人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：統(tǒng)計_20210103224736

1、統(tǒng)計知識講解一、簡單的隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣1.簡單隨機(jī)抽樣定義：設(shè)一個總體有個個體，從中逐個不放回地抽取個個體作為樣本（），如果，每次抽取時，總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，稱這種抽樣方法為簡單隨機(jī)抽樣特點(diǎn)： 被抽樣的個體是有限個 它是從總體中逐個地進(jìn)行抽取 不放回地抽取 它每次抽取時，總體中各個個體有相同的可能性被抽到2.系統(tǒng)抽樣定義：當(dāng)總體元素個數(shù)很多時，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)定，從每一部分抽取一個個體得到所需的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣3.分層抽樣定義：當(dāng)總體由有明顯差別的幾部分組成時，按某種特征將總體中的個體分成互補(bǔ)交叉的層，然后按照一定的比例

2、從各層獨(dú)立的層中抽取一定數(shù)量的個體，將各抽取出來的個體和在一起作為樣本，這種抽樣的方法叫做分層抽樣4.三種抽樣方式的區(qū)別類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的可能性相同從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分和剔除部分抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成二、用樣本估計總體1.眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（若有兩個或幾個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)據(jù)出

3、現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認(rèn)為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)）在樣本的頻率直方圖中，就是最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)2.中位數(shù)：如果將一組數(shù)據(jù)重小到大的順序依次排列，當(dāng)數(shù)據(jù)有個奇數(shù)時，處在最中間的一個數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；當(dāng)這組數(shù)據(jù)有偶數(shù)個時，處在最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)頻率直方圖中，中位數(shù)左右兩邊的直方圖面積相等3.平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)所得的商就是平均數(shù)，平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖每個小矩形面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和4.樣本方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方有時代替標(biāo)準(zhǔn)差測量標(biāo)準(zhǔn)差的離散程度方差公式是： 5.樣本標(biāo)準(zhǔn)差：反應(yīng)樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用表示標(biāo)準(zhǔn)差的

4、公式是：，標(biāo)準(zhǔn)差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍三、變量間的相關(guān)關(guān)系1.函數(shù)關(guān)系定義：函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式，對于兩個變量，如果當(dāng)一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被唯一確定，則這兩個變量之間的關(guān)系就是一個函數(shù)關(guān)系2.相關(guān)關(guān)系定義：自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系3.正相關(guān)定義：從散點(diǎn)圖可以看出各點(diǎn)散步的位置是從左下角到右上角的區(qū)域，即一個變量的值由小變大時，另一個變量的值也由小變大，這種相關(guān)稱正相關(guān)4.負(fù)相關(guān)定義：如果兩個變量的散點(diǎn)圖中散步的位置是從左上角到右下角的區(qū)域，即一個變量的值由

5、大變小時，另一個變量值由小變大，這種相關(guān)稱負(fù)相關(guān)5.散點(diǎn)圖定義：在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形稱為散點(diǎn)圖6.回歸直線方程定義：如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布，從總體地上看大約在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線7.最小二乘法，其中，由此得到的直線就稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程其中，分別為，的估計值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值典型例題一選擇題（共1小題）1某班有50名學(xué)生，男女人數(shù)不等隨機(jī)詢問了該班5名男生和5名女生的某次數(shù)學(xué)測試成績，用莖葉圖記錄如下：則下列說法一定正確的是（）a這種抽樣方法是一種分層抽樣b這5名

6、男生成績的中位數(shù)大于5名女生成績的中位數(shù)c該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)d這5名男生成績的標(biāo)準(zhǔn)差大于5名女生成績的標(biāo)準(zhǔn)差【解答】解：根據(jù)抽樣方法的特點(diǎn)，抽樣比例不等，不是分層抽樣，a錯誤；這5名男生的中位數(shù)是90，小于女生成績的中位數(shù)是93，b錯誤；無法判斷該班男生成績的平均數(shù)與該班女生成績的平均數(shù)大小，c錯誤；根據(jù)公式，求得五名男生成績的方差為s12=15×（8690）2+（8890）2+（9090）2+（9290）2+（9490）2=8，標(biāo)準(zhǔn)差為s1=22；五名女生成績的方差為s22=15×（8891）2×2+（9391）2×3=6，標(biāo)

