2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第十二章 12.4不等式問題-教師版

1、 第1課時進(jìn)門測1若a，b，cr，且a>b，則下列不等式一定成立的是()aacbc b(ab)c20cac>bc d.>0答案b解析a項：當(dāng)c<0時，不等式acbc不一定成立；c項：c0時，acbc；d項：c0時，0；b項：a>bab>0，因?yàn)閏20，所以(ab)c20.故選b.2已知函數(shù)f(x)則不等式x(x1)f(x1)1的解集是()ax|1x1 bx|x1cx|x1 dx|1x1答案c解析由題意不等式x(x1)f(x1)1等價于或解不等式組得x<1；解不等式組得1x1.故原不等式的解集是x|x1，選c.3若實(shí)數(shù)x，y滿足則|x|y|的取值范圍是_

2、答案0,2解析|x|y|表示可行域內(nèi)一點(diǎn)到x，y軸的距離之和，作出不等式組表示的可行域，由可行域可知在(0,0)處取得最小值0，在(1，1)處取得最大值2，所以|x|y|0,24若關(guān)于x的方程x24x|a2|a1|0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案，解析由方程x24x|a2|a1|0有實(shí)根，可得424×1×(|a2|a1|)0，整理得|a2|a1|4.|a2|a1|代表數(shù)軸上的點(diǎn)a到2和1兩點(diǎn)的距離和，易知|a2|a1|4的取值范圍為，.作業(yè)檢查無第2課時階段訓(xùn)練題型一含參數(shù)不等式的解法例1解關(guān)于x的不等式ax222xax (ar)解原不等式可化為ax2(a2)x20(a

3、x2)(x1)0.當(dāng)a0時，原不等式化為x10x1.當(dāng)a>0時，原不等式化為(x1)0x或x1.當(dāng)a<0時，原不等式化為(x1)0.當(dāng)>1，即a<2時，解得1x；當(dāng)1，即a2時，解得x1；當(dāng)<1，即a>2，解得x1.綜上所述，當(dāng)a<2時，原不等式的解集為；當(dāng)a2時，原不等式的解集為1；當(dāng)2<a<0時，原不等式的解集為；當(dāng)a0時，原不等式的解集為(，1；當(dāng)a>0時，原不等式的解集為(，1.思維升華解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟(1)若二次項含有參數(shù)應(yīng)討論是否等于0，小于0，和大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式(2)判斷方程的

4、根的個數(shù)，討論判別式與0的關(guān)系(3)當(dāng)方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式(1)若0<a<1，則不等式(ax)(x)>0的解集是_(2)若關(guān)于x的不等式|x1|xm|>3的解集為r，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(1)(a，)(2)(，4)(2，)解析(1)原不等式即為(xa)(x)<0，由0<a<1得a<，a<x<.(2)依題意得，|x1|xm|(x1)(xm)|m1|，即函數(shù)y|x1|xm|的最小值是|m1|，于是有|m1|>3，m1<3或m1>3，由此解得m<4或m>2.因此實(shí)數(shù)m的取

5、值范圍是(，4)(2，)題型二線性規(guī)劃問題例2實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組 則z|x2y4|的最大值為_答案21解析方法一作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示z|x2y4|·，則幾何含義為陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到直線x2y40的距離的倍由得點(diǎn)b的坐標(biāo)為(7,9)，顯然，點(diǎn)b到直線x2y40的距離最大，此時zmax21.方法二由圖可知，陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)都在直線x2y40的上方，顯然此時有x2y4>0，于是目標(biāo)函數(shù)等價于zx2y4，即轉(zhuǎn)化為一般的線性規(guī)劃問題顯然，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)b時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，zmax21.思維升華對線性規(guī)劃問題的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，要找準(zhǔn)目標(biāo)函數(shù)及兩個變

