高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：7.6 空間向量及其運(yùn)算 Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育第六節(jié)空間向量及其運(yùn)算空間向量及其應(yīng)用(1)理解直線的方向向量與平面的法向量(2)能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系(3)能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)(4)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念1空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫作空間向量，其大小叫作向量的長(zhǎng)度或模(2)相等向量：方向相同且模相等的向量(3)共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，則這些向量叫作共線向

2、量或平行向量，a平行于b記作 ab.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量2空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab存在r，使ab.(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使pxayb.(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組使得pxaybzc.其中a，b，c叫作空間的一個(gè)基底3兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)非零向量a，b的數(shù)量積a·b|a|b|cosa，b(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合律：(a)·b(a·

3、;b)；交換律：a·bb·a；分配律：a·(bc)a·ba·c.易誤提醒(1)共線向量與共面向量區(qū)別時(shí)注意，平行于同一平面的向量才能為共面向量(2)空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底(3)由于0與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，故0不能作為基向量(4)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示自測(cè)練習(xí)1已知空間四邊形oabc中，a，b，c，點(diǎn)m在oa上，且om2ma，n為bc中點(diǎn)，則()a.abcbabcc.abc d.abc解析：如圖所示，()()abc.答案：b2已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，

4、則與的值可以是()a2， b，c3,2 d2,2解析：ab，bka，即(6,21,2)k(1,0,2)，解得或答案：a知識(shí)點(diǎn)二空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1a2b2a3b3共線ab(b0)a1b1，a2b2，a3b3垂直a·b0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夾角a，b(a0，b0)cosa，b易誤提醒(1)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置選取無(wú)關(guān)，這是因?yàn)橐粋€(gè)確定的幾何體，其“線線”夾角、“點(diǎn)點(diǎn)”距離都是固定的，坐標(biāo)系的位置不同，只會(huì)影響其計(jì)算的繁簡(jiǎn)(2)進(jìn)行向量的運(yùn)算時(shí)，

5、在能建系的情況下盡量建系，將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算必備方法用空間向量解決幾何問(wèn)題的一般步驟：(1)適當(dāng)?shù)倪x取基底a，b，c(2)用a，b，c表示相關(guān)向量(3)通過(guò)運(yùn)算完成證明或計(jì)算問(wèn)題自測(cè)練習(xí)3在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)a(1,0,2)，b(1，3,1)，點(diǎn)m在y軸上，且m到a與到b的距離相等，則m的坐標(biāo)是_解析：設(shè)m(0，y,0)，由|ma|mb|得(10)2(0y)2(20)2(10)2(3y)2(10)2，解得y1.m(0，1,0)答案：(0，1,0)考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算|1設(shè)三棱錐o­abc中，a，b，c，g是abc的重心，則等于()aabcbabcc.(abc) d.(

6、abc)解析：如圖所示，()()(abc)答案：d2.如圖所示，已知空間四邊形o ­abc，其對(duì)角線為ob，ac，m，n分別為oa、bc的中點(diǎn)，點(diǎn)g在線段mn上，且2，若xyz，則x，y，z的值分別為_解析：()×()×，又xyz，根據(jù)空間向量的基本定理，x，yz.答案：，(1)選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問(wèn)題的基本要求(2)空間向量問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為平面向量問(wèn)題來(lái)解決的，即把空間向量轉(zhuǎn)化到某一個(gè)平面上，利用三角形法則或平行四邊形法則來(lái)解決考點(diǎn)二共線向量與共面向量定理的應(yīng)用|已知e，f，g，h分別是空間四邊形ab