7、準(zhǔn)差為s2=6；這五名男生成績的標(biāo)準(zhǔn)差大于這五名女生成績的標(biāo)準(zhǔn)差，d正確故選：d二填空題（共3小題）2甲同學(xué)在“附中好聲音“歌唱選拔賽中，5位評委評分情況分別為76，77，88，90，94，則甲同學(xué)得分的方差為52【解答】解：根據(jù)題意，5位評委評分情況分別為76，77，88，90，94，其平均數(shù)x=76+77+88+90+945=85；則其方差s2=15（7685）2+（7785）2+（8885）2+（9085）2+（9485）2=52；故答案為：523某班運(yùn)動隊由足球隊員18人、籃球運(yùn)動員12人、乒乓球運(yùn)動員6人組成（每人只參加一項(xiàng)），現(xiàn)從這些運(yùn)動員中抽取一個容量為n的樣本，若分別采用系統(tǒng)抽

8、樣和分層抽樣法，則都不用剔除個體；當(dāng)樣本容量為n+1時，若采用系統(tǒng)抽樣法，則需要剔除1個個體，那么樣本容量n為6【解答】解：由題意知采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，不用剔除個體；如果樣本容量增加一個，則在采用系統(tǒng)抽樣時，需要在總體中先剔除1個個體，總體容量為6+12+18=36當(dāng)樣本容量是n時，由題意知，系統(tǒng)抽樣的間隔為36n，分層抽樣的比例是n36，抽取的乒乓球運(yùn)動員人數(shù)為n366=n6，籃球運(yùn)動員人數(shù)為n3612=n3，足球運(yùn)動員人數(shù)為n3618=n2，n應(yīng)是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，即n=6，12，18當(dāng)樣本容量為（n+1）時，總體容量是35人，系統(tǒng)抽樣的間隔為35n+1，35n+1必須是整

9、數(shù)，n只能取6即樣本容量n=6故答案為：64已知某種商品的廣告費(fèi)支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040506070根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a，其中b=7，據(jù)此估計，當(dāng)投入10萬元廣告費(fèi)時，銷售額為85萬元；【解答】解：由題意可得：x=2+4+5+6+85=5，y=30+40+50+60+705=50，線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，則：50=7×5+a，a=15，線性回歸方程為：y=7x+15，據(jù)此估計，當(dāng)投入10萬元廣告費(fèi)時，銷售額為y=7×10+15=85 萬元故答案為：85三解答題（共8小題）5為了解春季晝夜溫差大小與種

10、子發(fā)芽多少之間的關(guān)系，現(xiàn)從4月的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如表格：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日溫差x/°c101113128發(fā)芽數(shù)y/顆2325302616（1）從這5天中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；（2）從這5天中任選2天，若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)這5天中的另三天的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a參考公式：b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=ybx【解答】解：（1）用數(shù)組（m，n）表示選出2

11、天的發(fā)芽情況，m，n的所有取值情況有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10個設(shè)“m，n均不小于25”為事件a，則包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26），所以p（a）=310，即事件a的概率為310；（2）由表中數(shù)據(jù)得，x=13×（11+13+12）=12，y=13×（25+30+26）=27，且3xy=972，i=13xiyi=977，i=13xi2=434，3x2=432；由公式得b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi

12、2-nx2=977-972434-432=52，a=ybx=2752×12=3，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=52x36哈市某單位為了提高員工的業(yè)務(wù)水平，舉辦了一次“崗位技能”大賽，從參賽的青年技師（35歲及35歲以下的技師）和中老年技師（35歲以上的技師）的成績中各抽取20個進(jìn)行研究，滿分為100分，且均保留到小數(shù)點(diǎn)后一位，如95.3具體成績?nèi)缜o葉圖所示（以成績的整數(shù)部分為莖，小數(shù)部分為葉），并將這40個成績分成四組，第一組95，96）；第二組96，97）；第三組97，98）；第四組98，99）（）根據(jù)以上數(shù)據(jù)寫出抽取的20名青年技師的中位數(shù)，并補(bǔ)全上面的頻率分布直方圖；（）從成

