高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：2.2 函數(shù)的單調(diào)性與最值 Word版含答案_20210103224747

1、淘寶店鋪：漫兮教育第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值1函數(shù)的單調(diào)性理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義2函數(shù)的最值理解函數(shù)的最大值、最小值及其幾何意義知識點一函數(shù)的單調(diào)性1單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為i.如果對于定義域i內(nèi)某個區(qū)間a上的任意兩個自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間a上是增加的當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間a上是減少的圖象描述自左向右看圖象是逐漸上升的自左向右看圖象是逐漸下降的 2.單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a上是增加的或是減少的，那么

2、稱a為單調(diào)區(qū)間易誤提醒求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩個注意點：(1)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故求單調(diào)區(qū)間應(yīng)樹立“定義域優(yōu)先”的原則(2)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號“”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)必記結(jié)論1單調(diào)函數(shù)的定義有以下若干等價形式：設(shè)x1，x2a，b，那么>0f(x)在a，b上是增函數(shù)；<0f(x)在a，b上是減函數(shù)(x1x2)f(x1)f(x2)>0f(x)在a，b上是增函數(shù)；(x1x2)f(x1)f(x2)<0f(x)在a，b上是減函數(shù)2復(fù)合函數(shù)yfg(x)的單調(diào)性規(guī)律是“同則增，異則減”，即yf(u)與ug(x)

3、若具有相同的單調(diào)性，則yfg(x)為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則yfg(x)必為減函數(shù)自測練習(xí)1下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減的是()af(x) bf(x)(x1)2cf(x)ex df(x)ln(x1)解析：根據(jù)函數(shù)的圖象知，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，故選a.答案：a2函數(shù)f(x)log5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間是_解析：要使ylog5(2x1)有意義，則2x1>0，即x>，而ylog5u為(0，)上的增函數(shù)，當(dāng)x>時，u2x1也為r上的增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.答案：3已知函數(shù)f(x)在r上為增函數(shù)，則a的取值范圍是()a3,0) b3，2c(，2 d

4、(，0)解析：要使函數(shù)在r上是增函數(shù)，則有解得3a2，即a的取值范圍是3，2答案：b知識點二函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為i，如果存在實數(shù)m滿足條件對于任意xi，都有f(x)m存在x0i，使得f(x0)m對于任意xi，都有f(x)m存在x0i，使得f(x0)m結(jié)論m為最大值m為最小值易誤提醒在求函數(shù)的值域或最值時，易忽視定義域的限制性必備方法求函數(shù)最值的五個常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值(3)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值(4)基本不等式法：先對解析

5、式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值(5)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值自測練習(xí)4函數(shù)f(x)(xr)的值域是()a(0,1) b(0,1c0,1) d0,1解析：因為1x21,0<1，所以函數(shù)值域是(0,1，選b.答案：b5已知函數(shù)f(x)x22x(2x1且xz)，則f(x)的值域是()a0,3 b1,3c0,1,3 d1,0,3解析：依題意，f(2)f(0)0，f(1)1，f(1)3，因此f(x)的值域是1,0,3，選d.答案：d考點一函數(shù)單調(diào)性的判斷|1下列四個函數(shù)中，在(0，)上為增函數(shù)的是()af(x)3x bf(

6、x)x23xcf(x) df(x)|x|解析：當(dāng)x>0時，f(x)3x為減函數(shù)；當(dāng)x時，f(x)x23x為減函數(shù)，當(dāng)x時，f(x)x23x為增函數(shù)；當(dāng)x(0，)時，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x(0，)時，f(x)|x|為減函數(shù)故選c.答案：c2判斷函數(shù)g(x)在(1，)上的單調(diào)性解：法一：定義法任取x1，x2(1，)，且x1<x2，則g(x1)g(x2)，因為1<x1<x2，所以x1x2<0，(x11)(x21)>0，因此g(x1)g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)故g(x)在(1，)上是增函數(shù)法二：導(dǎo)數(shù)法g(x)>0，g(x)在(1，)上

