文科立體幾何大題復習

1、文科立體幾何大題復習一解答題（共12 小題）1如圖 1，在正方形 ABCD中，點， E，F 分別是 AB， BC的中點， BD 與 EF交于點 H，點 G，R 分別在線段 DH， HB上，且將 AED，CFD， BEF分別沿 DE，DF，EF折起，使點 A，B，C 重合于點 P，如圖 2 所示（ 1）求證： GR平面 PEF；（ 2）若正方形 ABCD的邊長為 4，求三棱錐 P DEF的內切球的半徑2如圖，在四棱錐PABCD中， PD平面 ABCD，底面 ABCD是菱形， BAD=60°， AB=2， PD=，O 為 AC 與 BD 的交點， E 為棱 PB上一點（ ）證明：平面 E

2、AC平面 PBD；（ ）若 PD平面 EAC，求三棱錐 P EAD的體積高中數學3如圖，在四棱錐中PABCD，AB=BC=CD=DA， BAD=60°，AQ=QD， PAD是正三角形（ 1）求證： ADPB；（ 2）已知點 M 是線段 PC上， MC=PM，且 PA平面 MQB，求實數 的值4如圖，四棱錐S ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍， P 為側棱 SD 上的點（ ）求證： ACSD；（ ）若 SD平面 PAC，則側棱 SC上是否存在一點 E，使得 BE平面 PAC若存在， 求 SE：EC的值；若不存在，試說明理由高中數學5如圖所示， ABC所在的平面與菱形

3、BCDE所在的平面垂直，且AB BC，AB=BC=2， BCD=60°，點 M 為 BE的中點，點 N 在線段 AC上（ ）若 =，且 DN AC，求 的值；（ ）在（ ）的條件下，求三棱錐 B DMN 的體積6如圖，在三棱柱 ABCA1B1C1 中， AB=AC，且側面 BB1C1C 是菱形， B1BC=60°（ ）求證： AB1BC；（ ）若 AB AC，AB1=BB1，且該三棱柱的體積為2，求 AB 的長7如圖 1，在矩形 ABCD中， AB=4， AD=2，E 是 CD的中點，將 ADE沿 AE折起，得到如圖2 所示高中數學的四棱錐 D1 ABCE，其中平面 D1A

4、E平面 ABCE（ 1）證明： BE平面 D1AE；（ 2）設 F 為 CD1 的中點，在線段AB上是否存在一點M，使得平面1 ，若存在，求出的MFD AE值；若不存在，請說明理由8如圖，已知多面體 ABCDEF中， ABD、 ADE均為正三角形，平面 ADE平面 ABCD，AB CD EF，AD：EF：CD=2： 3：4（ ）求證： BD平面 BFC；（ ）若 AD=2，求該多面體的體積9如圖，在四棱錐中PABCD，底面 ABCD為邊長為的正方形， PABD（ ）求證： PB=PD；高中數學（ ）若 E，F 分別為 PC， AB 的中點， EF平面 PCD，求三棱錐的DACE體積10如圖，四

5、邊形 ABCD為菱形， G 為 AC與 BD 的交點， BE平面 ABCD（ ）證明：平面 AEC平面 BED；（ ）若 ABC=120°， AEEC，三棱錐 EACD的體積為，求該三棱錐的側面積11如圖，四邊形 ABCD是正方形， DE平面 ABCD，AF DE， AF=ED=1（ ）求二面角 EAC D 的正切值；高中數學（ ）設點 M 是線段 BD 上一個動點，試確定點M 的位置，使得 AM平面 BEF，并證明你的結論12如圖，在四棱錐P ABCD中， AB平面 BCP， CDAB，AB=BC=CP=BP=2，CD=1（ 1）求點 B 到平面 DCP的距離；（ 2）點 M 為線

6、段 AB 上一點（含端點），設直線 MP 與平面 DCP所成角為 ，求 sin 的取值范圍高中數學文科立體幾何大題復習參考答案與試題解析一解答題（共12 小題）1如圖 1，在正方形 ABCD中，點， E，F 分別是 AB， BC的中點， BD 與 EF交于點 H，點 G，R 分別在線段 DH， HB上，且將 AED，CFD， BEF分別沿 DE，DF，EF折起，使點 A，B，C 重合于點 P，如圖 2 所示（ 1）求證： GR平面 PEF；（ 2）若正方形 ABCD的邊長為 4，求三棱錐 P DEF的內切球的半徑【解答】 證明：（ ）在正方形 ABCD中， A、 B、 C 均為直角，在三棱錐

7、PDEF中， PE，PF， PD三條線段兩兩垂直， PD平面 PEF，=，即，在 PDH中， RGPD， GR平面 PEF解：（ ）正方形 ABCD邊長為 4，由題意 PE=PF=2， PD=4， EF=2，DF=2， S PEF=2，S PFD=SDPE=4，=6，設三棱錐 PDEF的內切球半徑為r，則三棱錐的體積：=，解得 r=，三棱錐 PDEF的內切球的半徑為高中數學2如圖，在四棱錐PABCD中， PD平面 ABCD，底面 ABCD是菱形， BAD=60°， AB=2， PD=，O 為 AC 與 BD 的交點， E 為棱 PB上一點（ ）證明：平面 EAC平面 PBD；（ ）若

