高中數(shù)學(xué)第1章坐標(biāo)系22.1極坐標(biāo)系的概念學(xué)案北師大版選修4-4-北師大版高二選修4-4

1、2.1 極坐標(biāo)系的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 了解極坐標(biāo)系，理解極坐標(biāo)的概念( 重點(diǎn) )2. 能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)判定點(diǎn)的位置( 難點(diǎn) )3. 能進(jìn)行點(diǎn)坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化( 易錯(cuò)易混點(diǎn) ) 教材整理極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)1極坐標(biāo)系的概念如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)o，叫作極點(diǎn)，從o點(diǎn)引一條射線ox，叫作極軸，選定一個(gè)單位長度和角的正方向( 通常取逆時(shí)針方向) 這樣就確定了一個(gè)平面極坐標(biāo)系，簡稱極坐標(biāo)系2極坐標(biāo)的概念對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)m，用表示線段om的長，表示以ox為始邊、om為終邊的角度，叫作點(diǎn)m的極徑，叫作點(diǎn)m的極角， 有序?qū)崝?shù)對(duì) (，) 叫作點(diǎn)m的極坐標(biāo)， 記作m(，). 特別地，當(dāng)點(diǎn)m在極點(diǎn)時(shí)，

2、它的極徑0，極角可以取任意值3點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系一般地，極坐標(biāo)(，) 與(，2k)(kz)表示同一個(gè)點(diǎn)，特別地，極點(diǎn)o的坐標(biāo)為 (0，)(r) 和點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性不同，平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示如果規(guī)定 0，02，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(，)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)(，) 表示的點(diǎn)也是唯一確定的判斷 ( 正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1) 極軸是以極點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線( ) (2) 極角的大小是唯一的( ) (3) 點(diǎn) 3，6與點(diǎn)3，56是同一個(gè)點(diǎn) ( ) 解析 (1) 極軸是以極點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線(2) 因?yàn)闃O角是以極軸為始邊，終邊是過極點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)的射線，可正、可負(fù)，相差

3、 2k.(3) 因?yàn)闃O角不相差2 的整數(shù)倍，故不表示同一個(gè)點(diǎn) 答案 (1) (2) (3) 根據(jù)點(diǎn)的位置確定點(diǎn)的極坐標(biāo)【例 1】設(shè)點(diǎn)a2，3，直線l為過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線，分別求點(diǎn)a關(guān)于極軸、直線l、極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)( 限定0,00,02，則除極點(diǎn)外，點(diǎn)的極坐標(biāo)是唯一確定的2寫點(diǎn)的極坐標(biāo)要注意順序：極徑在前，極角在后，不能顛倒順序1若使正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)為極點(diǎn)且邊長為a，極軸通過它的一邊，試求正六邊形各頂點(diǎn)的極坐標(biāo) 解建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則正六邊形各頂點(diǎn)的極坐標(biāo)為：a(0,0) ，b(a,0) ，c3a，6，d2a，3，e3a，2，f a，23 . 極坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置【例 2】已知

4、點(diǎn)a的極坐標(biāo)是6，53，分別在下列給定條件下，畫出點(diǎn)a關(guān)于極點(diǎn)o的對(duì)稱點(diǎn)a的位置，并寫出a的極坐標(biāo)：(1)0，；(2)0,0 2；(3)0，20. 精彩點(diǎn)撥 本題以極坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱為載體，主要考查極坐標(biāo)系中點(diǎn)的極坐標(biāo)的確定，同時(shí)考查應(yīng)用極坐標(biāo)系解決問題的能力 嘗試解答 如圖所示，|oa| |oa| 6，xoa23，xoa53，即a與a關(guān)于極點(diǎn)o對(duì)稱，由極坐標(biāo)的定義知：(1) 當(dāng) 0， 時(shí)，a點(diǎn)的坐標(biāo)為6，23；(2) 當(dāng)0,0 2 時(shí)，a點(diǎn)的坐標(biāo)為6，53；(3) 當(dāng) 0，20 時(shí)，a點(diǎn)的坐標(biāo)為6，3. 由極坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置的步驟：(1) 取定極點(diǎn)o；(2) 作方向?yàn)樗较蛴业纳渚€ox為極軸

