高中數(shù)學(xué)3.3復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案蘇教版選修2-2-蘇教版高二選修2-2數(shù)學(xué)學(xué)案

1、33 復(fù)數(shù)的幾何意義一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識、方法要求建議復(fù)數(shù)的幾何意義了解回顧向量的有關(guān)知識，了解復(fù)數(shù)的幾何意義，會用復(fù)平面內(nèi)的點和向量來表示復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義了解了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1預(yù)習(xí)目標(biāo)(1) 了解復(fù)數(shù)的幾何意義；(2) 了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義2預(yù)習(xí)提綱(1) 我們把建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做_ ，x 軸叫做 _，y 軸叫做_(2) 有序?qū)崝?shù)對 (a，b) 與平面直角坐標(biāo)系中的點是一一對應(yīng)的，我們可以用直角坐標(biāo)系中的點_來表示復(fù)數(shù)z=abi(3) 復(fù)數(shù)z=abi也可以用向量 _來表示(

2、4) 你能畫出復(fù)數(shù)z=abi、復(fù)平面內(nèi)的點( , )z a b和平面向量oz之間的關(guān)系圖嗎? (5)z，z與|z| 之間有什么關(guān)系? (6) 復(fù)數(shù)加法的幾何意義_ ；復(fù)數(shù)減法的幾何意義_ (7) 閱讀課本第112 頁至第 114 頁內(nèi)容，并完成課后練習(xí)(8) 結(jié)合課本第113 頁的例 1，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的幾何意義，學(xué)會用點和向量表示復(fù)數(shù)；結(jié)合課本第 113 頁的例 2，學(xué)習(xí)如何求復(fù)數(shù)的模，體會復(fù)數(shù)的模是實數(shù)，它們可以比較大小；結(jié)合課本第 113 頁的例 3，感悟復(fù)數(shù)的模的幾何意義，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法3典型例題(1) 復(fù)數(shù)的幾何形式實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，因此實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示確定一

3、個復(fù)數(shù)zabi需要確定它的實部a和虛部b，即一個復(fù)數(shù)對應(yīng)著一個有序數(shù)對( , )a b，而有序數(shù)對與平面直角坐標(biāo)系中的點是一一對應(yīng)的，因此，可以用直角坐標(biāo)系中的點( , )z a b來表示復(fù)數(shù)zabi例 1 復(fù)數(shù)222log (33)log (3)zxxix，設(shè)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為z(1) 若點z在第三象限，求x的取值范圍；(2) 若點z在直線x2y1=0 上，求x的值解： 由題意，222log (33),log (3)zxxx(1) 若點z在第三象限，則222log (33)0,log (3)0,xxx所以20331,031,xxx解得32142x(2) 由題意，222log (33)2l

4、og(3)10 xxx，所以2222log2(33)log (3)xxx，所以2222(33)(3) ,33030 xxxxxx解得15x(2) 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義由復(fù)數(shù)的幾何意義知，一個復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的一個向量相對應(yīng)，于是就可以得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義： 向量的加法法則也即平行四邊形法則對于復(fù)數(shù)減法的幾何意義可通過加法來實現(xiàn)例 2已知復(fù)數(shù)12312 ,2,12zi zi zi，它們在復(fù)平面上的對應(yīng)點分別為a、b、c，且a、b、c是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點d對應(yīng)的復(fù)數(shù)z分析： (1) 利用adbc或者abdc，求d點對應(yīng)的復(fù)數(shù)(2) 利用正方形的兩條對角線交點

5、是其對稱中心求解解： 法 1設(shè)( ,)zxyi x yr，則( , )(1,2)(1,2)adodoax yxy又( 1, 2)( 2, )(1, 3)bcocobi，且adbc，所以11,2,23,1.xxyy解得：故第四個頂點d對應(yīng)的復(fù)數(shù)2zi解： 法 2設(shè)( ,)zxyi x yr，則點a與點c關(guān)于原點對稱，原點o是正方形的中心o也是b、d連線的中點，于是有2ixyi=0 x=2，y=1故第四個頂點d對應(yīng)的復(fù)數(shù)2zi點評： 解題時要善于發(fā)現(xiàn)問題中可能被利用的條件，尋找最佳的解題方法本題解法 2 正是利用正方形是中心對稱圖形這一特點，尋得最佳解題思路(3) 復(fù)數(shù)模的幾何意義復(fù)數(shù)zabi的模