7、是增函數(shù)給出解析式函數(shù)單調(diào)性的兩種判定方法1定義法(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)2導(dǎo)數(shù)法(基本步驟為求定義域、求導(dǎo)、變形、判斷)考點二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法|求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)yx22|x|1；(2)ylog(x23x2)解(1)由于y即y畫出函數(shù)圖象如圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為(，1和0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,0和1，)(2)令ux23x2，則原函數(shù)可以看作ylogu與ux23x2的復(fù)合函數(shù)令ux23x2>0，則x<1或x>2.函數(shù)ylog(x23x2)的定義域為(，1)(2，)又ux23x2的對稱軸x，且開口向上ux23x2在(，1)上是單調(diào)減函數(shù)，在(2

8、，)上是單調(diào)增函數(shù)而ylogu在(0，)上是單調(diào)減函數(shù)，ylog(x23x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2，)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的四種求法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 函數(shù)y|x|(1x)在區(qū)間a上是增函數(shù)，那么區(qū)間a是()a(，0)b.c0，) d.解析：y|x|(1x)畫出函數(shù)的草圖，如圖由圖易知原函數(shù)在上單調(diào)遞增答案：b考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)

9、用|函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用比較廣泛，是每年高考的重點和熱點內(nèi)容歸納起來，常見的命題探究角度有：1求函數(shù)的值域或最值2比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小3解函數(shù)不等式4求參數(shù)的取值范圍或值探究一求函數(shù)的值域或最值1(2015·高考浙江卷)已知函數(shù)f(x)則f(f(3)_，f(x)的最小值是_解析：由題知，f(3)1，f(1)0，即f(f(3)0.又f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，所以f(x)minminf(0)，f()23.答案：023探究二比較兩個函數(shù)值或兩自變量的大小2已知函數(shù)f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)

10、，則()af(x1)<0，f(x2)<0 bf(x1)<0，f(x2)>0cf(x1)>0，f(x2)<0 df(x1)>0，f(x2)>0解析：函數(shù)f(x)log2x在(1，)上為增函數(shù)，且f(2)0，當(dāng)x1(1,2)時，f(x1)<f(2)0，當(dāng)x2(2，)時，f(x2)>f(2)0，即f(x1)<0，f(x2)>0.答案：b探究三解函數(shù)不等式3(2015·西安一模)已知函數(shù)f(x)若f(2x2)>f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是()a(，1)(2，)b(，2)(1，)c(1,2)d(2,1)解析：當(dāng)x0

11、時，兩個表達(dá)式對應(yīng)的函數(shù)值都為零，函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線當(dāng)x0時，函數(shù)f(x)x3為增函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)ln(x1)也是增函數(shù)，且當(dāng)x1<0，x2>0時，f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)是定義在r上的增函數(shù)因此，不等式f(2x2)>f(x)等價于2x2>x，即x2x2<0，解得2<x<1，故選d.答案：d探究四利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍4(2015·江西新余期末質(zhì)檢)已知f(x)滿足對任意x1x2，都有>0成立，那么a的取值范圍是()a. b.c(1,2) d(1，)解析：依題意，f(x)是在r上的增函數(shù)，于

12、是有解得a<2，故選a.答案：a函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的四種類型及解題策略(1)比較大小比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決(2)解不等式在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域(3)利用單調(diào)性求參數(shù)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；需注意若函數(shù)在區(qū)間a，b上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的(4)利用單調(diào)性求最值應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值1.確定抽象函數(shù)的單調(diào)性以及解含“f”的不等

13、式【典例】(12分)函數(shù)f(x)對任意a，br，都有f(ab)f(a)f(b)1，且當(dāng)x>0時，有f(x)>1.(1)求證：f(x)是r上的增函數(shù)；(2)若f(4)5，解不等式f(2t1)f(1t)<2.思路點撥(1)用單調(diào)性的定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性；(2)結(jié)合題意，將含“f”的不等式f(2t1)f(1t)<2轉(zhuǎn)化為f(m)<f(n)的形式，再依據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式求解規(guī)范解答(1)證明：設(shè)x1，x2r且x1<x2，則x2x1>0，f(x2x1)>1.(2分)根據(jù)條件等式有f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x