13、績在95，97）之間的技師中隨機(jī)抽取2個，求其中2人成績在95，96）之間的概率；（）研究發(fā)現(xiàn)從業(yè)時間與崗位技能水平之間具有線性相關(guān)關(guān)系，從上述抽取的40名技師中抽取5名技師的成績，數(shù)據(jù)如表其中，x=15，y=97.1用最小二乘法求得的回歸方程為y=0.16x+a，請完成下表根據(jù)下表判斷該線性回歸模型對該組數(shù)據(jù)的擬合效果（通常相關(guān)指數(shù)r20.80）時認(rèn)為線性回歸模型對該組數(shù)據(jù)是有效的） 教齡x年5101525成績y分95.296.497.898.5殘差e0.30.10.2附：r2=1i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2【解答】解：（）從小到大排列第10個和第11個的成績分別為97.2

14、、97.4，計算它們的中位數(shù)為12×（97.2+97.4）=97.3，補(bǔ)全頻率分布直方圖，如圖所示；（）設(shè)所求事件為a，由已知成績在95，97）之間的技師有12人，成績在95，96）之間的技師有4人，從中任取2人，所求的概率為p=c42c122=111；（）根據(jù)x=15，y=97.1，代入回歸方程y=0.16x+a中，求得a=97.10.16×15=94.7，y=0.16x+94.7，完成下表，教齡x年510152025成績y分95.296.497.697.898.5殘差e0.30.10.50.10.2計算相關(guān)指數(shù)r2=1i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)210.

15、06=0.940.8；所以認(rèn)為線性回歸模型對該組數(shù)據(jù)是有效的7甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產(chǎn)品推銷員，日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪80元，每銷售一件產(chǎn)品提成1元；乙公司規(guī)定底薪120元，日銷售量不超過45件沒有提成，超過45件的部分每件提成8元（i）請將兩家公司各一名推銷員的日工資y（單位：元）分別表示為日銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；（ii）從兩家公司各隨機(jī)選取一名推銷員，對他們過去100天的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下條形圖若將該頻率視為概率，分別求甲、乙兩家公司一名推銷員的日工資超過125元的概率【解答】解：（i）由題意得，甲公司一名推銷員的日工資y（單位：元） 與銷售件數(shù)n的關(guān)系式為：y=

16、80+n，nn乙公司一名推銷員的日工資y（單位：元） 與銷售件數(shù)n的關(guān)系式為：y=&120，(n45，nn)&8n-240，(n45，nn)（）甲公司一名推銷員的日工資超過125 元，則80+n125，解得n45，甲公司一名推銷員的日工資超過125 元的概率p1=0.2+0.1+0.1=0.4乙公司一名推銷員的日工資超過125 元，則8n240125，解得n45，乙公司一名推銷員的日工資超過125 元的概率p2=0.3+0.4+0.1=0.8，甲、乙兩家公司一名推銷員的日工資超過125 元的概率分別為0.4 與0.88隨著科技發(fā)展，手機(jī)成了人們?nèi)粘Ｉ钪斜夭豢缮俚耐ㄐ殴ぞ撸F(xiàn)在

17、的中學(xué)生幾乎都擁有了屬于自己的手機(jī)了為了調(diào)查某地區(qū)高中生一周使用手機(jī)的頻率，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100名高中生某一周使用手機(jī)的時間（單位：小時），所取樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為0，2）、2，4）、4，6）、6，8）、8，10）、10，12）、12，14，由此得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求a的值并估計該地區(qū)高中生一周使用手機(jī)時間的平均值；（2）從使用手機(jī)時間在6，8）、8，10）、10，12）、12，14的四組學(xué)生中，用分層抽樣方法抽取13人，則每層各應(yīng)抽取多少人？【解答】解：（1）由于小矩形的面積之和為1，則（a+0.075+4a+0.15+5a+0.05+0.025）×2=1，由此

18、可得a=0.02該地區(qū)高中生一周使用手機(jī)時間的平均值為（1×0.02+3×0.075+5×0.08+7×0.15+9×0.1+11×0.05+13×0.025）×2=6.94（2）使用手機(jī)時間在6，8）的學(xué)生有0.15×2×100=30人，使用手機(jī)時間在8，10）的學(xué)生有0.02×5×2×100=20人，使用手機(jī)時間在10，12）的學(xué)生有0.05×2×100=10人，使用手機(jī)時間在12，14的學(xué)生有0.025×2×100=5人

