2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（解析版）

1、第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)高考預(yù)測(cè)一：根據(jù)解析式研究三角函數(shù)的性質(zhì) 類(lèi)型一 化為形式1已知向量，向量，設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）求在，上的最大值與最小值；（3）若，且，；求的值域【解析】解：向量，向量，函數(shù)；（1）；（2），；，；當(dāng)即時(shí)，取最小值：；當(dāng)即時(shí)，取最大值：（3）令，由（2）可得，；所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在，上的值域；又因?yàn)闀r(shí)，取最小值；時(shí)，即的值域?yàn)椋海?已知函數(shù)（1）求的值；（2）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間【解析】解：（1），則（2）的最小正周期為令，得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，3已知函數(shù)（1）求的定義域與最小正周期及對(duì)稱(chēng)軸；（2）求函數(shù)在上的值域；（3）討論在區(qū)間上的單調(diào)

2、性【解析】解：（1），即函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，則函數(shù)的周期，對(duì)稱(chēng)軸為；（2），當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?；?）由，得，即函數(shù)的增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，此時(shí)，由，得，即函數(shù)的減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，減區(qū)間為，此時(shí)，即在區(qū)間上，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為4已知函數(shù)（1）求的值；（2）求的最大值和最小值，并求當(dāng)取何值時(shí)，取得最大值【解析】解：（1）（2），當(dāng)時(shí)，的最大值是6；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值是且當(dāng)即時(shí)，取得最大值類(lèi)型二：二次函數(shù)型5設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，用表示的最大值（a）；（2）當(dāng)（a）時(shí)，求的值，并對(duì)此值求的最小值【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在取最大值，（a）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在取最大值，（a）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

3、在取最大值，（a）綜上所述（a）（2）（a）時(shí)，由（1）解得或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，6已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸方程；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】解：（1）由，函數(shù)的最小正周期為，由，得：，故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為：，（2）由得，當(dāng)，時(shí)，由圖象得，函數(shù)的最大值為，要使方程在，上有兩個(gè)不同的解，則在，上有兩個(gè)不同的解，即函數(shù)和在，上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即，即高考預(yù)測(cè)二：利用圖象和性質(zhì)求解析式類(lèi)型一：圖象型7已知函數(shù)，的一段圖象如圖所示，（1）求振幅和周期；（2）求函數(shù)的解析式；（3）求這個(gè)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間【解析】解：由圖象可知：振幅，周期，（2）由圖

4、象可知：，函數(shù)，又點(diǎn)，在圖象上，所求函數(shù)解析式為：（3）由，可得：，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，8已知函數(shù)的圖象如圖所示（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，設(shè)，求函數(shù)在，上的最大值【解析】解：（1）由題意可得，最小正周期，則，由，又，可得，所以（2）由題意可知，所以，由于，可得：，可得：9已知函數(shù)（其中，的部分圖象如圖所示（1）求，的值；（2）已知在函數(shù)圖象上的三點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，1，3，求的值【解析】解：（1）由圖知，（1分）的最小正周期，所以由，得（4分）又且，所以，解得（7分）（2）因?yàn)?，?），（3），所以，設(shè)，（9分）在等腰三角形中，設(shè)，則（11分）所以（1

5、3分）類(lèi)型二：性質(zhì)型10設(shè)，其中（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）若在區(qū)間，上為增函數(shù)，求的最大值【解析】解：（1），其中化簡(jiǎn)可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：的值域的值域?yàn)椋?）由（1）可得解得：，故得函數(shù)的增區(qū)間為：，在區(qū)間，上為增函數(shù)，故：且，解得：且，當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)故得的最大值為11設(shè)函數(shù)，且圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心到離它最近的對(duì)稱(chēng)軸的距離為（1）求的值；（2）求在區(qū)間，上的最大值和最小值，并求取得最大值與最小值時(shí)相應(yīng)的的值【解析】解：（1） （2分），（4分）因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心到最近的對(duì)稱(chēng)軸的距離為，可得周期，又，因此（6分）（2）由（1）知，（7分）當(dāng)時(shí)，（8分）故

6、在區(qū)間，上最大值和最小值分別為，（10分）當(dāng)，即時(shí)，取最大值（11分），取最小值（12分）12已知函數(shù)，是上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間，上是單調(diào)函數(shù)，（1）求和的值；（2）已知對(duì)任意函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，試求：【解析】解：（1）解：由是偶函數(shù)，得，即，所以，對(duì)任意都成立，且，所以得依題設(shè)，所以解得，由的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得，取，得，又，得，1，2，3，1，2，當(dāng)時(shí)，在，上是減函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在，上是減函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在，上不是單調(diào)函數(shù)；所以，綜合得或2（2）由（1）得，又對(duì)任意函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，由題意可得函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即有，從而解得：或，即是整數(shù)，由（1）可得，高考預(yù)測(cè)三

7、：圖象變換13已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)如下變換得到：先將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度（1）求函數(shù)的解析式，并求其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；（2）已知關(guān)于的方程在，內(nèi)有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；請(qǐng)用的式子表示【解析】解：（1）將的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，故，從而函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為（2）（其中，依題意，在區(qū)間，內(nèi)有兩個(gè)不同的解，當(dāng)且僅當(dāng)，故的取值范圍是，因?yàn)椋欠匠淘趨^(qū)間，內(nèi)的兩個(gè)不同的解，所以，當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；所以14設(shè)函數(shù)，其中，已知（1）求的最小

8、正周期；（2）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將整個(gè)圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間，上的最小值【解析】解：（1）函數(shù)，又，解得，又，的最小正周期；（2）由（1）知，將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象，函數(shù)；當(dāng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值是15某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)，在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：0050（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出函數(shù)的解析式；（2）將圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象若圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，求的最小值【解析】解：（1）根

9、據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得，數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：00500且函數(shù)表達(dá)式為，（2）由（1）知，得因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，（7分）令，解得，由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，成中心對(duì)稱(chēng)，令，解得，由可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值預(yù)測(cè)四：與平面向量結(jié)合16設(shè)向量，（1）若，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間【解析】解：（1）根據(jù)可知，即，所以，又，故（2）； 最小正周期為， 由，解得，故單調(diào)遞增區(qū)間為17設(shè)向量（）若，求的值；（）設(shè)函數(shù)，求的最大值及取得最大值時(shí)的值【解析】解：，且，可得，等式兩邊約去，得，因此，可得；，可得，當(dāng)即時(shí)，有最大值為1，由此可得：的最大值為，相應(yīng)的值為18已知向量，函數(shù)的最大值為6（1）求的值及函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程和對(duì)稱(chēng)中心坐