6、量，準(zhǔn)確列出線性約束條件，然后尋求最優(yōu)解，最后回到實(shí)際問題(1)已知x，y滿足約束條件當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zaxby(a>0，b>0)在該約束條件下取到最小值2時，a2b2的最小值為()a5 b4c. d2(2)一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4噸，硝酸鹽18噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸，硝酸鹽15噸現(xiàn)庫存磷酸鹽10噸，硝酸鹽66噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料如果生產(chǎn)1車皮甲種肥料產(chǎn)生的利潤為10 000元，生產(chǎn)1車皮乙種肥料產(chǎn)生的利潤為5 000元，那么適當(dāng)安排生產(chǎn)，可產(chǎn)生的最大利潤是_元答案(1)b(2)30 000解析(1)

7、畫出滿足約束條件的可行域如圖所示，可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過直線xy10與2xy30的交點(diǎn)(2,1)時取得最小值，所以有2ab2.因?yàn)閍2b2表示原點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(a，b)的距離的平方，所以的最小值為原點(diǎn)到直線2ab20的距離，即()min2，所以a2b2的最小值是4，故選b.(2)設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮，生產(chǎn)乙種肥料y車皮，則z10 000x5 000y，約束條件為畫出可行域如圖所示，由圖可知，在d(2,2)處z有最大值，且zmax10 000×25 000×230 000(元)題型三基本不等式的應(yīng)用例3(1)在面積為定值9的扇形中，當(dāng)扇形的周長取得最小值時，扇形的半徑是()a3

8、b2c4 d5(2)已知a>0，b>0，c>1，且ab1，則(2)·c的最小值為_答案(1)a(2)42解析(1)設(shè)扇形的半徑為r，其弧長為l，由題意可得slr9，故lr18.扇形的周長c2rl2212，當(dāng)且僅當(dāng)2rl，即r3，l6時取等號(2)22 222，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，(2)·c2c2(c1)22 242，當(dāng)且僅當(dāng)2(c1)，即c1時，等號成立綜上，所求最小值為42.思維升華(1)應(yīng)用型問題解題時需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型(2)應(yīng)用基本不等式求最值要注意檢驗(yàn)等號成立的條件，不要忽視問題的實(shí)際意義(1)設(shè)x，y均為正實(shí)數(shù)，且1，

9、則xy的最小值為()a4 b4c9 d16(2)某棟樓的建筑成本由土地使用權(quán)費(fèi)和材料工程費(fèi)構(gòu)成，已知土地使用權(quán)費(fèi)為2 000元/m2；材料工程費(fèi)在建造第一層時為400元/m2，以后每增加一層費(fèi)用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面積的成本費(fèi)最低，則應(yīng)把樓盤的樓房設(shè)計成_層答案(1)d(2)10解析(1)由1可得xy8xy.x，y均為正實(shí)數(shù)，xy8xy82 (當(dāng)且僅當(dāng)xy時等號成立)，即xy280，解得4，即xy16，故xy的最小值為16.(2)設(shè)應(yīng)把樓房設(shè)計成x層，每層有面積y m2，則平均每平方米建筑面積的成本費(fèi)為k20x3802 380780，當(dāng)且僅當(dāng)20x，即x10時取等號，故應(yīng)把樓

10、房設(shè)計成10層題型四絕對值不等式例4設(shè)不等式|x1|x1|2的解集為m.(1)求集合m；(2)若xm，|y|，|z|，求證：|x2y3z|.(1)解x；1x1；x，綜上所述，不等式的解集即集合m為1,1(2)證明|x2y3z|x|2|y|3|z|12×3×，|x2y3z|.思維升華(1)解絕對值不等式可以利用絕對值的幾何意義，零點(diǎn)分段法、平方法、構(gòu)造函數(shù)法等(2)利用絕對值三角不等式可以證明不等式或求取值(1)已知函數(shù)f(x)|x5|x3|x3|x5|c，若存在正常數(shù)m，使f(m)0，則不等式f(x)<f(m)的解集是_(2)不等式|x2|x1|a對于任意xr恒成立，

