考點(diǎn)16 正、余弦定理及解三角形-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)（文）考點(diǎn)一遍過

1、考點(diǎn)16 正、余弦定理及解三角形1正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.2應(yīng)用能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.一、正弦定理1正弦定理在中，若角a，b，c對應(yīng)的三邊分別是a，b，c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即.正弦定理對任意三角形都成立2常見變形（1） （2） （3） （4）正弦定理的推廣：，其中為的外接圓的半徑.3解決的問題（1）已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角4在中，已知，和時，三角形解的情況二、余弦定理1余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平

2、方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即2余弦定理的推論從余弦定理，可以得到它的推論：.3解決的問題（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角4利用余弦定理解三角形的步驟三、解三角形的實(shí)際應(yīng)用1三角形的面積公式設(shè)的三邊為a，b，c，對應(yīng)的三個角分別為a，b，c，其面積為s.（1） (h為bc邊上的高)；（2）；（3）(為三角形的內(nèi)切圓半徑)2三角形的高的公式ha=bsinc=csinb，hb=csina=asinc，hc=asinb=bsina3測量中的術(shù)語（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖)

3、（2）方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如b點(diǎn)的方位角為(如圖)（3）方向角相對于某一正方向的水平角.北偏東，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(如圖)；北偏西，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向；南偏西等其他方向角類似（4）坡角與坡度坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角為坡角)；坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比4解三角形實(shí)際應(yīng)用題的步驟考向一 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求邊和角的方法：（1）根據(jù)題目給出的條件(即邊和角)作出相應(yīng)的圖形，并在圖形中標(biāo)出相關(guān)的位置（2）選擇正弦定理或余弦定理或二者結(jié)合求出待解問題一般地，如果式

4、子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.（3）在運(yùn)算求解過程中注意三角恒等變換與三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用常見結(jié)論：（1）三角形的內(nèi)角和定理：在中，其變式有：，等（2）三角形中的三角函數(shù)關(guān)系：； ； .典例1 在中，內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c，若bsin2a+3asinb=0，b=3c，則的值為a1 bc d【答案】d【解析】由bsin2a+3asinb=0，結(jié)合正弦定理，可得sinbsin2a+3sinasinb=0，即2sinbsinacosa+3sinasinb

5、=0，由于sinbsina0，所以cosa=-32，因?yàn)?a，所以a=56又b=3c，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosa=3c2+c2+3c2=7c2，即a2=7c2，所以ca=77.故選d典例2 已知的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,且asina+bsinb+2bsina=csinc.（1）求c；（2）若a=2,b=22,線段bc的垂直平分線交ab于點(diǎn)d,求cd的長.【解析】（1）因?yàn)閍sina+bsinb+2bsin a=csinc,所以a2+b2+2ab=c2.由余弦定理得cosc=a2+b2-c22ab =-22，又0<c<，所以c=34.（2）由（1）知

6、c=34,根據(jù)余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosc=22+(22)2-2×2×22×(-22)=20，所以c=25.由正弦定理得csinc=bsinb，即，解得sinb=55.從而.設(shè)bc的中垂線交bc于點(diǎn)e,因?yàn)樵谥校琧osb=bebd，所以，因?yàn)閐e為線段bc的中垂線，所以cd=bd=52.1已知的內(nèi)角的對邊分別為,且，則abcd2在中，是上的點(diǎn)，平分，.（1）求；（2）若，求的長考向二 三角形形狀的判斷利用正、余弦定理判定三角形形狀的兩種思路：（1）“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而

7、判斷三角形的形狀.（2）“邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角恒等變換，得出內(nèi)角間的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用這個結(jié)論提醒：在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免造成漏解.典例3 在中，角所對的邊分別是，滿足，且成等比數(shù)列.（1）求角的大小；（2）若,試判斷三角形的形狀.【解析】（1）已知,，,又,，即，而成等比數(shù)列，所以不是最大，故為銳角，所以.（2）由,得,利用正弦定理可得,又因?yàn)?所以,所以是等邊三角形.3在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知（1）求證：為等腰三角形；（2）若是鈍角三角形，且面積為，求

8、的值考向三 與面積、范圍有關(guān)的問題（1）求三角形面積的方法若三角形中已知一個角(角的大小，或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求夾這個角的兩邊或該兩邊之積，套公式求解若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵（2）三角形中，已知面積求邊、角的方法三角形面積公式中含有兩邊及其夾角，故根據(jù)題目的特點(diǎn)，若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解；若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解 典例4 在中，角a,b,c的對邊分別為a,b,c，且a=bcosc+csinb（1）求角b；（2）若b=22，

