2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第八章 8.3點、直線、平面的關系-教師版

1、 第1課時進門測判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)如果兩個不重合的平面，有一條公共直線a，就說平面，相交，并記作a.()(2)兩個平面，有一個公共點a，就說，相交于過a點的任意一條直線(×)(3)兩個平面abc與dbc相交于線段bc.(×)(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面()(5)沒有公共點的兩條直線是異面直線(×)作業(yè)檢查階段知識點梳理1四個公理公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的

2、公共直線公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行2直線與直線的位置關系(1)位置關系的分類(2)異面直線所成的角定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點o作直線aa，bb，把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：.3直線與平面的位置關系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況4平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況5等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補第2課時階段訓練題型一平面基本性質的應用例1(1)(2016·山東)已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的

3、()a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件答案a解析若直線a和直線b相交，則平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交，故選a.(2)已知，空間四邊形abcd(如圖所示)，e、f分別是ab、ad的中點，g、h分別是bc、cd上的點，且cgbc，chdc.求證：e、f、g、h四點共面；三直線fh、eg、ac共點證明連接ef、gh，如圖所示，e、f分別是ab、ad的中點，efbd.又cgbc，chdc，ghbd，efgh，e、f、g、h四點共面易知fh與直線ac不平行，但共面，設fhacm，m平面efhg，m平面abc.又平面efhg平面

4、abceg，meg，fh、eg、ac共點思維升華共面、共線、共點問題的證明(1)證明點或線共面問題的兩種方法：首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合(2)證明點共線問題的兩種方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；直接證明這些點都在同一條特定直線上(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點如圖，正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是ab和aa1的中點求證： (1)e、c、d1、f四點共面；(2)ce，d1f，da三線共點證明(1)如圖

5、，連接ef，cd1，a1b.e，f分別是ab，aa1的中點，efa1b.又a1bd1c，efcd1，e、c、d1、f四點共面(2)efcd1，ef<cd1，ce與d1f必相交，設交點為p，如圖所示則由pce，ce平面abcd，得p平面abcd.同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，p直線da.ce，d1f，da三線共點題型二判斷空間兩直線的位置關系例2(1)(2015·廣東)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()al與l1，l2都不相交bl與l1，l2都相交cl至多與l1，l2中的一條相交dl至

6、少與l1，l2中的一條相交(2) 如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別是bc1，cd1的中點，則下列判斷錯誤的是()amn與cc1垂直bmn與ac垂直cmn與bd平行dmn與a1b1平行(3)在圖中，g、n、m、h分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線gh、mn是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號)答案(1)d(2)d(3)解析(1)若l與l1，l2都不相交，則ll1，ll2，l1l2，這與l1和l2異面矛盾，l至少與l1，l2中的一條相交(2) 連接b1c，b1d1，如圖所示，則點m是b1c的中點，mn是b1cd1的中位線，mnb1

7、d1，又bdb1d1，mnbd.cc1b1d1，acb1d1，mncc1，mnac.又a1b1與b1d1相交，mn與a1b1不平行，故選d.(3)圖中，直線ghmn；圖中，g、h、n三點共面，但m平面ghn，因此直線gh與mn異面；圖中，連接mg，gmhn，因此gh與mn共面；圖中，g、m、n共面，但h平面gmn，因此gh與mn異面所以圖中gh與mn異面思維升華空間中兩直線位置關系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質、公理4及線面平行與面面平行的性質定理；對于垂直關系，往往利用線面垂直的性質來解決(1)已知a，b

8、，c為三條不重合的直線，有下列結論：若ab，ac，則bc；若ab，ac，則bc；若ab，bc，則ac.其中正確的個數(shù)為()a0 b1 c2 d3(2)(2016·南昌一模)已知a、b、c是相異直線，、是相異平面，則下列命題中正確的是()aa與b異面，b與c異面a與c異面ba與b相交，b與c相交a與c相交c，da，b，與相交a與b相交答案(1)b(2)c解析(1)在空間中，若ab，ac，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以錯，顯然成立(2)如圖(1)，在正方體中，a、b、c是三條棱所在直線，滿足a與b異面，b與c異面，但aca，故a錯誤；在圖(2)的正方體中，滿足a與b相交，