14、1)1f(x1)f(x2x1)1>0，f(x1)<f(x2)，f(x)是r上的增函數(shù)(6分)(2)由f(ab)f(a)f(b)1，得f(ab)f(a)f(b)1，f(2t1)f(1t)f(t2)1，(8分)f(2t1)f(1t)<2，即f(t2)1<2，f(t2)<3.又f(22)f(2)f(2)15，f(2)3，f(t2)<3f(2)(10分)f(x)是r上的增函數(shù)，t2<2，t<4，故不等式的解集為(，4)(12分)模板形成a組考點能力演練1(2015·吉林二模)下列函數(shù)中，定義域是r且為增函數(shù)的是()ayex byxcyln x

15、dy|x|解析：因為定義域是r，排除c，又是增函數(shù)，排除a、d，所以選b.答案：b2(2015·河南信陽期末調(diào)研)下列四個函數(shù)：y3x；y；yx22x10；y其中值域為r的函數(shù)有()a1個 b2個 c3個 d4個解析：依題意，注意到y(tǒng)3x與函數(shù)y的值域均是r，函數(shù)y的值域是(0,1，函數(shù)yx22x10(x1)211的值域是11，)，因此選b.答案：b3若函數(shù)f(x)x22ax與函數(shù)g(x)在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()a(0,1)(0,1) b(0,1)(0,1c(0,1) d(0,1解析：注意到f(x)(xa)2a2；依題意得即0<a1，故選d.答案：d4

16、已知函數(shù)f(x)則不等式f(a24)>f(3a)的解集為()a(2,6) b(1,4)c(1,4) d(3,5)解析：作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，則函數(shù)f(x)在r上是單調(diào)遞減的由f(a24)>f(3a)，可得a24<3a，整理得a23a4<0，即(a1)(a4)<0，解得1<a<4，所以不等式的解集為(1,4)答案：b5(2016·浦東一模)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間i上是增函數(shù)，且函數(shù)y在區(qū)間i上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)yf(x)是區(qū)間i上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間i叫作“緩增區(qū)間”若函數(shù)f(x)x2x是區(qū)間i上的“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”i

17、為()a1，) b0，c0,1 d1，解析：因為函數(shù)f(x)x2x的對稱軸為x1，所以函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，又當(dāng)x1時，x1，令g(x)x1(x1)，則g(x)，由g(x)0得1x，即函數(shù)x1在區(qū)間1，上單調(diào)遞減，故“緩增區(qū)間”i為1，答案：d6已知f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，若對任意的x1，x20，)(x1x2)，有<0，則f(3)，f(2)，f(1)的大小關(guān)系為_解析：由x1，x2(0，)時，<0，f(x)在(0，)上為減函數(shù)又f(2)f(2)，1<2<3，f(1)>f(2)>f(3)即f(1)>f(2)>f(3)答案：f(

18、1)>f(2)>f(3)7設(shè)函數(shù)f(x)g(x)x2f(x1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是_解析：g(x)如圖所示，其遞減區(qū)間是0,1)答案：0,1)8(2015·長春二模)已知函數(shù)f(x)|xa|在(，1)上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：因為函數(shù)f(x)在(，a)上是單調(diào)函數(shù)，所以a1，解得a1.答案：(，19已知f(x)(xa)(1)若a2，試證f(x)在(，2)上單調(diào)遞增；(2)若a>0且f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍解：(1)證明：任設(shè)x1<x2<2，則f(x1)f(x2).(x12)(x22)>0，x1x2<0，

19、f(x1)<f(x2)，f(x)在(，2)上單調(diào)遞增(2)f(x)1，當(dāng)a>0時，f(x)在(，a)，(a，)上是減函數(shù)，又f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，0<a1，故實數(shù)a的取值范圍為(0,110已知函數(shù)g(x)1，h(x)，x(3，a，其中a為常數(shù)且a>0，令函數(shù)f(x)g(x)·h(x)(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并求其定義域；(2)當(dāng)a時，求函數(shù)f(x)的值域解：(1)f(x)g(x)·h(x)(1)，f(x)，x0，a(a>0)(2)函數(shù)f(x)的定義域為，令1t，則x(t1)2，t，f(x)f(t).t時，t±2，又t時，t單調(diào)遞減，f(t)單調(diào)遞增，f(t).即函數(shù)f(x)的值域為.b組高考題型專練1(2014·高考北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)的是()ay by(x1)2cy2x dylog0.5(x