9、求面積的最大值【解析】（1）由已知和正弦定理得sina=sinbcosc+sincsinb，sina=sinb+c=sinbcosc+cosbsinc，sinb=cosb，解得b=450（2）由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosb，即222=a2+c2-2accos450，整理得：a2+c2=8+2aca2+c22ac（當(dāng)且僅當(dāng)a=c取等號），8+2ac2ac，即ac42+2，sabc=12acsinb12×42+2×22=22+2，故面積的最大值為22+2【名師點(diǎn)睛】在解決三角形問題中，面積公式最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪?，容易和正弦定理、余弦定理?lián)系起來.正、

10、余弦定理在應(yīng)用時，應(yīng)注意靈活性，已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.典例5 在中，ac=23，d是bc邊上的一點(diǎn).（1）若ad=1,adac=3，求cd的長；（2）若b=120°，求周長的取值范圍.【解析】（1）在中，ad1，ac=23，所以adac|ad|ac|cosdac1×23×cosdac3, 所以cosdac32.由余弦定理得1212×23×1×327，所以cd7. （2）在中，由正弦定理得，ab+bc=4(sina+

11、sinc)=4sina+sin(3-a)=4sin(a+3)，.ab+bc(23,4，故周長的取值范圍為43,4+23 . 4在中，角，所對的邊分別為，且（1）求角；（2）若，求及的面積5已知分別是三個內(nèi)角所對的邊，且.（1）求； （2）若，求的周長的取值范圍.考向四 三角形中的幾何計(jì)算幾何中的長度、角度的計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為三角形中邊長和角的計(jì)算，這樣就可以利用正、余弦定理解決問題.解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，把已知和所求的量盡量放在同一個三角形中.典例6 如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，且，已知，.（1）若是銳角三角形，求角的大小；（2）若的面積為，求的長.【解析】（1）在中，由正弦定理得，解得，所

12、以或.因?yàn)槭卿J角三角形，所以.又，所以.（2）由題意可得，解得，由余弦定理得，解得，則.所以的長為.6如圖，在中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且2acosb+b=2c.（1）求角a的大小；（2）若ac邊上的中線bd的長為，且abbd，求bc的長考向五 解三角形的實(shí)際應(yīng)用解三角形應(yīng)用題的兩種情形：（1）實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得

13、出所要求的解研究測量距離問題是高考中的?？純?nèi)容，既有選擇題、填空題，也有解答題，難度一般適中，屬中檔題.解題時要選取合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解.典例7 如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在處測得山頂在北偏東方向上，勻速向北航行分鐘到達(dá)處，測得山頂位于北偏東方向上，此時測得山頂?shù)难鼋菫?，若山高為千米，?）船的航行速度是每小時多少千米？（2）若該船繼續(xù)航行分鐘到達(dá)處，問此時山頂位于處的南偏東什么方向？【解析】（1）在中，在中，由正弦定理得，所以，故船的航行速度是每小時千米.（2）在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得,所以山頂位于處南偏

14、東方向.7如圖，某測量人員為了測量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)，之間的距離，她在西江南岸找到一個點(diǎn)，從點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)，；找到一個點(diǎn)，從點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)，；找到一個點(diǎn)，從點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)，；并測量得到數(shù)據(jù)：，百米（1）求的面積；（2）求，之間的距離的平方考向六 三角形中的綜合問題1解三角形的應(yīng)用中要注意與基本不等式的結(jié)合，以此考查三角形中有關(guān)邊、角的范圍問題.利用正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式，建立如“”之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，通過基本不等式考查相關(guān)范圍問題.2注意與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合考查，將兩者結(jié)合起來，既考查解三角形問題，也注重對三角函數(shù)的化簡、計(jì)算及考查相關(guān)性質(zhì)等.3正、余弦定理也可

15、能結(jié)合平面向量及不等式考查面積的最值或求面積，此時注意應(yīng)用平面向量的數(shù)量積或基本不等式進(jìn)行求解.典例8 在中，已知，向量，且.（1）求a的值；（2）若點(diǎn)d在邊bc上，且，求的面積【解析】（1）由題意知，又，所以，即，即.又，所以，所以，即.（2）設(shè)，由，得，由（1）知，所以,.在中，由余弦定理，得，解得，所以，所以.典例9 的內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.（1）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sin asin c2sin(ac)；（2）若a，b，c成等比數(shù)列，求cos b的最小值【解析】（1）因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以ac2b.由正弦定理得sin asin c2sin b.因?yàn)閟i