8、 PD平面 EAC，求三棱錐 P EAD的體積【解答】（ ）證明： PD平面 ABCD，AC? 平面 ABCD， ACPD四邊形 ABCD是菱形， ACBD，又 PDBD=D，AC平面 PBD而 AC? 平面 EAC，平面 EAC平面 PBD（ ）解： PD平面 EAC，平面 EAC平面 PBD=OE， PD OE，O 是 BD中點， E是 PB中點取 AD 中點 H，連結 BH，四邊形 ABCD是菱形， BAD=60°， BH AD，又 BHPD， AD PD=D， BH平面 PAD，=高中數學3如圖，在四棱錐中PABCD，AB=BC=CD=DA， BAD=60°，AQ=

9、QD， PAD是正三角形（ 1）求證： ADPB；（ 2）已知點 M 是線段 PC上， MC=PM，且 PA平面 MQB，求實數 的值【解答】 證明：（1）如圖，連結 BD，由題意知四邊形 ABCD為菱形， BAD=60°， ABD為正三角形，又 AQ=QD， Q 為 AD 的中點， AD BQ， PAD是正三角形， Q 為 AD 中點， AD PQ，又 BQPQ=Q， AD平面 PQB，又 PB? 平面 PQB， ADPB解：（ 2）連結 AC，交 BQ 于 N，連結 MN， AQ BC， PN平面 MQB，PA? 平面 PAC，平面 MQB平面 PAC=MN，根據線面平行的性質定

10、理得MNPA，綜上，得， MC=2PM，高中數學 MC=PM，實數 的值為 24如圖，四棱錐S ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍， P 為側棱 SD 上的點（ ）求證： ACSD；（ ）若 SD平面 PAC，則側棱 SC上是否存在一點 E，使得 BE平面 PAC若存在， 求 SE：EC的值；若不存在，試說明理由【解答】 解：（）連 BD，設 AC交 BD 于 O，由題意 SO AC，在正方形 ABCD中， AC BD，所以 AC面 SBD，所以 ACSD（ ）若 SD平面 PAC，則 SD OP，設正方形 ABCD的邊長為 a，則 SD=，OD=，則 OD2=PD?SD，可

11、得PD=，故可在 SP上取一點 N，使 PN=PD，過 N 作 PC的平行線與 SC的交點即為 E，連 BN在 BDN 中知 BN PO，高中數學又由于 NEPC，故平面 BEN面 PAC，得 BE面 PAC，由于 SN：NP=2：1，故 SE： EC=2： 15如圖所示， ABC所在的平面與菱形BCDE所在的平面垂直，且AB BC，AB=BC=2， BCD=60°，點 M 為 BE的中點，點 N 在線段 AC上（ ）若 =，且 DN AC，求 的值；（ ）在（ ）的條件下，求三棱錐 B DMN 的體積【解答】 解：（）取 BC的中點 O，連接 ON，OD，四邊形 BCDE為菱形，

12、BCD=60°， DO BC， ABC所在的平面與菱形BCDE所在平面垂直， DO平面 ABC， AC? 平面 ABC， DOAC，又 DNAC，且 DNDO=D， AC平面 DON， ON? 平面 DON， ONAC，由 O 為 BC的中點， AB=BC，可得，即 =3；（ ）由平面 ABC平面 BCDE，ABBC，可得 AB平面 BCDE，由，可得點 N 到平面 BCDE的距離為，高中數學由菱形 BCDE中， BCD=60°，點 M 為 BE的中點，可得 DM BE，且， BDM 的面積，三棱錐 NBDM 的體積又 VN BDM=VBDMN，三棱錐 BDMN 的體積為6

13、如圖，在三棱柱 ABCA1B1C1 中， AB=AC，且側面 BB1C1C 是菱形， B1BC=60°（ ）求證： AB1BC；（ ）若 AB AC，AB1=BB1，且該三棱柱的體積為2，求 AB 的長【解答】 解：（I）取 BC中點 M，連結 AM，B1M， AB=AC， M 是 BC的中點， AMBC，側面 BB1 C1C 是菱形， B1BC=60°， B1MBC，又 AM? 平面 AB1M，B1M? 平面 AB1M，AMB1M=M ， BC平面 AB1M， AB1? 平面 AB1M ， BCAB1（ II）設 AB=x，則 AC=x，BC= x，高中數學 M 是 BC

