高中數(shù)學(xué)模塊復(fù)習(xí)課學(xué)案新人教A版必修5-新人教A版高二必修5數(shù)學(xué)學(xué)案

1、模塊復(fù)習(xí)課一、正、余弦定理及其應(yīng)用1正弦定理、余弦定理在abc中，若角a，b，c所對(duì)的邊分別是a，b，c，r為abc外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)asin absin bcsin c2r (2)a2b2c22bccos a；b2c2a22cacos b；c2a2b22abcos c變形(3)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c；(4)sin aa2r，sin bb2r，sin cc2r；(5)abc sin a sin b sin c；(6)asin bbsin a，bsin ccsin b，asin ccsin a(7)cos ab2c2a22bc；cos bc

2、2a2b22ac；cos ca2b2c22ab2. 在abc中，已知a，b和a時(shí)，解的情況a為銳角a為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin absin aababab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3. 三角形常用面積公式(1)s12aha(ha表示邊a上的高 ) ；(2)s12absin c12acsin_b12bcsin_a；(3)s12r(abc)(r為三角形內(nèi)切圓半徑) 二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為

3、a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是ana1(n1)d3等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a，a，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列這時(shí)，a叫做a與b的等差中項(xiàng)4等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1) 通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mn*) (2) 若an 為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nn*) ，則akalaman(3) 若an 是等差數(shù)列，公差為d，則 a2n 也是等差數(shù)列，公差為2d(4) 若an ，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5) 若an 是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m， (k，mn*)是公差為md的等差數(shù)列(6) 數(shù)列sm，s2msm，s3ms2m，構(gòu)成等差數(shù)列5

4、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d，其前n項(xiàng)和snn（a1an）2或snna1n（n1）2d6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系snd2n2a1d2n. 數(shù)列 an是等差數(shù)列 ?snan2bn(a，b為常數(shù) ) 7等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列 an 中，a10，d 0，則sn存在最大值；若a10，d0，則sn存在最小值三、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示 (q0)2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1，公比為q，則

5、它的通項(xiàng)ana1qn1(a1 0，q0) 3等比中項(xiàng)如果在a與b中插入一個(gè)數(shù)g，使得a，g，b成等比數(shù)列， 那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，gabg，g2ab，gab，稱g為a，b的等比中項(xiàng)4等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1) 通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm(n，mn*)(2) 若an 為等比數(shù)列，且klmn(k，l，m，nn*) ，則akalaman(3) 若an ，bn( 項(xiàng)數(shù)相同 ) 是等比數(shù)列，則an(0) ，1an，a2n ，anbn，anbn仍是等比數(shù)列5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列 an 的公比為q(q0)，其前n項(xiàng)和為sn，當(dāng)q1 時(shí)，snna1；當(dāng)q1 時(shí)，sna1（1qn）1qa1anq1

6、q. 6等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為 1 的等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為sn，則sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn四、數(shù)列求和的常用方法1公式法直接利用等差、等比數(shù)列的求和公式求和2分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解3裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)常見的裂項(xiàng)公式(1)1n（n1）1n1n1；(2)1（2n1）（ 2n1）1212n112n1；(3)1nn1n1n. 4倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣5錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和6并項(xiàng)求和法一

7、個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中， 可兩兩結(jié)合求解， 則稱之為并項(xiàng)求和形如an( 1)nf(n) 類型，可采用兩項(xiàng)合并求解五、不等關(guān)系與不等式1兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1) 作差法ab0?ab，ab0?abab0?ab.(a，br) ，(2) 作商法ab1?ab，ab1?abab1?ab.(ar，b0) ，2不等式的基本性質(zhì)(1) 對(duì)稱性：ab?ba(2) 傳遞性：ab，bc?ac(3) 可加性：ab?acbc(4) 可乘性：abc0?acbc.abc0?acbc. (5) 同向可加性：abcd?acbd(6) 同向可乘性：ab0cd0?acbd(7) 可乘方性：ab0?anbn(nn，n1)(8) 可開方