16、n bsin(ac)sin(ac)，所以sin asin c2sin(ac)（2）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2ac.由余弦定理得cos b，當(dāng)且僅當(dāng)ac時等號成立所以cos b的最小值為.8已知，設(shè)（1）求的解析式并求出它的最小正周期；（2）在中，角所對的邊分別為，且，求的面積1設(shè)的內(nèi)角a,b,c所對邊的長分別是a,b,c，且b=3，c=1，a=2b，則a的值為a25b4c23d222在中，ab=1，bc=2，則角c的取值范圍是a bc d3已知的面積為s，三個內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c，若4s=a2-(b-c)2，bc=4，則是a直角三角形b鈍角三角形c銳角三角形d不能確定4

17、中，則邊上的高等于a bc d35一船以每小時15km的速度向東航行，船在處看到一個燈塔在北偏東，行駛4h后，船到達(dá)處，看到這個燈塔在北偏東，這時船與燈塔的距離為akmbkmckmdkm6已知的面積為4，a=900，則2ab+ac的最小值為a8 b4c82 d427設(shè)的三個內(nèi)角a、b、c所對的邊分別為a、b、c，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且a=3，那么外接圓的半徑為a2 b4c2 d18 中，角，的對邊分別為，若，且，則的面積為a2b3c4d9在中，角，所對的邊分別是，若向量，且，則角abcd10若的三個內(nèi)角a，b，c所對的邊分別是a，b，c，sinc-a=12sinb，且b=

18、4，則c2-a2=a10 b8c7 d411在中，分別為角，的對邊，若的面積為，且，則a1bcd12平面四邊形abcd中，abc=150°，3ab=2bc，ac=13，bdab，cd=3，則四邊形abcd的面積為a73bc3+1d3+213已知外接圓的半徑為，內(nèi)角，對應(yīng)的邊分別為，若，則的值為_14在中，d為bc邊上一點(diǎn)，若是等邊三角形，且，則的面積的最大值為 .15如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂d在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度_m. 16已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的取值范圍為_.17

19、在中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知cosa=-1010，b=2，c=5（1）求a；（2）求cos(b-a)的值18在中，角所對的邊分別為，已知，.（1）求的值；（2）若，求周長的取值范圍.19在中，內(nèi)角，所對的邊分別為，已知向量，且（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的值20如圖，漁船甲位于島嶼a的南偏西方向的b處，且與島嶼a相距18海里，漁船乙以15海里/小時的速度從島嶼a出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從b處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2h追上，此時到達(dá)c處（1）求漁船甲的速度；（2）求的值21在中，的對邊分別為，且成等差數(shù)列（1）求的值；（2）求的范圍22已知函數(shù)

20、f(x)=2cosx(cosx+3sinx).（1）當(dāng)x24,712時，求f(x)的值域；（2）在中，若fb=-1,bc=3,sinb=3sina,求的面積.23如圖所示，在平面內(nèi)，四邊形的對角線交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，記（1）若，求對角線的長度（2）當(dāng)變化時，求對角線長度的最大值1（2019年高考全國卷文數(shù)）的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知asinabsinb=4csinc，cosa=，則=a6b5c4d32（2018新課標(biāo)全國文科）的內(nèi)角，的對邊分別為，若的面積為，則abcd3（2018年高考全國文數(shù)）在中，則abcd4（2017新課標(biāo)全國文科）abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為

21、a，b，c已知，a=2，c=，則c=abcd5（2019年高考全國卷文數(shù)）的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c已知bsina+acosb=0，則b=_.6（2017新課標(biāo)全國文科）的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c.已知c=60°，b=，c=3，則a=_.7（2018新課標(biāo)全國文科）的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則的面積為_8（2019年高考浙江卷）在中，點(diǎn)在線段上，若，則_，_9（2018年高考浙江卷）在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c若，b=2，a=60°，則sin b=_，c=_10（2018江蘇）在中，角所對的邊分別為，的平分線交于點(diǎn)d，且，則的最小

22、值為 11（2018年高考北京卷文數(shù)）若的面積為，且c為鈍角，則b=_；的取值范圍是_.12（2017浙江）已知abc，ab=ac=4，bc=2 點(diǎn)d為ab延長線上一點(diǎn)，bd=2，連結(jié)cd，則bdc的面積是_，cosbdc=_13（2019年高考全國卷文數(shù)）的內(nèi)角a、b、c的對邊分別為a、b、c已知（1）求b；（2）若為銳角三角形，且c=1，求面積的取值范圍14（2019年高考北京卷文數(shù)）在中，a=3，cosb=（1）求b，c的值；（2）求sin（b+c）的值15（2019年高考天津卷文數(shù)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（1）求的值；（2）求的值.16（2019年高考江蘇卷）在中