6、為22ab，記作|z或|abi，它表示復(fù)平面上復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點z到原點的距離( 如圖 ) ，這就是復(fù)數(shù)模的幾何意義說明：復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實數(shù)，可以比較大小，但是，兩個復(fù)數(shù)，只要其中有一個不是實數(shù)，它們就不能比較大小；如果0b，那么zabi就是實數(shù)a，它的模等于|a( 即實數(shù)a的絕對值 )；兩個復(fù)數(shù)的差的模就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點間的距離例 3 設(shè)( ,)zabi a br，求在復(fù)平面上滿足下列條件的點的集合所組成的圖形分別是什么 ? (1)21zb且；(2)123zi分析：根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，可以把復(fù)平面內(nèi)的某些圖形用適合某些條件的復(fù)數(shù)方程或不等式表示，反之，某些簡單的復(fù)數(shù)方程或不等式

7、也對應(yīng)復(fù)平面上的某些圖形解： (1) 不等式2z的解在復(fù)平面中對應(yīng)點的集合是以原點為圓心，以2 為半徑的圓的內(nèi)部及其邊界滿足條件1b的點的集合是直線1y以上及1y以下的點組成的圖形兩者的公共部分即為所求，即以原點為圓心，2 為半徑的圓被直線1y所截得的兩個弓形，但不包括邊界上的點；(2) 方程123zi的解在復(fù)平面中對應(yīng)點的集合是(1, 2)為圓心，以 3 為半徑的圓周點評： 解這類問題，要認(rèn)真分析題設(shè)條件，正確理解復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的實部與虛部等概念，結(jié)合解析幾何中曲線的方程及一些函數(shù)性質(zhì)，尋找解決問題的突破口例 4 集合|1| 1,mzzzc，|1| |2|,nzzizzc，p

8、mn(1) 指出集合p在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點表示的圖形；(2) 求集合p中復(fù)數(shù)模的最小值解：(1) 由|1| 1z可知， 集合m在復(fù)平面中的對應(yīng)點表示以點(1,0)e為圓心， 1 為半徑的圓的內(nèi)部及邊界；由|1| |2|ziz可知，集合 n在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點表示以(1,1)和(2,0)為端點的線段的垂直平分線l因此，集合p是圓e截直線l所得的一條線段ab( 如圖 ) ；(2) 過點o向l引垂線，垂足在線段ab上，由 (1) 知，l的方程為1yx，則o到l的距離為22，因此集合p中復(fù)數(shù)模的最小值為22點評： 利用復(fù)數(shù)模的幾何意義，可以將抽象的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為具體的圖形，便于問題的解決4自我檢測(1) 復(fù)

9、數(shù)z=m23 (2 m2)i對應(yīng)點在第三象限，則實數(shù)m的取值范圍是 _(2) 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)sin2cos2zi對應(yīng)的點位于第_象限(3) 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)111izi所對應(yīng)的點在第_象限(4) 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1ii(1 3i)2對應(yīng)的點位于第_象限(5) 設(shè)z=1i，則|1|zz= 三、課后鞏固練習(xí)a組1已知復(fù)數(shù)|,)1(,)31(214221zziziz與則的大小關(guān)系是2復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形abcd中，a、b、c三點對應(yīng)復(fù)數(shù)分別為2i，43i，35i，那么點d對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 _，對角線bd對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_3已知平行四邊形的三個頂點分別對應(yīng)復(fù)數(shù)2i、44i、26i，求第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)4已

10、知z是復(fù)數(shù)，iziz22 、均為實數(shù) (i為虛數(shù)單位 ) ，且復(fù)數(shù)2)(iaz在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a 的取值范圍5. 復(fù)數(shù) z=22ii在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限為_ b組6 已知在復(fù)平面內(nèi)， 向量oa的復(fù)數(shù)為1i， 把oa向右平移一個單位得向量ao， 則ao對應(yīng)復(fù)數(shù)為 _，點a對應(yīng)復(fù)數(shù)為 _7已知復(fù)數(shù)2(3)zi, 則|z|=_. 8已知02a，復(fù)數(shù)z的實部為a，虛部為1，則z的取值范圍是 _9若 |z1|=5 ，z2=34i，且z1z2為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z1= _ 10若復(fù)數(shù)z滿足|2(zii為虛數(shù)單位), 則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為_. 11若 |z|=1 ，則 |

11、z2| 的取值范圍是12復(fù)數(shù)z滿足 2|z|=3|z5| ，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點z的軌跡方程為_13若復(fù)數(shù)z滿足 |z1|=|z2|=|zi| ，則z=_14若 |zi| |zi|=2 ，|1| |1|uzizi，則u的最大值為 _，最小值為_15已知關(guān)于x的方程x2zx43i=0 有實數(shù)根，求復(fù)數(shù)z的模的最小值16已知復(fù)數(shù)z 滿足 |z| 1| |z| 1=0，且|z|23|z| 40，求復(fù)數(shù)z對應(yīng)點構(gòu)成的圖形的面積17若復(fù)數(shù)z滿足35zi，求2z的最大值和最小值18設(shè)|2 |2zczi且，當(dāng)z取何值時，|24 |zi分別取得最大值和最小值?并求出最大值與最小值19若11zi，求34zi的最大值和最

