高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理學(xué)案(含解析)新人教A版選擇性必修第一

1、1.2 空間向量基本定理學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1. 了解空間向量基本定理及其意義. 2. 掌握空間向量的正交分解(難點(diǎn) ) 3. 掌握在簡(jiǎn)單問題中運(yùn)用空間三個(gè)不共面的向量作為基底表示其他向量的方法( 重點(diǎn) ) 1. 通過基底概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng) . 2. 借助基底的判斷及應(yīng)用，提升邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). (1) 共面向量定理：如果兩個(gè)向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì) (x，y) ，使得pxayb. (2) 共面向量定理的推論：空間一點(diǎn)p在平面mab內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y) ，使得mpxmaymb，或?qū)τ诳臻g

2、任意一定點(diǎn)o，有opxomyoazob(xyz1) 今天我們將對(duì)平面向量基本定理加以推廣，應(yīng)用上面的幾個(gè)公式我們可以解決與四點(diǎn)共面有關(guān)的問題，得出空間向量基本定理1空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z) ，使得pxay bzc. 其中 a，b，c叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底思考： (1) 零向量能不能作為一個(gè)基向量？(2) 當(dāng)基底確定后，空間向量基本定理中實(shí)數(shù)組(x，y，z) 是否唯一？ 提示 (1) 不能因?yàn)? 與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面(2)

3、 唯一確定2正交分解(1) 單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底常用i，j，k表示(2) 正交分解把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解1思考辨析 ( 正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1) 若oa，ob，oc不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則o，a，b，c四點(diǎn)共面( ) (2) 若a，b，c為空間的一個(gè)基底，則a，b，c全不是零向量( ) (3) 只有兩兩垂直的三個(gè)向量才能作為空間向量的一組基底( ) 提示 (1) (2) (3) 2已知 a，b，c是空間的一個(gè)基底，則可以和向量pab，qab構(gòu)成基底的向量是( )

4、aabbca2bda2c 答案 d3在長方體abcd-a1b1c1d1中，可以作為空間向量一個(gè)基底的是( ) aab，ac，ad b ab，aa1，ab1cd1a1，d1c1，d1ddac1，a1c，cc1c 由題意知，d1a1，d1c1，d1d不共面，可以作為空間向量的一個(gè)基底 4已知空間的一個(gè)基底a，b，c ，mabc，nxaybc，若m與n共線，則x_，y_. 1 1 由m與n共線，得1x 1y11，x1，y 1. 基底的判斷【例 1】(1) 設(shè)xab，ybc，zca，且 a，b，c 是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：a，b，x ，x，y，z，b，c，z ，x，y，abc其中可以作為空間

5、一個(gè)基底的向量組有( ) a1 個(gè)b2 個(gè)c3 個(gè)d4 個(gè)(2) 已知 e1，e2，e3 是空間的一個(gè)基底，且oae1 2e2e3，ob 3e1e22e3，oce1e2e3，試判斷 oa，ob，oc能否作為空間的一個(gè)基底(1) c如圖所示，令aab，baa1，cad，則xab1，yad1，zac，abcac1. 由于a，b1，c，d1四點(diǎn)不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，abc也不共面，故選c. (2) 解假設(shè)oa，ob，oc共面，由向量共面的充要條件知，存在實(shí)數(shù)x，y，使oaxobyoc成立，e1 2e2e3x( 3e1e22e3) y(e1e2e3) ，即e12e

6、2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3e1，e2，e3 是空間的一個(gè)基底，e1，e2，e3不共面y3x1，xy2，2xy 1，此方程組無解即不存在實(shí)數(shù)x，y使得oaxobyoc，所以oa，ob，oc不共面所以 oa，ob，oc 能作為空間的一個(gè)基底基底判斷的基本思路及方法(1) 基本思路：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底(2) 方法：如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底假設(shè)ab c，運(yùn)用空間向量基本定理，建立，的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底 跟進(jìn)訓(xùn)練

7、1設(shè)向量 a，b，c 是空間一個(gè)基底，則一定可以與向量pab，qab，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是( ) aabbccda或bc 由題意和空間向量的共面定理，結(jié)合pq(ab) (ab) 2a，得a與p，q是共面向量，同理b與p，q是共面向量，所以a與b不能與p，q構(gòu)成空間的一個(gè)基底；又c與a和b不共面，所以c與p，q構(gòu)成空間的一個(gè)基底 用基底表示向量【例 2】如圖，四棱錐p-oabc的底面為一矩形，po平面oabc，設(shè)oaa，ocb，opc，e，f分別是pc，pb的中點(diǎn)，試用a，b，c表示：bf，be，ae，ef. 思路探究 利用圖形尋找待求向量與a，b，c的關(guān)系利利用向量運(yùn)算進(jìn)行分拆直至向量

8、用a，b，c表示 解連接bo( 圖略 ) ，則bf12bp12(boop) 12(cba) 12a12b12c. bebccebc12cpbc12(coop) a12b12c. aeappeaoop12(pooc) ac12(cb) a12b12c.ef12cb12oa12a. 基向量的選擇和使用方法(1) 盡可能選擇具有垂直關(guān)系的，從同一起點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量作為基底(2) 用基向量表示一個(gè)向量時(shí)，如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的，一般考慮加法，否則考慮減法；如果此向量與一個(gè)易求的向量共線，可用數(shù)乘 跟進(jìn)訓(xùn)練 2點(diǎn)p是矩形abcd所在平面外一點(diǎn)，且pa平面abcd，m，n分別是pc，pd上

