高中數(shù)學(xué)第1章計數(shù)原理章末復(fù)習(xí)課學(xué)案北師大版選修2-3-北師大版高二選修2-3數(shù)學(xué)學(xué)案

1、第 1 章 計數(shù)原理兩個計數(shù)原理【例 1】王華同學(xué)有課外參考書若干本，其中有 5 本不同的外語書，4 本不同的數(shù)學(xué)書，3 本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀(1) 若他從這些參考書中帶一本去圖書館，有多少種不同的帶法？(2) 若帶外語、數(shù)學(xué)、物理參考書各一本，有多少種不同的帶法？(3) 若從這些參考書中選2 本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，有多少種不同的帶法？ 解(1) 完成的事情是帶一本書，無論帶外語書， 還是數(shù)學(xué)書、 物理書， 事情都已完成，從而確定為應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，結(jié)果為5 4312( 種) (2) 完成的事情是帶3 本不同學(xué)科的參考書，只有從外語、數(shù)學(xué)、物理書中各選1 本后，

2、才能完成這件事，因此應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)果為543 60( 種 ) (3) 選 1 本外語書和選1 本數(shù)學(xué)書應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理，有54 20 種選法；同樣，選外語書、物理書各1 本，有 53 15 種選法；選數(shù)學(xué)書、物理書各1 本，有 43 12 種選法即有三類情況，應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，結(jié)果為20151247( 種) 使用兩個原理解決問題的思路1 選擇使用兩個原理解決問題時，要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式而定，確定是分類還是分步，要抓住兩個原理的本質(zhì). 2 分類加法計數(shù)原理的關(guān)鍵是“類”，分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次分類時要注意，

3、完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法. 3 分步乘法計數(shù)原理的關(guān)鍵是“步”，分步時首先要根據(jù)問題的特點確定一個分步的標(biāo)準(zhǔn)；其次，分步時還要注意滿足完成一件事必須并且只有連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算完成，只有滿足了上述條件，才能用分步乘法計數(shù)原理. 1如圖為電路圖，從a到b共有 _條不同的線路可通電8 先分三類第一類，經(jīng)過支路有3 種方法；第二類，經(jīng)過支路有1 種方法；第三類，經(jīng)過支路有22 4( 種) 方法，所以總的線路條數(shù)n3148. 2 如圖，一個地區(qū)分為5 個行政區(qū)域， 現(xiàn)給區(qū)域著色， 要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色現(xiàn)有 4 種顏色可供選擇，

4、則不同的著色方法共有_種 ( 以數(shù)字作答 ) 72 涂有 4 種方法；涂有3 種方法；涂有2 種方法；涂時分兩類：當(dāng)與同色時，有1 種方法，有2 種方法；當(dāng)與不同色時，有1 種方法，有1 種方法共有 432(1 2) 72 種涂法 排列、組合的應(yīng)用【例 2】(1)5 名乒乓球隊員中，有2 名老隊員和3 名新隊員現(xiàn)從中選出3 名隊員排成 1,2,3號參加團(tuán)體比賽，則入選的3 名隊員中至少有1 名老隊員且1,2 號中至少有1 名新隊員的排法有_種 ( 用數(shù)字作答 ) (2) 在高三一班元旦晚會上，有6 個演唱節(jié)目，4 個舞蹈節(jié)目當(dāng) 4 個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？當(dāng)要求每2

5、 個舞蹈節(jié)目之間至少安排1 個演唱節(jié)目時， 有多少種不同的節(jié)目安排順序？若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2 個欄目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？( 1) 48 只有 1 名老隊員的排法有c12c23a3336 種有2 名老隊員的排法有c22c13c12a2212 種所以共有361248 種 (2) 解：第一步， 先將 4 個舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成 1 個節(jié)目， 與 6個演唱節(jié)目一起排，有 a775 040 種方法；第二步，再松綁，給4 個節(jié)目排序，有a4424 種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有5 04024 120 960 種第一步，將6 個演唱

6、節(jié)目排成一列( 如下圖中的“” ) ，一共有a66 720 種方法第二步，再將4 個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個節(jié)目中間( 即圖中“”的位置) ，這樣相當(dāng)于 7 個“”選4 個來排，一共有a477654 840 種根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有720840 604 800 種若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有a1212種排法，但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除，所以節(jié)目演出的方式有a1212a1010a212132 種排法1排列、組合應(yīng)用題的解題策略(1) 在解決具體問題時，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”，接著還要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么(2) 區(qū)分某一問題是排列還是組合

7、問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題也就是說排列問題與選取元素的順序有關(guān)，組合問題與選取元素的順序無關(guān)2解決排列組合應(yīng)用題的常用方法(1) 合理分類，準(zhǔn)確分步；(2) 特殊優(yōu)先，一般在后；(3) 先取后排，間接排除；(4) 集團(tuán)捆綁，間隔插空；(5) 抽象問題，構(gòu)造模型；(6) 均分除序，定序除序3從 1,2,3,4,5,6這 6 個數(shù)字中，任取3 個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中若有1和 3 時，3 必須排在1 的前面；若只有1 和 3 中的一個時，它應(yīng)排在其他數(shù)字的前面，這樣不同的三位