8、性：ab0?nanb(nn，n2) 3不等式的一些常用性質(zhì)(1) 倒數(shù)的性質(zhì)ab，ab0?1a1b. a0b?1a1b. ab 0，0cd?acbd. 0axb或axb0?1b1x1a. (2) 有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若ab0，m0，則babmam；babmam(bm0) abambm；abambm(bm0) 六、一元二次不等式及其解法1“三個(gè)二次”的關(guān)系判別式b24ac0 0 0 二次函數(shù)yax2bxc(a 0) 的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1x2) 有兩相等實(shí)根x1x2b2a沒有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2bxc0 (a0) 的解集x|xx1或xx2 x

9、xb2ax|xr 一元二次不等式ax2bxx|x1xx2 ?c0 (a0) 的解集2. 常用結(jié)論(xa)(xb) 0 或(xa)(xb) 0 型不等式的解法不等式解集ababab(xa) (xb) 0 x|xa或xb x|xa x|xb或xa (xa) (xb) 0 x|axb ?x|bxa 口訣：大于取兩邊，小于取中間3常見分式不等式的解法(1)f（x）g（x）0( 0) ?f(x) g(x) 0( 0) (2)f（x）g（x）0(0) ?f(x) g(x) 0(0)且g(x) 0.以上兩式的核心要義是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式七、二元一次不等式( 組) 與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題1二元一次不等

10、式表示的平面區(qū)域(1) 一般地，二元一次不等式axbyc0 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線axbyc 0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界直線當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫不等式axbyc0所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實(shí)線(2) 對(duì)于直線axbyc0 同一側(cè)的所有點(diǎn)，把它的坐標(biāo)(x，y) 代入axbyc，所得的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0) 作為測(cè)試點(diǎn)，由ax0by0c的符號(hào)即可斷定axbyc0 表示的是直線axbyc0 哪一側(cè)的平面區(qū)域2線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，

11、y的一次不等式( 或方程 ) 組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題八、基本不等式及其應(yīng)用1基本不等式：abab2(1) 基本不等式成立的條件：a0，b 0(2) 等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)2幾個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，b r) (2)baab2(a，b同號(hào) ) (3)abab22(a，br) (4)a2b22ab22(a，br) 以上不等式等號(hào)成立的條件均為ab. 3算術(shù)平

12、均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b 0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為ab2，幾何平均數(shù)為ab，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x0，y0，則(1) 如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值2p ( 簡(jiǎn)記：積定和最小) (2) 如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值p24 ( 簡(jiǎn)記：和定積最大) 1在abc中，若 sin asin b，則ab.( )2當(dāng)b2c2a20 時(shí)，三角形abc為銳角三角形 ( ) 提示 只能保證a為銳角，但不能保證三角形為銳角三角形3在abc中，asin aabcsin asin bsin c. (

13、)4在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積( )5若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列( ) 提示 “常數(shù)”必須強(qiáng)調(diào)為“同一個(gè)常數(shù)”6等差數(shù)列 an的單調(diào)性是由公差d決定的 ( )7數(shù)列 an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nn*，都有 2an 1anan2. ( )8已知數(shù)列 an的通項(xiàng)公式是anpnq( 其中p，q為常數(shù) ) ，則數(shù)列 an一定是等差數(shù)列( )9滿足an1qan(nn*，q為常數(shù) ) 的數(shù)列 an為等比數(shù)列 ( ) 提示 必須強(qiáng)調(diào)q0.10g為a，b的等比中項(xiàng) ?g2ab. ( ) 提示 g2ab不能得出g是a，b的等比中項(xiàng)，如g0，a

14、0，b1. 11如果數(shù)列 an 為等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)n an 是等差數(shù)列( ) 提示 當(dāng)an0 時(shí)，結(jié)論才能成立12數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是anan，則其前n項(xiàng)和為sna（1an）1a.( ) 提示 公式成立的條件是a0，且a1.13若ab1，則ab.( ) 提示 若ab 1，則ab成立的條件是b0. 14一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變( ) 提示 不等式兩邊所乘的應(yīng)是同一個(gè)正數(shù)15ab0，cd0?adbc.( )16若ab0，則ab?1a1b.( )17若不等式ax2bxc0 的解集是 ( ，x1) (x2， ), 則方程ax2bxc0的兩個(gè)根是x1和x2. ( )1