19、，故用分層抽樣法從使用手機(jī)時間在6，8），8，10），10，12），12，14的四組學(xué)生中抽樣，抽取人數(shù)分別為13×3030+20+10+5=6，13×2030+20+10+5=4，13×1030+20+10+5=2，13×530+20+10+5=19為了鼓勵市民節(jié)約用電，某市實(shí)行“階梯式”電價，將每戶居民的月用電量分為二檔，月用電量不超過200度的部分按0.5元/度收費(fèi)，超過200度的部分按0.8元/度收費(fèi)某小區(qū)共有居民1000戶，為了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年7月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖（）求a的

20、值；（）試估計該小區(qū)今年7月份用電費(fèi)用不超過260元的戶數(shù)；（）估計7月份該市居民用戶的平均用電費(fèi)用（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）【解答】解：（）由頻率分布直方圖得：（0.003+0.004+a+0.001）×100=1，解得a=0.002（3分）（）當(dāng)用電量為400度時，用電費(fèi)用為200×0.5+200×0.8=260元，所以此100戶居民中用電費(fèi)用超過260元的戶數(shù)為0.0001×100×100=10戶，所以此100戶居民中用電費(fèi)用不超過260元的戶數(shù)為90戶，（7分）所以該小區(qū)1000戶居民中用電費(fèi)用不超過260元的戶數(shù)為90

21、0戶（8分）（）該市居民平均用電費(fèi)用為：（150×0.3+200×0.7）×0.5+（50×0.4+150×0.2+250×0.1）×0.8=152.5元（13分）10歷史數(shù)據(jù)顯示：某城市在每年的3月11日3月15日的每天平均氣溫只可能是5，6，7，8中的一個，且等可能出現(xiàn)（）求該城市在3月11日3月15日這5天中，恰好出現(xiàn)兩次5，一次8的概率；（）若該城市的某熱飲店，隨平均氣溫的變化所售熱飲杯數(shù)如表平均氣溫t5678所售杯數(shù)y19222427根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的線性回歸直線方程（參考公式：b=i=1n(ti-t)(y

22、i-y)i=1n(ti-t)2，a=ybt）【解答】解：（1）記事件a為“這5天中，恰好出現(xiàn)兩次5，一次8”，則p(a)=c52(14)2c31(14)(12)2=15128； （6分）（或p(a)=c52c312×245=15128也可）（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算t=-6.5，y=23；（8分）i=14(ti-t)(yi-y)=1.5×(-4)+0.5×(-1)+(-0.5)×1+(-1.5)×4=-13，i=14(ti-t)2=1.52+0.52+0.52+1.52=5，b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2=135，（1

23、0分）a=yb=23+135×（6.5）=6.1，（11分）y關(guān)于t的線性回歸直線方程為y=135x+6.1（12分）11某校組織的古典詩詞大賽中，高一一班、二班各有9名學(xué)生參加，得分情況如莖葉圖所示：該活動規(guī)定：學(xué)生成績、獲獎等次與班級量化管理加分情況如表 成績70，79）80，89）90，100獎次三二一加分123（i）在一班獲獎的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求能夠?yàn)榘嗉壛炕芾砑?分的概率；（）已知一班和二班學(xué)生的平均成績相同，求x的值，并比較哪個班的成績更穩(wěn)定【解答】（本題滿分為12分）解：（i）一班獲獎的學(xué)生共6位，隨機(jī)抽取2人的情況有：（77，82），（77，83），（77，86

24、），（77，93），（77，9x），（82，83），（82，86），（82，93），（82，9x），（83，86），（83，93），（83，9x），（86，93），（86，9x），（93，9x），共15種情形2分能夠?yàn)榘嗉壛炕芾砑?分的情形有：（77，93），（77，9x），（82，83），（82，86），（83，86）共5種情形4分所以，能夠?yàn)榘嗉壛炕芾砑?分的概率為515=136分（）由已知19（93+9x+82+83+86+77+67+68+69）=19（90+94+97+84+72+76+76+63+68），解得：x=57分一班成績的方差s12=19（132+152+22+32+62+32+132+122+112）=8869，9分二班成績的方差s22=19（102+142+172+42+82+42+42+172+122）=11309s12，11分故一班更穩(wěn)定12分12共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務(wù)，由于其依