高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：3.7 正弦定理和余弦定理 Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育第七節(jié)正弦定理和余弦定理正、余弦定理掌握正、余弦定理的內(nèi)容，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)正弦定理和余弦定理1正弦定理2r，其中r是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：(1)abcsin_asin_bsin_c.(2)a2rsin_a，b2rsinb，c2rsin_c.2余弦定理a2b2c22bccos_a，b2a2c22accos_b，c2a2b22abcos_c余弦定理可以變形：cos a，cos b，cos c.3三角形中常用的面積公式(1)sah(h表示邊a上的高)(2)sbcsin aacsin babsin c.(3)sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半

2、徑)易誤提醒(1)由正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角時(shí)易忽視解的判斷(2)在判斷三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解必記結(jié)論三角形中的常用結(jié)論(1)abc，.(2)在三角形中大邊對(duì)大角，反之亦然(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊(4)在abc中，tan atan btan ctan a·tan b·tan c(a，b，c)自測(cè)練習(xí)1已知abc中，a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，若ac，且a75°，則b()a2 b42c42 d.解析：在abc中，易知b30°，由余弦定理b2a2c

3、22accos 30°4.b2.答案：a2在abc中，若a60°，b45°，bc3，則ac()a4 b2c. d.解析：在abc中，根據(jù)正弦定理，得，ac2.答案：b3abc中，b120°，ac7，ab5，則abc的面積為_(kāi)解析：由余弦定理知ac2ab2bc22ab·bccos 120°，即4925bc25bc，解得bc3.故sabcab·bcsin 120°×5×3×.答案：考點(diǎn)一利用正弦、余弦定理解三角形|1(2015·高考廣東卷)設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，

4、b，c.若a2，c2，cos a且b<c，則b()a3b2c2 d.解析：由余弦定理a2b2c22bccos a，即4b2126bb26b80(b2)(b4)0，由b<c，得b2.答案：c2(2015·高考安徽卷)在abc中，ab，a75°，b45°，則ac_.解析：因?yàn)閍75°，b45°，所以c60°，由正弦定理可得，解得ac2.答案：23(2015·高考福建卷)若銳角abc的面積為10，且ab5，ac8，則bc等于_解析：因?yàn)閍bc的面積sabcab·acsin a，所以10×5×

5、;8×sin a，解得sin a，因?yàn)榻莂為銳角，所以cos a.根據(jù)余弦定理，得bc252822×5×8×cos a52822×5×8×49，所以bc7.答案：7正、余弦定理的應(yīng)用原則(1)正弦定理是一個(gè)連比等式，在運(yùn)用此定理時(shí)，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過(guò)約分達(dá)到解決問(wèn)題的目的，在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用(2)運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用考點(diǎn)二利用正、余弦定理判斷三角形形狀|(2015·沈陽(yáng)模擬)在abc中，a，b，c分別為內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊且2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c.

6、(1)求a的大??；(2)若sin bsin c1，試判斷abc的形狀解(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，a2b2c22bccos a，bc2bc cos a，cos a.又0<a<，a.(2)由(1)知sin2asin2bsin2csin bsin c，sin2a(sin bsin c)2sin bsin c.又sin bsin c1，且sin a，sin bsin c，因此sin bsin c.又b、c，故bc.所以abc是等腰的鈍角三角形判定三角形形狀的兩條途徑(1)化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系(2)化角為邊，

7、通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁 1在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足(2bc)cos aacos c0.(1)求角a的大小；(2)若a，sabc，試判斷abc的形狀，并說(shuō)明理由解：(1)法一：由(2bc)cos aacos c0及正弦定理，得(2sin bsin c)cos asin acos c0，2sin bcos asin(ac)0，sin b(2cos a1)0.0<b<，sin b0，cos a.0<a<，a.法二：由(2bc)cos aacos c0，及余弦定理，得(2bc)·0，整理，得b2c2a2b

8、c，cos a，0<a<，a.(2)abc為等邊三角形sabcbcsin a，即bcsin，bc3，a2b2c22bccos a，a，a，b2c26，由得bc，abc為等邊三角形考點(diǎn)三三角形的面積問(wèn)題|(2015·高考全國(guó)卷)abc中，d是bc上的點(diǎn)，ad平分bac，abd面積是adc面積的2倍(1)求；(2)若ad1，dc，求bd和ac的長(zhǎng)解(1)sabdab·adsinbad，sadcac·adsincad.因?yàn)閟abd2sadc，badcad，所以ab2ac.由正弦定理可得.(2)因?yàn)閟abdsadcbddc，所以bd.在abd和adc中，由余弦

9、定理知ab2ad2bd22ad·bdcosadb，ac2ad2dc22ad·dccosadc.故ab22ac23ad2bd22dc26.由(1)知ab2ac，所以ac1.三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對(duì)于面積公式sabsin cacsin bbcsin a，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化 2已知a，b，c分別是abc的內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊，且c2，c.(1)若abc的面積等于，求a，b；(2)若sin csin(ba)2sin 2a，求a的值解：(1)c2，c，由余弦定理得4a2b22abcosa2b

10、2ab，abc的面積等于，absin c，ab4，聯(lián)立，解得a2，b2.(2)sin csin(ba)2sin 2a，sin(ba)sin(ba)4sin acos a，sin bcos a2sin acos a，當(dāng)cos a0時(shí)，a；當(dāng)cos a0時(shí)，sin b2sin a，由正弦定理得b2a，聯(lián)立，解得a，b，b2a2c2，c，a.綜上所述，a或a.7.三角變換不等價(jià)致誤【典例】在abc中，若(a2b2)sin(ab)(a2b2)·sin(ab)，試判斷abc的形狀解(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，b2sin(ab)sin(ab)a2sin(ab)sin(a

