2010屆高三數(shù)學(xué)三角形中的三角函數(shù)ppt課件

1、三角形中的有關(guān)公式三角形中的有關(guān)公式 1.內(nèi)角和定理內(nèi)角和定理: 三角形三內(nèi)角之和為三角形三內(nèi)角之和為, 即即 A+B+C=.注注 恣意兩角和與第三個角總互補(bǔ)恣意兩角和與第三個角總互補(bǔ);恣意兩半角和與第三個角的半角總互余恣意兩半角和與第三個角的半角總互余; 銳角三角形銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角都是銳角任兩角和都是鈍角任兩角和都是鈍角設(shè)設(shè) ABC 中中, 角角 A、B、C 的對邊為的對邊為 a、b、c, 恣意兩邊的平方和大于第三邊的平方恣意兩邊的平方和大于第三邊的平方.三內(nèi)角的余弦值為正值三內(nèi)角的余弦值為正值 2.正弦定理正弦定理: = = =2R(R 為三角形外接圓的半為三角形外接圓的半徑

2、徑). sinC csinA asinB b注注 正弦定理的一些變式正弦定理的一些變式:(1)a:b:c=sinA:sinB:sinC; (3)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC. 知三角形兩邊一對角運(yùn)用正弦定理求解時知三角形兩邊一對角運(yùn)用正弦定理求解時, 務(wù)必留意能夠務(wù)必留意能夠有兩解有兩解. 3.余弦定理余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA, cosA= 等等, 常選用常選用余弦定理鑒定三角形的外形余弦定理鑒定三角形的外形. b2+c2-a2 2bc4.射影定理射影定理: a=bcosC+ccosB. 5.面積公式面積公式: S= aha= absinC= r

3、(a+b+c)(其中其中 r 為三角形為三角形內(nèi)切圓半徑內(nèi)切圓半徑). 121212 特別提示特別提示: (1)求解三角形中的問題時求解三角形中的問題時, 一定要留意一定要留意 A+B+C=這一特性這一特性: A+B=-C, sin(A+B)=sinC, sin =cos ; (2)求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時, 常運(yùn)用常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化.A+B2 C2(2)sinA= , sinB= , sinC= ;c2Ra2Rb2R運(yùn)用一運(yùn)用一: : 解三角形解三角形 例例1 設(shè)設(shè)ABC 的三內(nèi)角的三內(nèi)角 A,

4、B, C 成等差數(shù)列成等差數(shù)列, 三邊長三邊長 a, b, c 的倒數(shù)也成等差數(shù)列的倒數(shù)也成等差數(shù)列, 求三內(nèi)角求三內(nèi)角.例例3 在在ABC 中中, 假設(shè)面積為假設(shè)面積為 S, 且且 2S=(a+b)2-c2, 求求 tanC 的值的值.A=B=C=60 提示提示: 令令 A-C=2, 可得可得: 4cos2-3cos-1=0 得得: cos =1 得得: A=C. A=60, B=30, C=90 43- -運(yùn)用舉例運(yùn)用舉例 例例2 在在ABC 中中, 知知 b= 3 , c=2 3 , 角角 A 的平分線的平分線 AD=2, 求三角形的三內(nèi)角的度數(shù)求三角形的三內(nèi)角的度數(shù).運(yùn)用二運(yùn)用二: :

5、 判別三角形的外形判別三角形的外形 例例1 ABC 中中, 假設(shè)假設(shè) sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2C, 判別判別 ABC 的外形的外形.直角三角形直角三角形 例例2 在在 ABC 中中, 知知 = , 試判試判別三角形的外形別三角形的外形.sin2A-sin2B+sin2C sin2A+sin2B-sin2C 1+cos2B 1+cos2C 例例4 在在 ABC 中中, 知知 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 試判別試判別三角形的外形三角形的外形. 例例5 在在ABC中中, 假設(shè)假設(shè) a2sin2B+b2sin2A=2abcosAcosB, (1

6、)試判別三角形的外形試判別三角形的外形; (2)假設(shè)假設(shè) cosB=4(1-cosA), 求求 ABC 三三邊邊 a, b, c的比的比.直角三角形或等腰三角形直角三角形或等腰三角形正三角形正三角形直角三角形或等腰三角形直角三角形或等腰三角形直角三角形直角三角形; 8:15:17 例例3 在在 ABC 中中, 知知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab, sinA+sinB= 3 , 試判別三角形的外形試判別三角形的外形.運(yùn)用三運(yùn)用三: : 三角形的證明三角形的證明CBADabbbc提示提示: (1)法一法一: 邊換角邊換角法二法二: 角換邊角換邊(2)法一法一: 邊換角邊換角法二法二: 角換

7、邊角換邊法三法三: 構(gòu)造圖形構(gòu)造圖形(3)作差換作差換 c2 即可即可.差為差為: 2(a2+b2)-4absin(C+30) 2(a2+b2)-4ab=2(a-b)20.( (正三角形時取等號正三角形時取等號).).例例1 在在 ABC 中中, 求證求證: (1) = ; a-ccosB b-ccosA sinB sinA (2)a2-2abcos(60+C)=c2-2bccos(60+A); (3)a2+b2+c24 3 S(S 為為 ABC 的面積的面積). 證證: 由余弦定理知由余弦定理知, cosA, cosB, cosC 為有理數(shù)為有理數(shù),cos5cos5 即即 -cosC -co