5、；(3) 以極點(diǎn)o為頂點(diǎn)，以極軸ox為始邊，通常按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)極軸ox確定出極角的終邊；(4) 以極點(diǎn)o為圓心，以極徑為半徑畫弧，弧與極角終邊的交點(diǎn)即是所求點(diǎn)的位置2在同一個(gè)極坐標(biāo)系中，畫出以下各點(diǎn)：a1，4，b2，32 ，c3，4，d4，94 . 解如圖所示極坐標(biāo)系的建立及應(yīng)用 探究問題 1建立極坐標(biāo)系需要哪幾個(gè)要素？這幾個(gè)要素間有什么關(guān)系？ 提示 建立極坐標(biāo)系的要素是：(1) 極點(diǎn)； (2) 極軸； (3) 長度單位； (4) 角度單位和它的正方向，四者缺一不可極軸是以極點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線，它與極軸所在的直線是有區(qū)別的；極角的始邊是極軸，它的終邊隨著的大小和正負(fù)而取得各個(gè)位置；的正方向通

6、常取逆時(shí)針方向，的值一般是以弧度為單位的量數(shù)；點(diǎn)m的極徑表示點(diǎn)m與極點(diǎn)o的距離|om| ，因此0. 但必要時(shí)，允許0. 2為什么點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一？能用三角函數(shù)的概念解釋嗎？ 提示 根據(jù)我們學(xué)過的任意角的概念：一是終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差2 的整數(shù)倍，所以點(diǎn)(，) 還可以寫成 (， 2k)(kz) ；二是終邊在一條直線上且互為反向延長線的兩角的關(guān)系，所以點(diǎn)(，) 的坐標(biāo)還可以寫成(，2k )(kz) 【例 3】某大學(xué)校園的部分平面示意圖如圖所示用點(diǎn)o，a，b，c，d，e，f分別表示校門、器材室、公寓、教學(xué)樓、圖書館、車庫、花園，建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo)( 限定0,0 2 且極點(diǎn)

7、為 (0,0) 精彩點(diǎn)撥 解答本題先選定極點(diǎn)作極軸，建立極坐標(biāo)系，再求出各點(diǎn)的極徑和極角，即可得出各點(diǎn)的極坐標(biāo) 嘗試解答 以點(diǎn)o為極點(diǎn)，oa所在的射線為極軸ox( 單位長度為1 m)，建立極坐標(biāo)系，如圖所示由|ob| 600 m，aob30，oab90，得|ab| 300 m， |oa| 3003 m，同樣求得 |od| 2|of| 3002m ，所以各點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為o(0,0) ，a(3003，0) ，b600，6，c300，2，d3002，34，e(300 ，) ，f1502，34. 在極坐標(biāo)系中，由點(diǎn)的位置求極坐標(biāo)時(shí)，隨著極角的范圍的不同，點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示也會(huì)不同，只有在0，0,2 )

8、 的限定條件下，點(diǎn)的極坐標(biāo)才是唯一的3 在極坐標(biāo)系中， 已知abc的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為a2 ，3，b(2 ， ) ，c2，53. (1) 判斷abc的形狀；(2) 求abc的面積 解(1) 如圖所示，由a2，3，b(2 ，) ，c2，53得|oa| |ob| |oc| 2，aobbocaoc23. aobbocaoc，abbcca，故abc為等邊三角形(2) 由上述可知，ac2oasin 3223223，sabc34(23)233. 1在極坐標(biāo)系中與點(diǎn)p2，3表示同一點(diǎn)的是( ) a.2，3b2，3c. 2，43d 2，3 解析 在極坐標(biāo)系中將點(diǎn)p確定，再逐個(gè)驗(yàn)證知c正確 答案 c 2已知

9、極坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)p2，53，則p關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為( ) a. 2，3b 2，3c. 2，23d 2，23 解析 點(diǎn)p2，53關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為2，23. 答案 d 3若a3，43，b5，6，o為極點(diǎn)，則aob的面積為 _ 解析 saob1235si n436154. 答案 1544關(guān)于極坐標(biāo)系的下列敘述：極軸是一條射線；極點(diǎn)的極坐標(biāo)是(0,0) ；點(diǎn) (0,0)表示極點(diǎn)；點(diǎn)m4，4與點(diǎn)n4，54表示同一個(gè)點(diǎn)其中，敘述正確的序號(hào)是_ 解析 設(shè)極點(diǎn)為o，極軸就是射線ox，正確；極點(diǎn)o的極徑0，極角是任意實(shí)數(shù)，極點(diǎn)的極坐標(biāo)應(yīng)為(0 ，) ，錯(cuò)誤；給定極坐標(biāo)(0,0)，可以在極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的一點(diǎn)，即極點(diǎn)，正確；點(diǎn)m與點(diǎn)n的極角分別是14，254，二者的終邊互為反向延長線，錯(cuò)誤 答案 5已知