2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第九章 9.7拋物線-學生版

1、 拋物線知識梳理1拋物線的概念平面內與一個定點f和一條定直線l(l不經過點f)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線點f叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線2拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py (p>0)p的幾何意義：焦點f到準線l的距離圖形頂點o(0,0)對稱軸y0x0焦點ffff離心率e1準線方程xxyy范圍x0，yrx0，yry0，xry0，xr開口方向向右向左向上向下【知識拓展】1拋物線y22px (p>0)上一點p(x0，y0)到焦點f的距離|pf|x0，也稱為拋物線的焦半徑2y2ax的焦

2、點坐標為，準線方程為x.3設ab是過拋物線y22px(p>0)焦點f的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長|ab|x1x2p(為弦ab的傾斜角)(3)以弦ab為直徑的圓與準線相切(4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點最短的弦例題解析題型一 基礎【例1】判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)平面內與一個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是(，0)，準線方程是x.()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對

3、稱圖形()(4)ab為拋物線y22px(p>0)的過焦點f(，0)的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長|ab|x1x2p.()【例2】1拋物線y24x的焦點坐標是()a(0,2) b(0,1)c(2,0) d(1,0)2過拋物線y24x的焦點的直線l交拋物線于p(x1，y1)，q(x2，y2)兩點，如果x1x26，則|pq|等于()a9 b8 c7 d63設拋物線y28x的準線與x軸交于點q，若過點q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是()a. b2,2c1,1 d4,44已知拋物線y22px(p>0)的準線與圓x2y26x70

4、相切，則p的值為_題型二拋物線的定義及應用【例3】(1)已知f是拋物線y2x的焦點，a，b是該拋物線上的兩點，|af|bf|3，則線段ab的中點到y(tǒng)軸的距離為()a. b1 c. d.(2)設p是拋物線y24x上的一個動點，若b(3,2)，則|pb|pf|的最小值為_【同步練習】1若將本例(2)中的b點坐標改為(3,4)，試求|pb|pf|的最小值2若將本例(2)中的條件改為：已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy50，在拋物線上有一動點p到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1d2的最小值3、設p是拋物線y24x上的一個動點，則點p到點a(1,1)的距離與點p到直線x1的距離之

5、和的最小值為_題型三拋物線的標準方程和幾何性質命題點1求拋物線的標準方程【例4】已知雙曲線c1：1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線c2：x22py(p>0)的焦點到雙曲線c1的漸近線的距離為2，則拋物線c2的方程為()ax2y bx2ycx28y dx216y命題點2拋物線的幾何性質【例5】已知拋物線y22px(p>0)的焦點為f，a(x1，y1)，b(x2，y2)是過f的直線與拋物線的兩個交點，求證：(1)y1y2p2，x1x2；(2)為定值；(3)以ab為直徑的圓與拋物線的準線相切思維升華(1)求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置、開

6、口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程(2)在解決與拋物線的性質有關的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此【同步練習】(1)以拋物線c的頂點為圓心的圓交c于a，b兩點，交c的準線于d，e兩點已知|ab|4，|de|2，則c的焦點到準線的距離為()a2 b4 c6 d8(2)拋物線y22px(p>0)的焦點為f，已知點a、b為拋物線上的兩個動點，且滿足afb120°.過弦ab的中點m作拋物線準線的垂線mn，垂足為n，則的最大值為()a. b1 c. d2題型四

7、直線與拋物線的綜合問題命題點1直線與拋物線的交點問題【例6】已知拋物線c：y28x與點m(2,2)，過c的焦點且斜率為k的直線與c交于a、b兩點若·0，則k_.命題點2與拋物線弦的中點有關的問題【例7】已知拋物線c：y22x的焦點為f，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交c于a，b兩點，交c的準線于p，q兩點(1)若f在線段ab上，r是pq的中點，證明：arfq；(2)若pqf的面積是abf的面積的兩倍，求ab中點的軌跡方程思維升華(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點若過

8、拋物線的焦點，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”、“整體代入”等解法提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解【同步練習】1、已知拋物線y24x的焦點為f，直線l過點m(4,0)(1)若點f到直線l的距離為，求直線l的斜率；(2)設a，b為拋物線上兩點，且ab不垂直于x軸，若線段ab的垂直平分線恰過點m，求2、已知拋物線c：ymx2(m>0)，焦點為f，直線2xy20交拋物線c于a，b兩點，p是線段ab的中點，過p作x軸的垂線交拋物線c于點q.(1)求拋物線c的焦點坐

9、標；(2)若拋物線c上有一點r(xr ,2)到焦點f的距離為3，求此時m的值；(3)是否存在實數(shù)m，使abq是以q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由解決直線與圓錐曲線的位置關系的一般步驟第一步：聯(lián)立方程，得關于x或y的一元二次方程；第二步：寫出根與系數(shù)的關系，并求出>0時參數(shù)范圍(或指出直線過曲線內一點)；第三步：根據(jù)題目要求列出關于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的關系式，求得結果；第四步：反思回顧，查看有無忽略特殊情況.課后練習1若拋物線yax2的焦點坐標是(0,1)，則a等于()a1 b. c2 d.2已知拋物線c的頂點是原點o，焦點f在x軸

10、的正半軸上，經過f的直線與拋物線c交于a、b兩點，如果·12，那么拋物線c的方程為()ax28y bx24ycy28x dy24x3已知拋物線y22px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于a、b兩點，若線段ab的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為()ax1 bx1 cx2 dx24已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點p到直線l1和l2的距離之和的最小值為()a. b. c3 d25過拋物線y28x的焦點f的直線交拋物線于a，b兩點，交拋物線的準線于點c，若|af|6，則的值為()a. b. c. d36.已知直線yk(x2)(k&g

11、t;0)與拋物線c：y28x相交于a，b兩點，f為c的焦點，若|fa|2|fb|，則k的值為()a. b. c. d.7設f為拋物線c：y23x的焦點，過f且傾斜角為30°的直線交c于a，b兩點，則|ab|_.8已知拋物線c：y22px(p>0)的準線為l，過m(1,0)且斜率為的直線與l相交于點a，與c的一個交點為b，若，則p_.9已知橢圓e的中心在坐標原點，離心率為，e的右焦點與拋物線c：y28x的焦點重合，a，b是c的準線與e的兩個交點，則|ab|_.10.設直線l與拋物線y24x相交于a，b兩點，與圓(x5)2y2r2(r>0)相切于點m，且m為線段ab的中點若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是_11已知過拋物線y22px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1<x2)兩點，且|ab|9.(1)求該拋物線的方程；(2)o為坐標原點，c為拋物線上一點，若，求的值12拋物線e：x22py(p>0)的焦點為f，以a(x1，y1)(x10)為直角頂點的等腰直角abc的三個頂點a，b，c均在拋物線e上(1)過q(0，3)作拋物線e的切線l，切點為r，點f到切線l的距離為2，求拋物線e的方程；(2)求abc面積的最小值13.如圖，由部分拋物線：y2mx