9、的點(diǎn)，且pm23pc，pnnd，則滿足mnxabyadzap的實(shí)數(shù)x，y，z的值分別為 ( ) a23，16，16b23，16，16c23，16，16d23，16，16d 如圖所示， 取pc的中點(diǎn)e，連接ne，則mnenem12cd(pmpe) 12cd23pc12pc12cd16pc12ab16( apabad) 23ab16ad16ap，比較知x23，y16，z16，故選 d. 正交分解在立體幾何中的應(yīng)用 探究問題 1取單位正交基底比一般的基底的優(yōu)點(diǎn)有哪些？ 提示 若取單位正交基底i，j，k，那么 |i| |j| |k| 1. 且ijjkik0，這是其他一般基底所沒有的2正方體abcd-a

10、bcd中，o1，o2，o3分別是ac，ab，ad的中點(diǎn)， 以ao1，ao2，ao3 為基底，如何表示向量ac. 提示 acabadaa12(abad) 12(adaa) 12(abaa) ao1ao2ao3. 【例 3】如圖，已知平行六面體abcd-a1b1c1d1中，底面abcd是邊長為a的正方形，側(cè)棱aa1長為b，且a1aba1ad120，求異面直線bd1和ac所成角的余弦值 思路探究 取基底 ab，ad，aa1 用基底表示向量bd1和ac 求|bd1| ， |ac| 和bd1ac 求bd1與ac的夾角余弦值 得異面直線所成角的余弦值 解ab，ad，aa1 可以作為空間的一個(gè)基底，且|ab

11、| a，|ad| a，|aa1| b，ab，ad90，aa1，ab120，aa1，ad120.又bd1adaa1ab，acabad，|bd1|2 |ad|2 |aa1|2|ab|2 2adaa1 2adab2aa1aba2b2a22abcos 120 02abcos 120 2a2b2，|ac|2|ab|22abad|ad|22a2，|bd1| 2a2b2，|ac| 2a. bd1ac (adaa1ab) (abad) adab |ad|2aa1abaa1ad|ab|2abad0a2abcos 120 abcos 120 a20ab. |cos bd1，ac| |bd1ac|bd1|ac| a

12、b|2a2b22ab4a22b2. 異面直線bd1和ac所成角的余弦值為b4a2 2b2. 1 變結(jié)論 在本例條件不變的前提下，求|ac1|. 解由條件可知 |ab| |ad| a，|aa1| b，且ab，aa1ad，aa1120，abad. |ac1|2|abadaa1|2ab2ad2aa12 2abad2abaa12adaa1a2a2b2 04abcos 120 2a2b22ab. |ac1| 2a2b22ab. 2 變結(jié)論 在本例條件不變的前提下，證明bd面aa1c1c. 解由條件知，bdadab，bdaa1aa1(adab) aa1adaa1ababcos 120 abcos 120

13、0. bdaa1. 又因四邊形abcd為正方形，acbd. bd面aa1c1c. 基向量法解決長度、垂直及夾角問題的步驟(1) 設(shè)出基向量(2) 用基向量表示出直線的方向向量(3) 用|a| aa求長度，用ab0?ab，用 cos ab|a|b|求夾角(4) 轉(zhuǎn)化為線段長度，兩直線垂直及夾角問題1基底中不能有零向量因零向量與任意一個(gè)非零向量都為共線向量，與任意兩個(gè)非零向量都共面，所以三個(gè)向量為基底隱含著三個(gè)向量一定為非零向量2空間向量基本定理說明，用空間三個(gè)不共面的向量構(gòu)成的向量組a，b，c 可以表示空間任意一個(gè)向量，并且表示結(jié)果是唯一的3用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)

14、算法則，及加法的平行四邊形法則，加法、減法的三角形法則逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示1若 a，b，c為空間的一個(gè)基底，則下列各項(xiàng)中能構(gòu)成基底的一組向量是( ) aa，ab，abbb，ab，abcc，ab，abdab，ab，a2bc 空間基底必須不共面a中a12abab，不可為基底； b中b12(ab) (ab) ，不可為基底；d中32(ab) 12(ab) a2b，不可為基底 2o，a，b，c為空間四點(diǎn)，且向量oa，ob，oc不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則( ) aoa，ob，oc共線boa，ob共線cob，oc共線do，a，b，c四點(diǎn)共面d 由題意知，向量oa，ob，oc共面，從而o，a，b，c四點(diǎn)共面 3若 a，b，c是空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得xaybzc0，則x，y，z滿足的條件是 _xyz0 由于 a，b，c是空間的一個(gè)基底，所以當(dāng)xaybzc0 時(shí)，xyz0. 4正方體abcd-a1b1c1d1中，取ab，ad，aa1為基底， 若g為面bcc1b1的中心， 且agxabyadzaa1，則xyz _. 2 如圖，agabbgab12b