高三數(shù)學人教版A版數(shù)學（理）高考一輪復(fù)習教案：3.8 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用 Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育第八節(jié)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用解三角形及其應(yīng)用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題知識點實際應(yīng)用中的常用術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫作仰角，目標視線在水平視線下方的叫作俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的水平夾角叫作方位角方位角的范圍是(0°，360°)正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)××度例：(1)北偏東m°：(2)南偏西n°：坡角坡面與水平面的夾角

2、設(shè)坡角為，坡度為i，則itan_坡度坡面的垂直高度h和水平寬度l的比易誤提醒易混淆方位角與方向角概念：方位角是指北方向與目標方向線按順時針之間的夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角自測練習1若點a在點c的北偏東30°，點b在點c的南偏東60°，且acbc，則點a在點b的()a北偏東15°b北偏西15°c北偏東10° d北偏西10°解析：如圖所示，acb90°，又acbc，cba45°，而30°，90°45°30°15°.點a在點b的北偏西15

3、76;.答案：b2江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距_m.解析：如圖，omaotan 45°30(m)，onaotan 30°×3010(m)，在mon中，由余弦定理得，mn10(m)答案：103如圖，一艘船上午9：30在a處測得燈塔s在它的北偏東30°的方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達b處，此時又測得燈塔s在它的北偏東75°的方向，且與它相距8n mile.此船的航速是_

4、n mile/h.解析：設(shè)航速為v n mile/h，在abs中abv，bs8，bsa45°，由正弦定理得，則v32.答案：32考點一測量距離問題|(2014·濟南調(diào)研)如圖所示，a，b是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個觀測點現(xiàn)位于a點北偏東45°，b點北偏西60°的d點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于b點南偏西60°且與b點相距20 海里的c點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達d點需要多長時間？解由題意知ab5(3)海里，dba90°60°30°，dab90°45

5、6;45°，adb180°(45°30°)105°，在dab中，由正弦定理，得，db10(海里)，又dbcdbaabc60°，bc20(海里)在dbc中，由余弦定理得cd2bd2bc22bd·bc·cosdbc3001 2002×10×20×900.cd30(海里)則需要的時間t1(小時)求距離問題的兩個注意點(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便

6、于計算的定理1如圖，a、c兩島之間有一片暗礁，一艘小船于某日上午8時從a島出發(fā)，以10海里/小時的速度沿北偏東75°方向直線航行，下午1時到達b處然后以同樣的速度沿北偏東15°方向直線航行，下午4時到達c島(1)求a、c兩島之間的距離；(2)求bac的正弦值解：(1)在abc中，由已知，得ab10×550(海里)，bc10×330(海里)，abc180°75°15°120°，由余弦定理，得ac25023022×50×30cos 120°4 900，所以ac70(海里)故a、c兩島之間的

7、距離是70海里(2)在abc中，由正弦定理，得，所以sinbac.故bac的正弦值是.考點二測量高度問題|如圖，為測量山高mn，選擇a和另一座山的山頂c為測量觀測點從a點測得m點的仰角man60°，c點的仰角cab45°以及mac75°；從c點測得mca60°，已知山高bc100 m，則山高mn_m.解析在rtabc中，ac100 m，在mac中，由正弦定理得，解得ma100 m，在rtmna中，mnma·sin 60°150 m.即山高mn為150 m.答案150求解高度問題應(yīng)注意(1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯

8、角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角(2)準確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖(3)運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用 2.要測量底部不能到達的電視塔ab的高度，在c點測得塔頂a的仰角是45°，在d點測得塔頂a的仰角是30°，并測得水平面上的bcd120°，cd40 m，則電視塔的高度為()a10 m b20 mc20 m d40 m解析：設(shè)電視塔的高度為x m，則bcx，bdx.在bcd中，根據(jù)余弦定理得3x2x24022×40x×cos 120°，即x220x8000，解得x

9、20(舍去)或x40.故電視塔的高度為40 m.答案：d考點三測量角度問題|在海岸a處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向、距離a處(1)海里的b處有一艘走私船；在a處北偏西75°方向、距離a處2海里的c處的緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船同時，走私船正以10海里/小時的速度從b處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時間？解如圖，設(shè)緝私船t小時后在d處追上走私船，則有cd10t，bd10t.在abc中，ab1，ac2，bac120°.利用余弦定理可得bc.由正弦定理，得sinabcsinbac×，abc45

10、76;，因此bc與正北方向垂直于是cbd120°.在bcd中，由正弦定理，得sinbcd，得bcd30°，又，即，得t.所以當緝私船沿東偏北30°的方向能最快追上走私船，最少要花小時解決測量角度問題的三個注意點(1)明確方位角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用 3.如圖，位于a處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的b處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的c處的乙船，現(xiàn)乙船

11、朝北偏東的方向沿直線cb前往b處救援，求cos 的值解：在abc中，ab40，ac20，bac120°，由余弦定理得，bc2ab2ac22ab·ac·cos 120°2 800bc20.由正弦定理，得sinacb·sinbac.由bac120°，知acb為銳角，則cosacb.由acb30°，得cos cos(acb30°)cosacbcos 30°sinacbsin 30°.12.函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用【典例】某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口

12、o北偏西30°且與該港口相距20海里的a處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由思路點撥(1)利用三角形中的余弦定理，將航行距離表示為時間t的函數(shù)，將原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題(2)注意t的取值范圍規(guī)范解答(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為s海里，則s.故當t時，smin10，v30.即小艇以30海