11、則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案(1)(m，m)(2)(，3解析(1)由|x5|x3|x3|x5|x5|x3|x3|x5|可知，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)3x3，得f(x)的最小值為16c.結(jié)合題意可得c16.由f(m)0得f(x)<f(m)，即|x5|x3|x3|x5|c<0，結(jié)合圖形可知，解集為(m，m)(2)當(dāng)x(，1時，|x2|x1|2xx112x3；當(dāng)x(1,2)時，|x2|x1|2xx13；當(dāng)x2，)時，|x2|x1|x2x12x13，綜上可得|x2|x1|3，a3.第3課時階段重難點(diǎn)梳理1解關(guān)于x的不等式x2(2m)x2m<0.解原不等式可化為(x2)(xm)<0

12、.當(dāng)m>2時，不等式(x2)(xm)<0的解集為x|2<x<m；當(dāng)m<2時，不等式(x2)(xm)<0的解集為x|m<x<2；當(dāng)m2時，不等式(x2)(xm)<0的解集為.綜上所述：當(dāng)m>2時，不等式的解集為x|2<x<m；當(dāng)m<2時，不等式的解集為x|m<x<2；當(dāng)m2時，不等式的解集為.2已知函數(shù)f(x).(1)求f(x)f(4)的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)k(x3)，kr，若f(x)>g(x)對任意的xr都成立，求k的取值范圍解(1)f(x)|x3|x4|，f(x)f(4)，即|x3|x4|9

13、，或或解得x5或x4，f(x)f(4)的解集為x|x5或x4(2)f(x)>g(x)，即f(x)|x3|x4|的圖象恒在g(x)k(x3)圖象的上方，又f(x)|x3|x4|g(x)k(x3)的圖象恒過定點(diǎn)p(3,0)，作函數(shù)yf(x)，yg(x)的圖象如圖，其中kpb2，a(4,7)，kpa1，由圖可知，要使得f(x)的圖象恒在g(x)圖象的上方，則需1<k2，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(1,23某小型工廠安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，已知工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品每噸所需要的原材料a，b，c的數(shù)量和一周內(nèi)可用資源數(shù)量如下表所示：原材料甲(噸)乙(噸)資源數(shù)量(噸)a1150b40160c252

14、00如果甲產(chǎn)品每噸的利潤為300元，乙產(chǎn)品每噸的利潤為200元，那么應(yīng)如何安排生產(chǎn)，工廠每周才可獲得最大利潤？解設(shè)工廠一周內(nèi)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，所獲周利潤為z元依據(jù)題意，得目標(biāo)函數(shù)為z300x200y，約束條件為欲求目標(biāo)函數(shù)z300x200y100(3x2y)的最大值，先畫出約束條件的可行域，如圖中陰影部分所示，則點(diǎn)a(40,0)，b(40,10)，c(，)，d(0,40)作直線3x2y0，當(dāng)移動該直線過點(diǎn)b(40,10)時，3x2y取得最大值，則z300x200y取得最大值(也可通過代入凸多邊形端點(diǎn)進(jìn)行計算，比較大小求得)故zmax300×40200×1014

15、 000.所以工廠每周生產(chǎn)甲產(chǎn)品40噸，乙產(chǎn)品10噸時，才可獲得最大周利潤，最大利潤為14 000元4已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當(dāng)a2時，求不等式f(x)6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|2x1|.當(dāng)xr時，f(x)g(x)3，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a2時，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26，得1x3.因此f(x)6的解集為x|1x3(2)當(dāng)xr時，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，當(dāng)x時等號成立，所以當(dāng)xr時，f(x)g(x)3等價于|1a|a3.當(dāng)a1時，等價于1aa3，無解當(dāng)a1時，等價于a1a3，解得a2.所以a的取值范圍是2，)5已知a3，函數(shù)f(x)min2|x1|，x22ax4a2，其中minp，q(1)求使得等式f(x)x22ax4a2成立的x的取值范圍；(2)求f(x)的最小值m(a)；求f(x)在區(qū)間0,6上的最大值m(a)解(1)由于a3，故當(dāng)x1時，(x22ax4a2)2|x1|x22(