15、8若方程ax2bxc0(a0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2bxc0 的解集為r.( ) 提示 當(dāng)a0 或a0，b0 且c0 時(shí)，結(jié)論才能成立19不等式ax2bxc0在 r上恒成立的條件是a0 且b24ac0.( ) 提示 當(dāng)a0，b0 且c0時(shí)，不等式在r上也是恒成立的20若二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向下，則不等式ax2bxc0 的解集一定不是空集 ( )21點(diǎn) (x1，y1) ，(x2，y2) 在直線axbyc 0 同側(cè)的充要條件是(ax1by1c)(ax2by2c) 0，異側(cè)的充要條件是(ax1by1c)(ax2by2c) 0.( )22第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy0 表

16、示 ( )23線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的( ) 提示 線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可以有多個(gè)，也可以有無(wú)限多個(gè)24最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解( )25函數(shù)yx1x的最小值是2.( ) 提示 當(dāng)x0 時(shí)，x1x的最小值是2. 26函數(shù)f(x)cos x4cos x，x 0，2的最小值等于4.( ) 提示 cos x4cos x. 27“x0 且y0”是“xyyx2”的充要條件 ( ) 提示 xyyx2d? /x0 且y0，如x 4，y 1. 28若a 0，則a31a2的最小值為2a.( ) 提示 2a不是定值29不等式a2b22ab與ab2ab有相同的成立條件 ( ) 提示 a2

17、b22ab成立的條件是a，br.ab2ab成立的條件是a0，b0. 30兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)( )1(2018全國(guó)卷 ) abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，若abc的面積為a2b2c24，則c( ) a2 b3c4d6c 因?yàn)閟abc12absin c，所以a2b2c2412absin c由余弦定理a2b2c22abcos c，得 2abcos c2absin c，即 cos csin c，所以在abc中，c4. 故選 c. 2(2018全國(guó)卷 ) 在abc中， cos c255，bc 1，ac5，則ab( ) a42 b 30 c 29 d 25 a 因?yàn)?co

18、s c255，所以 cos c2cos2c212(55)2135. 于是，在abc中，由余弦定理得ab2ac2bc22acbccos c 52 12251( 35) 32， 所以ab42.故選a. 3(2017全國(guó)卷 ) 設(shè)x，y滿足約束條件x3y3，xy1，y0，則zxy的最大值為 ( ) a0 b 1 c 2 d 3 d 根據(jù)題意作出可行域，如圖陰影部分所示，由zxy得yxz. 作出直線yx，并平移該直線，當(dāng)直線yxz過(guò)點(diǎn)a時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值由圖知a(3 ，0) ，故zmax30 3. 故選 d. 4(2017全國(guó)卷 ) abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c. 已知 sin b

19、sin a(sin ccos c) 0，a 2，c2，則c( ) a12 b 6 c 4 d 3b 因?yàn)閍2，c2，所以由正弦定理可知，2sin a2sin c，故 sin a2sin c. 又b (ac) ，故 sin b sin a(sin ccos c) sin(ac) sin asin csin acos csin acos ccos asin csin asin csin acos c(sin acos a)sin c0. 又c為abc的內(nèi)角，故 sin c 0，則 sin a cos a 0，即 tan a 1. 又a(0，) ，所以a34. 從而 sin c12sin a2222