12、小值c組20若復(fù)數(shù)z滿足1z，求復(fù)數(shù)234zi對應(yīng)點的軌跡方程21若復(fù)數(shù)z的實部為1，12z，求：(1)z的對應(yīng)點的軌跡；(2)2z的對應(yīng)點的軌跡；(3) 若1u，求zu的對應(yīng)點所在區(qū)域的面積知識點題號注意點復(fù)數(shù)的幾何意義15 注意用復(fù)平面內(nèi)的點和向量來表示復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義617 注意復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識綜合問題1821 靈活運用幾何意義，注意數(shù)形結(jié)合四、學(xué)習(xí)心得五、拓展視野已知關(guān)于x的方程： 2x23axa2a=0 至少有一個模為1 的根，求實數(shù)a的值分析： 首先得明確根的特性，即是實數(shù)根還是虛數(shù)根；其次若是虛數(shù)根，則可有韋達(dá)定理來確定

13、實數(shù)a的值解： 如果r，則=(3a)28(a2a) 0，a0或者a 8又r，=1 或 1當(dāng)=1 時，代入得：a22a2=0 不可能當(dāng)= 1 時，代入得：a24a2=0a=26(26不適合，舍去 ) 如果是虛數(shù)，并且|=1 ，則也是此方程的根，于是：=22aa但是=|2=1，22aa=1，解得：a=2 或者a=1 所以，所求的a=26，或者 2 或者 1點評： 由于實系數(shù)一元二次方程的虛根是成對出現(xiàn)的，故是虛數(shù)根，則可借助于韋達(dá)定理求出實數(shù)a的值，也可以求出方程的根再利用條件得出實數(shù)a的值3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義（1）(3,2)(2,3)（2）四（3）二（4）二（5）1021= 21+3i，7 1

14、1i 36 或 2-8i或-2+12i（提示：分情況討論）4解：設(shè)r)yxyixz、(，iyxiz)2(2，由題意得2y. 2111(2 )(2)(22)(4)22555zxixiixxiii由題意得4x. iz24. 2)(aiziaaa)2(8)412(2，21240,8(2)0,aaa(2,6)a5第四象限 6 1+i；2+i 7.2(3)zi=29686iii,228610z8(15)， 9 (4+3i) 10. 2 111,3 12(x-9)2+y2=36 133322i 14 5；1 15解：設(shè)x 是方程的實數(shù)根，當(dāng)x=0 時，方程不成立，當(dāng)x0 時，243xizx，2222243

15、25|()()818xzxxxx，當(dāng)且僅當(dāng)x2=5，即5x時取等號. 所以min|3 2z16 15（提示：圖形是圓環(huán)） 17最大值為513，最小值為51318如圖，|2 |2zi在復(fù)平面內(nèi)表示以(0, 2)為圓心，2為半徑的圓 .|24 | |( 24 ) |zizi，欲求其最大值和最小值，即在圓上求出點m 、n，使得 m或 n 到定點( 2,4)p的距離最大或最小. 顯然過 p與圓心的直線交圓與m 、 n， m 、 n即為所求 . 不難求得(1,1)m，( 1,3)n， 即當(dāng)1zi時，|24 |zi有最大值3 2；當(dāng)13zi時，|24 |zi有最小值2. 19解法1：由條件( 1)1zi，

16、知復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點a在以（ -1 ，1）為圓心， 1 為半徑的圓上運動，而34(34 )zizi，它表示點a和點b（3，-4 ）的距離 . 如圖，顯然，bcabbd，34zi的最大值和最小值分別是411和411解法 2：設(shè)34zi34 ,145 ,zizii又11zi，451i可知對應(yīng)的點的軌跡是以a （-4 ，5）為圓心，半徑為1 的圓 . 如圖，所以maxmin411,41 120解法 1：令,234,(, , ,)zabizixyia b x yr則2342()34(23)(24)ziabiiabi2324axby即(3)2(4)2xayb2211zab，即22(3)(4)122xy22(3)(4)4xy解法 2：設(shè)234zi，則234zi，又1z，故有22z，(34 )2i，對應(yīng)點的軌跡是以(3, 4)為圓心， 2 為半徑的圓，即22(3)(4)4xy21解：（1）令1zbi，br，12z2112b即：11b故z