高中數(shù)學(xué)第1章計(jì)數(shù)原理章末復(fù)習(xí)課學(xué)案北師大版選修2-3-北師大版高二選修2-3數(shù)學(xué)學(xué)案

1、第 1 章 計(jì)數(shù)原理兩個(gè)計(jì)數(shù)原理【例 1】王華同學(xué)有課外參考書若干本，其中有 5 本不同的外語(yǔ)書，4 本不同的數(shù)學(xué)書，3 本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀(1) 若他從這些參考書中帶一本去圖書館，有多少種不同的帶法？(2) 若帶外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理參考書各一本，有多少種不同的帶法？(3) 若從這些參考書中選2 本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，有多少種不同的帶法？ 解(1) 完成的事情是帶一本書，無(wú)論帶外語(yǔ)書， 還是數(shù)學(xué)書、 物理書， 事情都已完成，從而確定為應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)果為5 4312( 種) (2) 完成的事情是帶3 本不同學(xué)科的參考書，只有從外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理書中各選1 本后，

2、才能完成這件事，因此應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)果為543 60( 種 ) (3) 選 1 本外語(yǔ)書和選1 本數(shù)學(xué)書應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，有54 20 種選法；同樣，選外語(yǔ)書、物理書各1 本，有 53 15 種選法；選數(shù)學(xué)書、物理書各1 本，有 43 12 種選法即有三類情況，應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)果為20151247( 種) 使用兩個(gè)原理解決問(wèn)題的思路1 選擇使用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式而定，確定是分類還是分步，要抓住兩個(gè)原理的本質(zhì). 2 分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是“類”，分類時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次分類時(shí)要注意，

3、完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法. 3 分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是“步”，分步時(shí)首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn)；其次，分步時(shí)還要注意滿足完成一件事必須并且只有連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事才算完成，只有滿足了上述條件，才能用分步乘法計(jì)數(shù)原理. 1如圖為電路圖，從a到b共有 _條不同的線路可通電8 先分三類第一類，經(jīng)過(guò)支路有3 種方法；第二類，經(jīng)過(guò)支路有1 種方法；第三類，經(jīng)過(guò)支路有22 4( 種) 方法，所以總的線路條數(shù)n3148. 2 如圖，一個(gè)地區(qū)分為5 個(gè)行政區(qū)域， 現(xiàn)給區(qū)域著色， 要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色現(xiàn)有 4 種顏色可供選擇，

4、則不同的著色方法共有_種 ( 以數(shù)字作答 ) 72 涂有 4 種方法；涂有3 種方法；涂有2 種方法；涂時(shí)分兩類：當(dāng)與同色時(shí)，有1 種方法，有2 種方法；當(dāng)與不同色時(shí)，有1 種方法，有1 種方法共有 432(1 2) 72 種涂法 排列、組合的應(yīng)用【例 2】(1)5 名乒乓球隊(duì)員中，有2 名老隊(duì)員和3 名新隊(duì)員現(xiàn)從中選出3 名隊(duì)員排成 1,2,3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的3 名隊(duì)員中至少有1 名老隊(duì)員且1,2 號(hào)中至少有1 名新隊(duì)員的排法有_種 ( 用數(shù)字作答 ) (2) 在高三一班元旦晚會(huì)上，有6 個(gè)演唱節(jié)目，4 個(gè)舞蹈節(jié)目當(dāng) 4 個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？當(dāng)要求每2

5、 個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1 個(gè)演唱節(jié)目時(shí)， 有多少種不同的節(jié)目安排順序？若已定好節(jié)目單，后來(lái)情況有變，需加上詩(shī)朗誦和快板2 個(gè)欄目，但不能改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的相對(duì)順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？( 1) 48 只有 1 名老隊(duì)員的排法有c12c23a3336 種有2 名老隊(duì)員的排法有c22c13c12a2212 種所以共有361248 種 (2) 解：第一步， 先將 4 個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來(lái)，看成 1 個(gè)節(jié)目， 與 6個(gè)演唱節(jié)目一起排，有 a775 040 種方法；第二步，再松綁，給4 個(gè)節(jié)目排序，有a4424 種方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有5 04024 120 960 種第一步，將6 個(gè)演唱

6、節(jié)目排成一列( 如下圖中的“” ) ，一共有a66 720 種方法第二步，再將4 個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)節(jié)目中間( 即圖中“”的位置) ，這樣相當(dāng)于 7 個(gè)“”選4 個(gè)來(lái)排，一共有a477654 840 種根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有720840 604 800 種若所有節(jié)目沒(méi)有順序要求，全部排列，則有a1212種排法，但原來(lái)的節(jié)目已定好順序，需要消除，所以節(jié)目演出的方式有a1212a1010a212132 種排法1排列、組合應(yīng)用題的解題策略(1) 在解決具體問(wèn)題時(shí)，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”，接著還要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么(2) 區(qū)分某一問(wèn)題是排列還是組合