9、b與c相交，但a與c不相交，故b錯誤；如圖(3)，c，ac，則a與b不相交，故d錯誤題型三求兩條異面直線所成的角例3(2016·重慶模擬) 如圖，四邊形abcd和adpq均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線ap與bd所成的角為_答案解析如圖，將原圖補成正方體abcdqghp，連接gp，則gpbd，所以apg為異面直線ap與bd所成的角，在agp中，aggpap，所以apg.引申探究在本例條件下，若e，f，m分別是ab，bc，pq的中點，異面直線em與af所成的角為，求cos 的值解設n為bf的中點，連接en，mn，則men是異面直線em與af所成的角或其補角不妨設正方形ab

10、cd和adpq的邊長為4，則en，em2，mn.在men中，由余弦定理得cosmen.即cos .思維升華用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角(2017·杭州第一次質檢) 如圖，abc是等腰直角三角形，abac，bcd90°，且bccd3.將abc沿bc邊翻折，設點a在平面bcd上的射影為點m，若點m在bcd的內(nèi)部(含邊界)，則點m的軌跡的最大長度等于_；在翻折過

11、程中，當點m位于線段bd上時，直線ab和cd所成的角的余弦值等于_答案解析當平面abc平面bcd時，點a在平面bcd上的射影為bc的中點m，當點a在平面bcd上的射影m在bd上時，因為abac，所以bmmc，因為bccd3，所以dbc30°，所以由bcd90°得bmmd，點m的軌跡的最大長度等于cd，將其補為四棱錐，所以ab，ae，又因為eba為直線ab和cd所成的角，所以coseba.18構造模型判斷空間線面位置關系典例已知m，n是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，有下列四個命題：若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，則mn.其中所有正確的

12、命題是_(填序號)思想方法指導本題可通過構造模型法完成，構造法實質上是結合題意構造符合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導致解題錯誤對于線面、面面平行、垂直的位置關系的判定，可構造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷解析借助于長方體模型來解決本題，對于，可以得到平面、互相垂直，如圖(1)所示，故正確；對于，平面、可能垂直，如圖(2)所示，故不正確；對于，平面、可能垂直，如圖(3)所示，故不正確；對于，由m，可得m，因為n，所以過n作平面，且g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因為mg，所以mn，故正確答案第3課時階段重難點梳理1.唯一性定理

13、(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直2.異面直線的判定定理經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線 重點題型訓練1設a，b是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，a，b，則“”是“ab”的()a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件答案a解析若a，b，則由，bb，又a，所以ab；若ab，a，b，則b或b或b，此時或與相交，所以“”是“ab”的充分不必要條件，故選a.2(2016·福州質檢)在

14、三棱柱abca1b1c1中，e、f分別為棱aa1、cc1的中點，則在空間中與直線a1b1、ef、bc都相交的直線()a不存在 b有且只有兩條c有且只有三條 d有無數(shù)條答案d解析在ef上任意取一點m，直線a1b1與m確定一個平面，這個平面與bc有且僅有1個交點n，當m的位置不同時確定不同的平面，從而與bc有不同的交點n，而直線mn與a1b1、ef、bc分別有交點p、m、n，如圖，故有無數(shù)條直線與直線a1b1、ef、bc都相交3對于任意的直線l與平面，在平面內(nèi)必有直線m，使m與l()a平行 b相交c垂直 d互為異面直線答案c解析不論l，l，還是l與相交，內(nèi)都有直線m使得ml.4在四面體abcd的棱

15、ab，bc，cd，da上分別取e，f，g，h四點，如果ef與hg交于點m，則()am一定在直線ac上bm一定在直線bd上cm可能在ac上，也可能在bd上dm既不在ac上，也不在bd上答案a解析由于efhgm，且ef平面abc，hg平面acd，所以點m為平面abc與平面acd的一個公共點，而這兩個平面的交線為ac，所以點m一定在直線ac上，故選a.5設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是()a(0，) b(0，)c(1，) d(1，)答案a解析此題相當于一個正方形沿著對角線折成一個四面體，長為a的棱長一定大于0且小于.故選a.6(2016&#