8、數(shù)共有_個 ( 用數(shù)字作答 ) 601 與 3 是特殊元素，以此為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類分三類：沒有數(shù)字1 和 3 時，有 a34個；只有 1 和 3 中的一個時，有2a24個；同時有1 和 3 時，把 3 排在 1 的前面，再從其余4 個數(shù)字中選1 個數(shù)字插入3 個空當(dāng)中的 1 個即可，有c14c13個所以滿足條件的三位數(shù)共有a342a24c14c1360(個 ) 二項式定理的應(yīng)用【例 3】已知在x23xn的展開式中，第5 項的系數(shù)與第3 項的系數(shù)之比是563.(1) 求展開式中的所有有理項；(2) 求展開式中系數(shù)絕對值最大的項；(3) 求n9c2n 81c3n 9n1cnn的值 解(1) 由 c

9、4n( 2)4c2n(2)2563，解得n10( 負(fù)值舍去 ) ，通項為tk1ck10(x)10k23xk( 2)kck10 x55k6 ，當(dāng) 55k6為整數(shù)時，k可取 0,6 ，于是有理項為t1x5和t713 440. (2) 設(shè)第k1 項系數(shù)的絕對值最大，則ck102kck1102k1，ck102kck1102k1，解得k223，k193，又因為k1,2,3 ， 9 ，所以k7，當(dāng)k7 時，t8 15 360 x56，又因為當(dāng)k0 時，t1x5，當(dāng)k10 時，t11( 2)10 x1031 024x103，所以系數(shù)的絕對值最大的項為t8 15 360 x56. (3) 原式 10 9c21

10、081c310 910 1c10109c11092c21093c310 910c10109c0109c11092c210 93c310 910c1010191910191010 19. 二項式定理的問題類型及解答策略1 確定二項式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關(guān)元素. 2 確定二項展開式中的常數(shù)項：先寫出其通項公式，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項數(shù)，然后代入通項公式，即可確定常數(shù)項. 3 求二項展開式中條件項的系數(shù)：先寫出其通項公式，再由條件確定項數(shù)，然后代入通項公式求出此項的系數(shù). 4 求二項展開式中各項系數(shù)的和差：賦值代入. 5 確定二項展開式中

11、的系數(shù)最大或最小項：利用二項式系數(shù)的性質(zhì). 4(1) 已知 (1 kx2)6(k是正整數(shù) ) 的展開式中x8的系數(shù)小于120，則k_.1(1 kx2)6的展開式的通項為tr1 cr6(kx2)rcr6krx2r，令 2r8 得r4， x8的系數(shù)為c46k415k4. 15k4120. 即k48，又k是正整數(shù)故k只能取 1. (2) 已知二項式5x1xn展開式中各項系數(shù)之和是各項二項式系數(shù)之和的16 倍. 求n；求展開式中二項式系數(shù)最大的項；求展開式中所有x的有理項 解令x1 得二項式5x1xn展開式中各項系數(shù)之和為(5 1)n4n， 各項二項式系數(shù)之和為2n，由題意得，4n162n，所以 2n

12、16，n4. 通項tr1cr4(5x)4r1xr( 1)rcr454rx432r. 展開式中二項式系數(shù)最大的項是第3 項：t3( 1)2c2452x150 x. 由得： 432rz.(r0,1,2,3,4)，即r0,2,4 ，所以展開式中所有x的有理項為t1( 1)0c0454x4625x4，t3( 1)2c2452x150 x，t5( 1)4c4450 x2x2. 二項式定理中的“賦值”問題【例 4】(1) 1 (1x) (1x)2 (1 x)n的展開式的各項系數(shù)之和為( ) a2n1 b2n1 c2n11 d2n(2) 已知 (1 x)6(1 2x)5a0a1xa2x2a11x11，那么a

13、1a2a3a11_. ( 1) c( 2) 65(1) 法一：令x1 得， 1222 2n1 2n1 121 2n1 1. 法二：令n1，知各項系數(shù)和為3，排除 a，b，d，選 c. (2) 令x0，得a01；令x1，得a0a1a2a3a11 64，所以a1a2a3a11 65. 賦值法的應(yīng)用規(guī)律與二項式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點和所求式子的關(guān)系，確定給字母所賦的值，有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項，此時要專門求出這一項，而在求奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和時，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果. 5若 (x2 3x2)5a0a1xa2x2a10 x10. (1) 求a2；(2) 求a1a2a10；(3) 求(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)2. 解(1)(x23x2)5(x1)5(x2)5，a2是展開式中x2的系數(shù)