8、sC 為有理為有理數(shù)數(shù), , 而而cos=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB, 證明證明 sinAsinB 為有理數(shù)即可為有理數(shù)即可( (由正弦定理可證由正弦定理可證).).或由或由 coscos5=cos(3-2)cos(3+2) =cos23 cos22 -sin23 sin22 =cos23 cos22 -(1-cos23 )(1-cos22 ) =cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B) 為有理數(shù)為有理數(shù), 且且 cos0, cos5 為有理數(shù)知為有理數(shù)知:cos 為有理數(shù)為有理數(shù). 例例2 知知 ABC 的三邊均為有理數(shù)的三邊均為有理數(shù), A=3,

9、 B=2, 試證試證 cos5 與與 cos 均為有理數(shù)均為有理數(shù). 1. ABC 中中, A, B 的對邊分別為的對邊分別為a, b, 且且 A=60, a= 6, b=4, 那么滿足條件的那么滿足條件的 ABC ( ) A.有一個解有一個解 B.有兩個解有兩個解 C.無無解解 D.不能確定不能確定 C2.在在 ABC 中中, AB 是是sinAsinB 成立的成立的_條件條件. 充要充要 課后練習(xí)課后練習(xí)3.在在 ABC 中中, (1+tanA)(1+tanB)=2, 那么那么 log2sinC= . 12- - 4. ABC 中中, a, b, c 分別是角分別是角 A, B, C 所對

10、的邊所對的邊, 假設(shè)假設(shè) (a+b+c) (sinA+sinB-sinC)=3asinB, 那么那么 C= .a2+b2-c2 4 35.在在 ABC 中中, 假設(shè)其面積假設(shè)其面積 S= , 那么那么 C=_. 60 30 6.在在 ABC 中中, a=60, b=1, 其面積為其面積為 3 , 那么那么 ABC 外接外接圓的直徑是圓的直徑是_.2 393 7.在在 ABC 中中, a, b, c 是角是角 A, B, C 的對邊的對邊, a= 3 , cosA= , 那么那么 cos2 = , b2+c2 的最大值為的最大值為 .13B+C 2 9.設(shè)設(shè) O 是銳角三角形是銳角三角形 ABC

11、 的外心的外心, 假設(shè)假設(shè) C=75, 且且 AOB, BOC, COA 的面積滿足關(guān)系式的面積滿足關(guān)系式 SAOB+SBOC= 3 SCOA, 求求 A.(0, 6 8.在在 ABC 中中, AB=1, BC=2, 那么角那么角 C 的取值范圍是的取值范圍是_. 13 92 45 10.在在 ABC 中中, 知知 sinA= , cosB= , 求求 cosC 的值的值. 1353560B90, 60B90, 且且sinB= 1-cos2B sinB= 1-cos2B = . 131235又又sinA= , 220A45 0A45 或或 A180. A180. A+B180, A+B180,

12、 0A45. 0A45. cosA= 1-sin2A cosA= 1-sin2A 45= .cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB 13545= - 351312= . 6516解解: 在在 ABC 中中, cosB= , 13512解解: (1)(a+c)(a-c)=b(b-c), b2+c2-a2=bc. 11.銳角銳角 ABC 中中, a、b、c 分別是角分別是角 A、B、C 的對邊的對邊. (1)假設(shè)假設(shè)(a+c)(a-c)=b(b-c), 求求 A 的大小的大小; (2)y=2sin2B+si

13、n(2B+ ) 取最大值時取最大值時, 求求 B 的大小的大小. 6 故由余弦定理得故由余弦定理得 cosA= b2+c2-a2 2bc 12= . (2)y=2sin2B+sin(2B+ )=1-cos2B+sin2Bcos +cos2Bsin 6 6 6 =1- cos2B+ sin2B 1232=1+sin(2B- )2. 6 A A 是銳角三角形的內(nèi)角是銳角三角形的內(nèi)角, 0A . , 0A . 2 A= . A= . 3 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) B= B= 時取等號時取等號. . 3 B= . B= . 3 12.知知 ABC 的三個內(nèi)角的三個內(nèi)角 A, B, C 成等差數(shù)列成等差數(shù)列,

14、求求 cosAcosC 的取值范圍的取值范圍. 解解: ABC 的三個內(nèi)角的三個內(nèi)角 A, B, C 成等差數(shù)列成等差數(shù)列, 2B=A+C 2B=A+C 且且 A+B+C=180. A+B+C=180. B=60, C=120-A. B=60, C=120-A. cosAcosC=cosAcos(120-A) cosAcosC=cosAcos(120-A) =cosAcos120cosA+cosAsin120sinA =- cos2A+ sinAcosA 3212=- (1+cos2A)+ sin2A 3414= sin(2A-30)- . 12140A120, 0A120, -302A-30

15、210. -302A-30210. - sin(2A-30)1. - sin(2A-30)1. 12- cosAcosC . - cosAcosC . 12141412即即 cosAcosC 的取值范圍是的取值范圍是 (- , . 13.知銳角知銳角 ABC 中中, sin(A+B)= , sin(A-B)= . (1)求證求證: tanA=2tanB; (2)設(shè)設(shè) AB=3, 求求 AB 邊上的高邊上的高. 3515(1)證證: sin(A+B)= , sin(A-B)= , 3515sinAcosB+cosAsinB= , 3515sinAcosB-cosAsinB= , sinAcosB= , 2515cosAsinB= , tanAtanB =2. =2. tanA=2tanB. tanA=2tanB. (2)解解: 由知由知 A+B , sin(A+B)= , 2 35tan(A+B)=- . tan(A+B)=- . 34tanA+tan