20、12. 由a34知c為銳角，故c6. 故選b. 5(2018全國(guó)卷 ) 若x，y滿足約束條件x2y50，x2y30，x50，則zxy的最大值為_9 法一：畫出可行域如圖中陰影部分所示目標(biāo)函數(shù)zxy可化為yxz，作出直線yx，并平移，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)b時(shí)，z取得最大值聯(lián)立，得x2y30，x50，解得x5，y4，所以b(5 ，4) ，故zmax5 49. 法二：畫圖 ( 圖略 ) 知可行域是封閉的三角形區(qū)域，易求得可行域的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1 ，2) ，(5 ，4) ，(5 ，0) ，依次代入目標(biāo)函數(shù)zxy可求得z的值是 3，9，5，故zmax9. 6(2018全國(guó)卷 ) abc的內(nèi)角a，

21、b，c的對(duì)邊分別為a，b，c. 已知bsin ccsin b4asin bsin c，b2c2a28，則abc的面積為 _233 由bsin ccsin b4asin bsin c得 sin bsin c sin csin b4sin asin bsin c，因?yàn)?sin bsin c0，所以 sin a12. 因?yàn)閎2c2a28，cos ab2c2a22bc，所以bc833，所以sabc12bcsin a1283312233. 7(2016全國(guó)卷) 某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品a和產(chǎn)品b需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品a需要甲材料1.5 kg， 乙材料 1 kg， 用 5 個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品b

22、需要甲材料0.5 kg，乙材料 0.3 kg ，用 3 個(gè)工時(shí)生產(chǎn)一件產(chǎn)品a的利潤(rùn)為2 100 元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品b的利潤(rùn)為900 元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過(guò)600 個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品a、產(chǎn)品b的利潤(rùn)之和的最大值為_元216 000 設(shè)出產(chǎn)品a、產(chǎn)品b的產(chǎn)量，列出產(chǎn)品a，b的產(chǎn)量滿足的約束條件，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題求解設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品a x件，產(chǎn)品b y件，則1.5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，x0，xn*，y0，yn*.目標(biāo)函數(shù)z2 100 x900y. 作出可行域?yàn)閳D中的陰影部分( 包括邊界 ) 內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，圖中陰影四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(

23、60 ，100) ，(0， 200) ，(0 ，0) ，(90 ，0) 當(dāng)直線z 2 100 x900y經(jīng)過(guò)點(diǎn) (60 ，100)時(shí)，z取得最大值，zmax2 10060900100216 000( 元 ) 8(2017全國(guó)卷 ) abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，若 2bcos bacos cccos a，則b_3 法一：由2bcos bacos cccos a及正弦定理，得 2sin bcos bsin acos csin ccos a. 2sin bcos bsin(ac) 又abc，acb. 2sin bcos bsin( b) sin b. 又 sin b 0， cos

24、b12. b3. 法二：在abc中，acos cccos ab，條件等式變?yōu)?bcos bb， cos b12. 又 0b，b3. 9(2018全國(guó)卷 ) 已知數(shù)列an 滿足a11，nan 12(n1)an. 設(shè)bnann. (1) 求b1，b2，b3；(2) 判斷數(shù)列 bn是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；(3) 求an 的通項(xiàng)公式 解(1) 由條件可得an 12（n 1）nan. 將n1 代入得，a24a1，而a11，所以，a24. 將n2 代入得，a33a2，所以，a312. 從而b1 1，b22，b34. (2)bn 是首項(xiàng)為1，公比為2 的等比數(shù)列由條件可得an1n 12ann，即bn12

25、bn，又b11，所以 bn是首項(xiàng)為1，公比為2 的等比數(shù)列(3) 由(2) 可得ann2n1，所以ann2n1. 10(2018全國(guó)卷 ) 等比數(shù)列an中，a11，a54a3. (1) 求an 的通項(xiàng)公式；(2) 記sn為an的前n項(xiàng)和若sm63，求m. 解(1) 設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1. 由已知得q44q2，解得q0( 舍去 ) ，q 2 或q2. 故an( 2)n1或an2n1. (2) 若an( 2)n 1，則sn1（ 2）n3. 由sm63 得( 2)m 188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n 1，則sn2n1. 由sm 63 得 2m64，解得m6. 綜上，m6. 11(2017全國(guó)卷 ) 設(shè)數(shù)列an 滿足a1 3a2