16、183;寧波二模)下列命題中，正確的是()a若a，b是兩條直線，是兩個平面，且a，b，則a，b是異面直線b若a，b是兩條直線，且ab，則直線a平行于經(jīng)過直線b的所有平面c若直線a與平面不平行，則此直線與平面內(nèi)的所有直線都不平行d若直線a平面，點p，則平面內(nèi)經(jīng)過點p且與直線a平行的直線有且只有一條答案d解析對于a，當，a，b分別為第三個平面與，的交線時，由面面平行的性質可知ab，故a錯誤對于b，設a，b確定的平面為，顯然a，故b錯誤對于c，當a時，直線a與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都平行，故c錯誤易知d正確故選d.7(2016·昆明模擬)若兩條異面直線所成的角為60°，則稱這對異面直

17、線為“黃金異面直線對”，在連接正方體各頂點的所有直線中，“黃金異面直線對”共有_對答案24解析如圖，若要出現(xiàn)所成角為60°的異面直線，則直線需為面對角線，以ac為例，與之構成黃金異面直線對的直線有4條，分別是ab，bc，ad，cd，正方形的面對角線有12條，所以所求的“黃金異面直線對”共有24對(每一對被計算兩次，所以要除以2)8(2016·南昌高三期末) 如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，底面為直角三角形acb90°，ac6，bccc1，p是bc1上一動點，則cppa1的最小值為_答案5解析連接a1b，將a1bc1與cbc1同時展開形成一個平面四邊形a1bc

18、c1，則此時對角線cppa1a1c達到最小，在等腰直角三角形bcc1中，bc12，cc1b45°，在a1bc1中，a1b2，a1c16，bc12，a1cbca1b2，即a1c1b90°.對于展開形成的四邊形a1bcc1，在a1c1c中，c1c，a1c16，a1c1c135°，由余弦定理有，cppa1a1c5.9. 如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，g、h、m、n分別為de、be、ef、ec的中點，在這個正四面體中，gh與ef平行；bd與mn為異面直線；gh與mn成60°角；de與mn垂直以上四個命題中，正確命題的序號是_答案解析把正四面體的

19、平面展開圖還原，如圖所示，gh與ef為異面直線，bd與mn為異面直線，gh與mn成60°角，demn.10(2015·浙江)如圖，三棱錐abcd中，abacbdcd3，adbc2，點m，n分別是ad，bc的中點，則異面直線an，cm所成的角的余弦值是_答案解析如圖所示，連接dn，取線段dn的中點k，連接mk，ck.m為ad的中點，mkan，kmc為異面直線an，cm所成的角abacbdcd3，adbc2，n為bc的中點，由勾股定理求得andncm2，mk.在rtckn中，ck.在ckm中，由余弦定理，得coskmc.*11.(2016·鄭州質量預測) 如圖，矩形a

20、bcd中，ab2ad，e為邊ab的中點，將ade沿直線de翻折成a1de.若m為線段a1c的中點，則在ade翻折過程中，下面四個命題中不正確的是_bm是定值；點m在某個球面上運動；存在某個位置，使dea1c；存在某個位置，使mb平面a1de.答案解析取dc中點f，連接mf，bf，mfa1d且mfa1d，fbed且fbed，所以mfba1de.由余弦定理可得mb2mf2fb22mf·fb·cosmfb是定值，所以m是在以b為圓心，mb為半徑的球上，可得正確；由mfa1d與fbed可得平面mbf平面a1de，可得正確；a1c在平面abcd中的投影與ac重合，ac與de不垂直，可

21、得不正確12. 如圖所示，等腰直角三角形abc中，a90°，bc，daac，daab，若da1，且e為da的中點求異面直線be與cd所成角的余弦值解如圖所示，取ac的中點f，連接ef，bf，在acd中，e、f分別是ad、ac的中點，efcd.bef或其補角即為異面直線be與cd所成的角在rteab中，abac1，aead，be.在rteaf中，afac，ae，ef.在rtbaf中，ab1，af，bf.在等腰三角形ebf中，cosfeb.異面直線be與cd所成角的余弦值為.*13.已知正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別為d1c1，c1b1的中點，acbdp，a1c1efq.求證：(1)d、b、f、e四點共面；(2)若a1c交平面dbfe于r點，則p，q，r三點共線證明(1) 如圖所示，因為ef是d1b1c1的中位線，所以efb1d1.在正方體abcda1b1c1d1中，b1d1