7、問(wèn)題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問(wèn)題；若交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，則是組合問(wèn)題也就是說(shuō)排列問(wèn)題與選取元素的順序有關(guān)，組合問(wèn)題與選取元素的順序無(wú)關(guān)2解決排列組合應(yīng)用題的常用方法(1) 合理分類，準(zhǔn)確分步；(2) 特殊優(yōu)先，一般在后；(3) 先取后排，間接排除；(4) 集團(tuán)捆綁，間隔插空；(5) 抽象問(wèn)題，構(gòu)造模型；(6) 均分除序，定序除序3從 1,2,3,4,5,6這 6 個(gè)數(shù)字中，任取3 個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中若有1和 3 時(shí)，3 必須排在1 的前面；若只有1 和 3 中的一個(gè)時(shí)，它應(yīng)排在其他數(shù)字的前面，這樣不同的三位

8、數(shù)共有_個(gè) ( 用數(shù)字作答 ) 601 與 3 是特殊元素，以此為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類分三類：沒(méi)有數(shù)字1 和 3 時(shí)，有 a34個(gè)；只有 1 和 3 中的一個(gè)時(shí)，有2a24個(gè)；同時(shí)有1 和 3 時(shí)，把 3 排在 1 的前面，再?gòu)钠溆? 個(gè)數(shù)字中選1 個(gè)數(shù)字插入3 個(gè)空當(dāng)中的 1 個(gè)即可，有c14c13個(gè)所以滿足條件的三位數(shù)共有a342a24c14c1360(個(gè) ) 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【例 3】已知在x23xn的展開(kāi)式中，第5 項(xiàng)的系數(shù)與第3 項(xiàng)的系數(shù)之比是563.(1) 求展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng)；(2) 求展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；(3) 求n9c2n 81c3n 9n1cnn的值 解(1) 由 c

9、4n( 2)4c2n(2)2563，解得n10( 負(fù)值舍去 ) ，通項(xiàng)為tk1ck10(x)10k23xk( 2)kck10 x55k6 ，當(dāng) 55k6為整數(shù)時(shí)，k可取 0,6 ，于是有理項(xiàng)為t1x5和t713 440. (2) 設(shè)第k1 項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則ck102kck1102k1，ck102kck1102k1，解得k223，k193，又因?yàn)閗1,2,3 ， 9 ，所以k7，當(dāng)k7 時(shí)，t8 15 360 x56，又因?yàn)楫?dāng)k0 時(shí)，t1x5，當(dāng)k10 時(shí)，t11( 2)10 x1031 024x103，所以系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為t8 15 360 x56. (3) 原式 10 9c21

10、081c310 910 1c10109c11092c21093c310 910c10109c0109c11092c210 93c310 910c1010191910191010 19. 二項(xiàng)式定理的問(wèn)題類型及解答策略1 確定二項(xiàng)式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項(xiàng)式中的有關(guān)元素. 2 確定二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)：先寫出其通項(xiàng)公式，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)公式，即可確定常數(shù)項(xiàng). 3 求二項(xiàng)展開(kāi)式中條件項(xiàng)的系數(shù)：先寫出其通項(xiàng)公式，再由條件確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)公式求出此項(xiàng)的系數(shù). 4 求二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和差：賦值代入. 5 確定二項(xiàng)展開(kāi)式中

11、的系數(shù)最大或最小項(xiàng)：利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì). 4(1) 已知 (1 kx2)6(k是正整數(shù) ) 的展開(kāi)式中x8的系數(shù)小于120，則k_.1(1 kx2)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為tr1 cr6(kx2)rcr6krx2r，令 2r8 得r4， x8的系數(shù)為c46k415k4. 15k4120. 即k48，又k是正整數(shù)故k只能取 1. (2) 已知二項(xiàng)式5x1xn展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和是各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和的16 倍. 求n；求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；求展開(kāi)式中所有x的有理項(xiàng) 解令x1 得二項(xiàng)式5x1xn展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(5 1)n4n， 各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，由題意得，4n162n，所以 2n

12、16，n4. 通項(xiàng)tr1cr4(5x)4r1xr( 1)rcr454rx432r. 展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3 項(xiàng)：t3( 1)2c2452x150 x. 由得： 432rz.(r0,1,2,3,4)，即r0,2,4 ，所以展開(kāi)式中所有x的有理項(xiàng)為t1( 1)0c0454x4625x4，t3( 1)2c2452x150 x，t5( 1)4c4450 x2x2. 二項(xiàng)式定理中的“賦值”問(wèn)題【例 4】(1) 1 (1x) (1x)2 (1 x)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為( ) a2n1 b2n1 c2n11 d2n(2) 已知 (1 x)6(1 2x)5a0a1xa2x2a11x11，那么a

13、1a2a3a11_. ( 1) c( 2) 65(1) 法一：令x1 得， 1222 2n1 2n1 121 2n1 1. 法二：令n1，知各項(xiàng)系數(shù)和為3，排除 a，b，d，選 c. (2) 令x0，得a01；令x1，得a0a1a2a3a11 64，所以a1a2a3a11 65. 賦值法的應(yīng)用規(guī)律與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，包括求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和，主要方法是賦值法，通過(guò)觀察展開(kāi)式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和所求式子的關(guān)系，確定給字母所賦的值，有時(shí)賦值后得到的式子比所求式子多一項(xiàng)或少一項(xiàng)，此時(shí)要專門求出這一項(xiàng)，而在求奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和時(shí)，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果. 5若 (x2 3x2)5a0a1xa2x2a10 x10. (1) 求a2；(2) 求a1a2a10；(3) 求(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)2. 解(1)(x23x2)5(x1)5(x2)5，a2是展開(kāi)式中x2的系數(shù)