , b= 2.ab= 4 ,(2)由 sin C + sin(B A)= sin 2A ,得 sin(A + B)+ sin(B A)= 2sin Acos A ,即 2sin Bcos A = 2sin Acos A, cos A (sin A sin B)= 0 , cos A= 0或 sin A sin B = 0 ,n當(dāng) cos A = 0 時(shí)，/ 0<A< n A= 2， ABC 為直角三角形；當(dāng)sin A-sin B = 0時(shí)，得sin