13、里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小(2)如圖，設(shè)小艇與輪船在b處相遇則v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，故v2900.0<v30，900900，即0，解得t.又t時，v30，故v30時，t取得最小值，且最小值等于.此時，在oab中，有oaobab20.故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時思想點評(1)三角形中的最值問題，可利用正、余弦定理建立函數(shù)模型(或三角函數(shù)模型)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題(2)求最值時要注意自變量的范圍，要考慮問題的實際意義.a組考點能力

14、演練1如圖，設(shè)a，b兩點在河的兩岸，一測量者在a所在的同側(cè)河岸邊選定一點c，測出ac的距離為50 m，acb45°，cab105°后，就可以計算出a，b兩點的距離為()a50 m b50 mc25 m d. m解析：本題考查正弦定理依題意與正弦定理得，ab50 m，故選a.答案：a2在一條東西走向的水平公路的北側(cè)遠處有一座高塔，塔底與這條公路在同一水平平面上為測量該塔的高度，測量人員在公路上選擇了a，b兩個觀測點，在a處測得該塔底部c在西偏北的方向上；在b處測得該塔底部c在西偏北的方向上，并測得塔頂d的仰角為.已知aba,0<<<<，則此塔的高cd為

15、()a.tan b.tan c.tan d.tan 解析：本題考查正弦定理依題意得，在abc中，cab，acb，由正弦定理得，bc；在bcd中，cbd，cdbctan tan ，故選b.答案：b3如圖，從氣球a上測得正前方的河流的兩岸b，c的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度bc等于()a240(1) m b180(1) mc120(1) m d30(1) m解析：tan 15°tan(60°45°)2，bc60tan 60°60tan 15°120(1)(m)，故選c.答案：c4.如圖，一條河的

16、兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船從碼頭a出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭b.已知ab1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭a駛到碼頭b所用的最短時間為6 min，則客船在靜水中的速度為()a8 km/h b6 km/hc2 km/h d10 km/h解析：設(shè)ab與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin ，從而cos ，所以由余弦定理得22122××2×1×，解得v6.選b.答案：b5.(2015·南昌模擬)如圖所示，當甲船位于a處時獲悉，在其正東方向相距20海里的b處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營

17、救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里c處的乙船，乙船立即朝北偏東30°角的方向沿直線前往b處營救，sin 的值為()a. b.c. d.解析：連接bc.在abc中，ac10，ab20，bac120°，由余弦定理，得bc2ac2ab22ab·ac·cos 120°700，bc10，再由正弦定理，得，sin .答案：a6(2016·濰坊調(diào)研)為測得河對岸塔ab的高，先在河岸上選一點c，使c在塔底b的正東方向上，測得點a的仰角為60°，再由點c沿北偏東15°方向走10米到位置d，測得bdc45&#

18、176;，則塔ab的高是_米解析：在bcd中，由正弦定理，得，解得bc10米，在rtabc中，塔ab的高是10米答案：107如圖，位于東海某島的雷達觀測站a，發(fā)現(xiàn)其北偏東45°，與觀測站a距離20海里的b處有一貨船正勻速直線行駛，半小時后，又測得該貨船位于觀測站a東偏北(0°<<45°)的c處，且cos .已知a，c兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為_海里/小時解析：本題考查解三角形知識在實際問題中的應(yīng)用利用余弦定理求解在abc中，ab20，ac10，bac45°，又cos(45°)××，由余弦定理可得bc2

19、(20)21022×20×10×340，所以bc2.又行駛時間是小時，所以該貨船的速度為4海里/小時答案：48如圖，為了測量河對岸a、b兩點之間的距離，觀察者找到一個點c，從點c可以觀察到點a、b；找到一個點d，從點d可以觀察到點a、c；找到一個點e，從點e可以觀察到點b、c.并測量得到一些數(shù)據(jù)：cd2，ce2，d45°，acd105°，acb48.19°，bce75°，e60°，則a、b兩點之間的距離為_.解析：依題意知，在acd中，a30°，由正弦定理得ac2.在bce中，cbe45°，由正

20、弦定理得bc3.在abc中，由余弦定理ab2ac2bc22ac×bccosacb10，所以ab.答案：9.某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：a，b，c三地位于同一水平面上，在c處進行該儀器的垂直彈射，觀測點a，b兩地相距100米，bac60°，在a地聽到彈射聲音的時間比b地晚秒在a地測得該儀器至最高點h時的仰角為30°，求該儀器的垂直彈射高度ch.(聲音在空氣中的傳播速度為340米/秒)解：由題意，設(shè)acx，則bcx×340x40，在abc中，由余弦定理得bc2ab2ac22ab·ac·cosba

21、c，即(x40)210 000x2100x，解得x420.在ach中，ac420，cah30°，ach90°，所以chac·tancah140(米)故該儀器的垂直彈射高度ch為140米10.某航模興趣小組的同學，為了測定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸邊設(shè)置兩個觀察點a，b，且ab長為80米，當航模在c處時，測得abc105°和bac30°，經(jīng)過20秒后，航模直線航行到d處，測得bad90°和abd45°.請你根據(jù)以上條件求出航模的速度(答案保留根號)解：在abd中，bad90°，abd45°，

22、adb45°，adab80，bd80.在abc中，bc40.在dbc中，dc2db2bc22db·bccos 60°(80)2(40)22×80×40×9 600.dc40，航模的速度v2米/秒b組高考題型專練1.(2015·高考福建卷)如圖，在abc中，已知點d在bc邊上，adac，sinbac，ab3，ad3，則bd的長為_解析：因為sinbac，且adac，所以sin，所以cosbad，在bad中，由余弦定理得，bd.答案：2(2014·高考重慶卷)在abc中，b120°，ab，a的角平分線ad，則ac_.解析：如圖，在abd中，由正弦定理，得sinadb.由題意知0°<adb<60°，