23、，角a，b，c的對邊分別為a，b，c（1）若a=3c，b=，cosb=，求c的值；（2）若，求的值17（2017山東文科）在中,角a,b,c的對邊分別為a,b,c,已知b=3,求a和a.變式拓展1【答案】c【解析】由題知，由正弦定理得，所以，即，所以在中，又因?yàn)?，所?故選c.2【解析】（1）由正弦定理可得在中，在中，又因?yàn)?，則.（2），由正弦定理得，設(shè)，則，由余弦定理得.因?yàn)椋?，解?則.3【解析】（1）由得：，則，由正弦定理可知：，則為等腰三角形.（2）由題意得：，解得：，為鈍角三角形，且，為鈍角，由余弦定理得：，.4【解析】（1）由已知條件化簡可得，即，由余弦定理的推論，可得，（2）

24、，由正弦定理可得，又，在中，5【解析】（1），由正弦定理得，又，又，.（2）由正弦定理得，則.故的周長的取值范圍是.6【解析】（1）由，及正弦定理可得：，則，整理得，因?yàn)?，所以，所以，又，所以?）在中，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，在中，由余弦定理可得，所以7【解析】（1）在中，（平方百米）.（2）如圖，連接，根據(jù)題意知，在中，（百米），在中，由正弦定理，得（百米），在中，由余弦定理得：，則8【解析】（1）由，則，故函數(shù)的最小正周期，故，最小正周期為（2）因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，又，由余弦定理得：，所以，所以，則.考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】c【解析】在中，a2b，b3，c1，整理得a6cosb，

25、由余弦定理可得，.故選c2【答案】a【解析】因?yàn)?，所以sinc=12sina，所以0<sinc12，又ab<bc，則c必為銳角，故c0,6.3【答案】a【解析】4s=a2-(b-c)2，bc=4，4×12bcsina=2bc-b2+c2-a2，可得2sina=2-2cosa，則sina+cosa=1，可得sina+4=22，0<a<，4<a+4<54，a+4=34，解得a=2.即是直角三角形.故選a 4【答案】a【解析】設(shè)角，所對的邊分別為，邊上的高為，因?yàn)椋?，化簡得，解?又，所以由，得.故選a.5【答案】b【解析】作出示意圖如圖所示，則.

26、由正弦定理，可得，則.所以這時船與燈塔的距離為.故選b.6【答案】a【解析】由題意知的面積為4，且a=900，所以s=12abac=4，即abac=8，所以2ab+ac22abac=22×8=8，當(dāng)且僅當(dāng)ab=2,ac=4時取得等號，所以2ab+ac的最小值為8.故選a7【答案】d【解析】因?yàn)?a+b+c)(b+c-a)=3bc，所以(b+c)2-a2=3bc，即b2+c2-a2=bc，所以cosa=b2+c2-a22bc=12,a(0,)，所以a=3，因?yàn)閍=3，所以由正弦定理可得的外接圓半徑為.故選d8【答案】a【解析】由余弦定理得：，即，解得：，.故選a.9【答案】c【解析】，

27、由余弦定理可知：，所以.故選c10【答案】b【解析】由題意知sinc-a=12sinb=12sina+c,即2sinccosa-2coscsina=sinacosc+cosasinc，即sinccosa=3sinacosc，由正弦定理和余弦定理得：cb2+c2-a22bc=3aa2+b2-c22ab，即b2+c2-a2=3a2+3b2-3c2，即4c2-4a2=2b2=2×16=32，則c2-a2=8.故選b11【答案】d【解析】由，得，即，即，則，即，則，故選d12【答案】b【解析】如圖，因?yàn)?ab=2bc，所以設(shè)ab=2x,bc=3x，又abc=150°，ac=13，所

28、以由ac2=ab2+bc2-2abbccosabc， 得13=4x2+3x2-43x2cos150=13x2，所以x=1，所以ab=2,bc=3，又bdab，所以dbc=60°，由余弦定理可得，cd2=bd2+bc2-2bdbccosdbc，可得9=bd2+3-3bd，解得bd=23，故.故選b. 13【答案】【解析】由正弦定理可得：，解得：，由余弦定理可得：，解得：或（舍去），.14【答案】【解析】如圖.在中，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)ad=dc時取等號，的面積，的面積的最大值為15【答案】【解析】依題意，在中，由，得，因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即m.在中，因?yàn)椋?，所以m.16【答案】【