14、的中點， AM=， BB1， 1，=B M=又 AB1=BB1， AB1=， AB12=B1M2+AM2， B1M AM由（ I）知 B1M BC， AM? 平面 ABC，BC? 平面 ABC，AM BC=M， B1M 平面 ABC，V=， x=2，即 AB=27如圖 1，在矩形 ABCD中， AB=4， AD=2，E 是 CD的中點，將 ADE沿 AE折起，得到如圖 2 所示的四棱錐 D1 ABCE，其中平面 D1AE平面 ABCE（ 1）證明： BE平面 D1AE；（ 2）設 F 為 CD1 的中點，在線段AB上是否存在一點M，使得平面1 ，若存在，求出的MFD AE值；若不存在，請說明理

15、由【解答】（1）證明：連接 BE， ABCD為矩形且 AD=DE=EC=2， AE=BE=2 ，AB=4， AE2+BE2=AB2， BEAE，又 D1AE平面 ABCE，平面 D1AE平面 ABCE=AE，高中數學 BE平面 D1AE（2） =取 D1E 中點 N，連接 AN，FN， FN EC，EC AB， FN AB，且 FN= AB，M，F，N，A 共面，若 MF平面 AD1E，則 MF AN AMFN 為平行四邊形， AM=FN= = 8如圖，已知多面體 ABCDEF中， ABD、 ADE均為正三角形，平面 ADE平面 ABCD，AB CD EF，AD：EF：CD=2： 3：4（ ）

16、求證： BD平面 BFC；（ ）若 AD=2，求該多面體的體積【解答】 解：（）因為 ABCD，所以 ADC=120°， ABD為正三角形，所以 BDC=60°設 AD=a，因為 AD：CD=2：4=1：2，所以 CD=2a，在 BDC中，由余弦定理，得，所以222，所以BD +BC =CDBDBC取 AD 的中點 O，連接 EO，因為 ADE為正三角形，所以 EOAD，因為平面 ADE平面 ABCD，所以 EO平面 ABCD高中數學取 BC的中點 G，連接 FG，OG，則，且 EF OG，所以四邊形 OEFG為平行四邊形，所以 FGEO，所以 FG平面 ABCD，所以 F

17、GBD因為 FGBC=G，所以 BD平面 BFC（ ）過 G 作直線 MN AD，延長 AB與 MN 交于點 M ，MN 與 CD交于點 N，連接 FM，FN因為 G 為 BC的中點，所以 MG=OA且 MG OA，所以四邊形 AOGM 為平行四邊形，所以AM=OG同理 DN=OG，所以 AM=OG=DN=EF=3又 AB CD，所以 AM DN，所以 AMDNEF，所以多面體 MNFADE為三棱柱過 M 作 MHAD 于 H 點，因為平面 ADE平面 ABCD，所以 MH平面 ADE，所以線段 MH 的長即三棱柱 MNFADE的高，在 AMH 中，所以三棱柱 MNFADE的體積為因為三棱錐

18、FBMG 與 F CNG的體積相等，所以所求多面體的體積為9如圖，在四棱錐中PABCD，底面 ABCD為邊長為的正方形， PABD（ ）求證： PB=PD；（ ）若 E，F 分別為 PC， AB 的中點， EF平面 PCD，求三棱錐的DACE體積【解答】 解：（）連接 AC交 BD 于點 O，底面 ABCD是正方形， ACBD 且 O 為 BD 的中點又 PA BD，PAAC=A，高中數學 BD平面 PAC，又 PO? 平面 PAC， BD PO又 BO=DO， RtPBO RtPDO， PB=PD（ ）取 PD 的中點 Q，連接 AQ，EQ，則 EQCD，又AF， AFEQ為平行四邊形， E

19、F AQ， EF平面 PCD， AQ平面 PCD， PD? 平面 PCD， AQ PD， Q 是 PD的中點， AP=AD= AQ平面 PCD，CD? 平面 PCD， AQ CD，又 ADCD，又 AQAD=A， CD平面 PAD CD PA，又 BD PA，CDBD=D， PA平面 ABCD故三棱錐 DACE的體積為高中數學10如圖，四邊形 ABCD為菱形， G 為 AC與 BD 的交點， BE平面 ABCD（ ）證明：平面 AEC平面 BED；（ ）若 ABC=120°， AEEC，三棱錐 EACD的體積為，求該三棱錐的側面積【解答】 證明：（ ）四邊形 ABCD為菱形， ACB

20、D， BE平面 ABCD， ACBE，則 AC平面 BED， AC? 平面 AEC，平面 AEC平面 BED；解：（ ）設 AB=x，在菱形 ABCD中，由 ABC=120°，得 AG=GC= x，GB=GD= ， BE平面 ABCD， BEBG，則 EBG為直角三角形， EG= AC=AG= x，則 BE= x，三棱錐 EACD的體積 V= ，解得 x=2，即 AB=2， ABC=120°，2222AB?BCcosABC=4+42×=12， AC=AB +BC即 AC=，在三個直角三角形EBA， EBG，EBC中，斜邊 AE=EC=ED， AEEC， EAC為等腰三角形，則 AE2+EC2=AC2=12，即 2AE2 =12，高中數學 AE2=6，則AE= ，從而得 AE=EC=ED= ， EAC的面積 S=3，在等腰三角形