11、b)，2sin acos b·b22cos asin b·a2，即a2cos asin bb2sin acosb.法一：由正弦定理知a2rsin a，b2rsin b，sin2acos asin bsin2bsin acos b，又sin a·sin b0，sin acos asin bcos b，sin 2asin 2b.在abc中，0<2a<2，0<2b<2，2a2b或2a2b，ab或ab.abc為等腰三角形或直角三角形法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，

12、a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.abc為等腰三角形或直角三角形易誤點(diǎn)評(píng)(1)從兩個(gè)角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略?xún)山腔パa(bǔ)情形(2)代數(shù)運(yùn)算中兩邊同除一個(gè)可能為0的式子，導(dǎo)致漏解(3)結(jié)論表述不規(guī)范防范措施(1)判斷三角形形狀要對(duì)所給的邊角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶?，然后進(jìn)行判斷(2)在三角變換過(guò)程中，一般不要兩邊約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解；在利用三角函數(shù)關(guān)系推證角的關(guān)系時(shí)，要注意利用誘導(dǎo)公式，不要漏掉角之間關(guān)系的某種情況跟蹤練習(xí)在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，且tan atan b.(1)求角b的大小；(2)已知3，求sin

13、 asin c的值解：(1)tan atan b，tan atan b，cos b，0<b<，b.(2)，3，3，即3，2，而，sin asin c.a組考點(diǎn)能力演練1(2016·蘭州一模)在銳角abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，若b2asin b，則a()a30° b45°c60° d75°解析：因?yàn)樵阡J角abc中，b2asin b，由正弦定理得，sin b2sin asin b，所以sin a，又0<a<，所以a30°，故選a.答案：a2在abc中，三內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為

14、s，若sa2(bc)2，則cos a等于()a. bc. d解析：sa2(bc)2a2b2c22bc，由余弦定理得sin a1cos a，結(jié)合sin2acos2a1，可得cos a.答案：d3已知abc中，內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2b2c2bc，bc4，則abc的面積為()a. b1c. d2解析：a2b2c2bc，cos a，a，又bc4，abc的面積為bcsin a，故選c.答案：c4在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c1，b45°，cos a，則b等于()a. b.c. d.解析：因?yàn)閏os a，所以sin a，所以sin csin(ab)s

15、in(ab)sin acos bcos a·sin bcos 45°sin 45°.由正弦定理，得b×sin 45°.答案：c5(2015·唐山一模)在直角梯形abcd中，abcd，abc90°，ab2bc2cd，則cosdac()a. b.c. d.解析：由已知條件可得圖形，如圖所示，設(shè)cda，在acd中，cd2ad2ac22ad×ac×cosdac，a2(a)2(a)22×a×a×cosdac，cosdac.答案：b6(2015·高考重慶卷)設(shè)abc的內(nèi)角a，b

16、，c的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2，cos c，3sin a2sin b，則c_.解析：由3sin a2sin b及正弦定理，得3a2b，所以ba3.由余弦定理cos c，得，解得c4.答案：47(2015·高考北京卷)在abc中，a4，b5，c6，則_.解析：由正弦定理得sin asin bsin cabc456，又由余弦定理知cos a，所以2××cos a2××1.答案：18在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin asin bsin bsin ccos 2b1.若c，則_.解析：sin asin bsin bsin c

17、cos 2b1，sin asin bsin bsin c2sin2b.由正弦定理可得abbc2b2，即ac2b，c2ba，c，由余弦定理可得(2ba)2a2b22abcos，可得5a3b，.答案：9在abc中，內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，且2asin b5c，cos b.(1)求角a的大小；(2)設(shè)bc邊的中點(diǎn)為d，|ad|，求abc的面積解：(1)由cos b得sin b.又2asin b5c，代入得3a7c，由得3sin a7sin c，3sin a7sin(ab)，3sin a7sin acos b7cos asin b，得tan a，a.(2)ab2bd22ab·b

18、dcos b，c222c·c·，c3，則a7.sacsin b×3×7×.10(2016·杭州模擬)設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acos ccb.(1)求角a的大小；(2)若a1，求abc周長(zhǎng)的取值范圍解：(1)由acos ccb得sin acos csin csinb.又sin bsin(ac)sin acos ccos asin c，所以sin ccos asin c.因?yàn)閟in c0，所以cos a.又因?yàn)?<a<，所以a.(2)由正弦定理得bsin b，csin c.labc1(sin bs

19、in c)1sin bsin(ab)11sin.因?yàn)閍，所以b，所以b.所以sin.所以abc的周長(zhǎng)的取值范圍為.b組高考題型專(zhuān)練1(2015·高考廣東卷)設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c.若a，sin b，c，則b_.解析：由sin b得b或，因?yàn)閏，所以b，所以b，于是a.由正弦定理，得，所以b1.答案：12(2015·高考天津卷)在abc中，內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知abc的面積為3，bc2，cos a，則a的值為_(kāi)解析：由cos a得sin a，所以abc的面積為bcsin abc×3，解得bc24，又bc2，所以a2b2c22bccos a(bc)22bc2bccos a222×242×24×64，故a8.答案：83(2015·高考課標(biāo)卷)已知a，b，c分別為abc內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊，sin2b2sin asin c.(1)若ab，求cos b；(2)設(shè)b90°，且a，求abc的面積解：(1)由題設(shè)及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b