29、解析】，由余弦定理可得：，由正弦定理，可得故答案為17【解析】（1）在中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosa=2+5-2×2×5×(-1010)=9，解得a=3（2）在中，由cosa=-1010得a(2,)，sina=1-cos2a=1-(-1010)2=31010，在中，由正弦定理得asina=bsinb，即，sinb=55，又a(2,)，故b(0,2)，cosb=1-sin2b=1-(55)2=255，cos(b-a)=cosbcosa+sinbsina=255×(-1010)+55×31010=21018【解析】（1）由及二倍角

30、公式得，又即，所以.（2）由正弦定理得，則的周長為：，又因?yàn)?，所以，則.從而.因此周長的取值范圍是.19【解析】（1），由正弦定理，得，即，（2）由三角形的面積公式，得，解得，由余弦定理，得，故20【解析】（1）依題意得，在中由余弦定理可得，所以，所以漁船甲的速度為海里/小時（2）在中，bc=42，由正弦定理，得，所以21【解析】（1）由題意得，由正弦定理得，即，所以 又在中，則或，因?yàn)椋? （2）因?yàn)椋?所以. .因?yàn)?，所以?所以的范圍是22【解析】（1）f(x)=232sin2x+12(cos2x+1) =2sin(2x+6)+1.x24,712，2x+64,43. 當(dāng)2x+6=2，

31、即x=6時，f(x)取得最大值3；當(dāng)2x+6=43，即x=712時，f(x)取得最小值1-3，故f(x)的值域?yàn)?-3，3.（2）設(shè)中a，b，c所對的邊分別為a,b,c.f(b)=-1,sin(2b+6)=-1 .0<b<,即6<2b+6<2+6.2b+6=32,得b=23.又bc=3，即a=3,sinb=3sina,即b=3a,b=3.易得sina=12.0<a<3，a=6，c=6. sabc=12absinc=12×3×3×12=334. 23【解析】（1）在中，由余弦定理可得:，則為等腰直角三角形，°，在中， ，

32、由余弦定理可得:，.（2）在中，由余弦定理可得:，又由正弦定理可得，即，在中，由余弦定理可得，當(dāng)時，則直通高考1【答案】a【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得.故選a【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用先利用余弦定理推論得出a，b，c的關(guān)系，再結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.2【答案】c【解析】由題可知sabc=12absinc=a2+b2-c24，所以a2+b2-c2=2absinc，由余弦定理a2+b2-c2=2abcosc，得sinc=cosc，因?yàn)閏(0,)，所以c=4，故選c.3【答案】a【解析】因?yàn)?，所以cosc=21=2×1=.于是，在中

33、，由余弦定理得ab2=ac2+bc22ac × bc×cosc=52+122×5×1×()=32，所以ab=.故選a.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的運(yùn)算求解力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.解三角形是近幾年高考中的高頻者點(diǎn)，將解三角形與其他知識巧妙地融合在一起，既體現(xiàn)了試題設(shè)計(jì)的亮點(diǎn)，又體現(xiàn)了對所學(xué)知識的交匯考查.4【答案】b【解析】由題意得，即，所以由正弦定理得，即，因?yàn)閏<a，所以c<a，所以，故選b【名師點(diǎn)睛】在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某

34、個定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到5【答案】【解析】由正弦定理，得，即，【名師點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理轉(zhuǎn)化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取定理法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題本題容易忽視三角形內(nèi)角的范圍致誤，三角形內(nèi)角均在范圍內(nèi)，化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變化求角6【答案】75°【解析】由正弦定理，得，結(jié)合可得，則.【名師點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理，結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從

35、而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.7【答案】233【解析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理可得sinbsinc+sincsinb=4sinasinbsinc，即sina=12，結(jié)合余弦定理可得2bccosa=8，所以a為銳角，且cosa=32，從而求得bc=833，所以的面積為s=12bcsina=12×833×12=233，故答案是233.8【答案】，【解析】如圖，在中，由正弦定理有：，而，所以.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形問題，即正弦定理、三角恒等變換、數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)方程思想.在中應(yīng)用正弦定理，建立方程，進(jìn)而得解.解答解三角形問題，要注意充分利用圖形特征.9【答案】，3【解析】由正弦定理得，所以由余弦定理得（負(fù)值舍去）.【名師點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.解答本題時，根據(jù)正弦定理得sinb，根據(jù)余弦定理解出c.10【答案】9【解析】由題意可知，由角平分線的性質(zhì)和三角形的面積公式得，化簡得，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等