7、cd中邊ab，bc，cd，da的中點(diǎn)(1)求證：e，f，g，h四點(diǎn)共面；(2)求證：bd平面efgh；(3)設(shè)m是eg和fh的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)o，有()證明(1)連接bg，則()，由共面向量定理知，e，f，g，h四點(diǎn)共面(2)因?yàn)?)，所以ehbd.又eh平面efgh，bd平面efgh，所以bd平面efgh.(3)任取一點(diǎn)o，并連接om，oa，ob，oc，od，oe，og.由(2)知，同理，所以，即eh綊fg，所以四邊形efgh是平行四邊形，所以eg，fh被點(diǎn)m平分故()()證明點(diǎn)共面問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問(wèn)題，如要證明p，a，b，c四點(diǎn)共面，只要能證明xy或?qū)臻g任一點(diǎn)o，有xy或

8、xyz(xyz1)即可共面向量定理實(shí)際上也是三個(gè)非零向量所在直線共面的充要條件1已知a、b、c三點(diǎn)不共線，對(duì)平面abc外的任一點(diǎn)o，若點(diǎn)m滿足()(1)判斷、三個(gè)向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)m是否在平面abc內(nèi)解：(1)由已知3 ，()()，即，共面(2)由(1)知，共面且過(guò)同一點(diǎn)m，所以四點(diǎn)m，a，b，c共面，從而點(diǎn)m在平面abc內(nèi)考點(diǎn)三利用空間向量證明平行、垂直|如圖所示的長(zhǎng)方體abcd­a1b1c1d1中，底面abcd是邊長(zhǎng)為2的正方形，o為ac與bd的交點(diǎn)，bb1，m是線段b1d1的中點(diǎn)(1)求證：bm平面d1ac；(2)求證：od1平面ab1c.證明(1)建立如圖所示的空間直

9、角坐標(biāo)系，則點(diǎn)o(1,1,0)，d1(0,0，)，(1，1，)，又點(diǎn)b(2,2,0)，m(1,1，)，(1，1，)，.又od1與bm不共線，od1bm.od1平面d1ac，bm平面d1ac，bm平面d1ac.(2)連接ob1，點(diǎn)b1(2,2，)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，·(1，1，)·(1,1，)0，·(1，1，)·(2,2,0)0， ，即od1ob1，od1ac，又ob1aco，od1平面ab1c.(1)設(shè)直線l1的方向向量為v1(a1，b1，c1)，l2的方向向量為v2(a2，b2，c2)，則l1l2v1v2(a1，b1，c1)k(a2，

10、b2，c2)(kr)(2)設(shè)直線l的方向向量為v(a1，b1，c1)，平面的法向量為n(a2，b2，c2)，則lvna1a2b1b2c1c20，lvn(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kr)(3)設(shè)平面的法向量為n1(a1，b1，c1)，平面的法向量為n2(a2，b2，c2)，則n1n2，n1n2.2.在長(zhǎng)方體abcd­a1b1c1d1中，aa12ab2bc，e，f，e1分別是棱aa1，bb1，a1b1的中點(diǎn)(1)求證：ce平面c1e1f；(2)求證：平面c1e1f平面cef.證明：以d為原點(diǎn)，da，dc，dd1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系d­x

11、yz，設(shè)bc1，則c(0,1,0)，e(1,0,1)，c1(0,1,2)，f(1,1,1)，e1.(1)設(shè)平面c1e1f的法向量n(x，y，z)，(1，0,1)，即令x1，得n(1,2,1)(1，1,1)，n·1210，cen.又ce平面c1e1f，ce平面c1e1f.(2)設(shè)平面efc的法向量為m(a，b，c)，由(0,1,0)，(1,0，1)，即令a1，得m(1,0,1)m·n1×(1)2×01×1110，平面c1e1f平面cef.16.混淆空間“向量平行”與“向量同向”致錯(cuò)【典例】已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，

12、b同向，則x，y的值分別為_解析由題意知ab，所以，即解得或當(dāng)時(shí)，b(2，4，6)2a，所以a，b兩向量反向，不符合題意，舍去當(dāng)時(shí)，b(1,2,3)a，a與b同向，所以答案x1，y3易誤點(diǎn)評(píng)只考慮ab，忽視了同向?qū)е虑蠼舛嘟夥婪洞胧﹥上蛄科叫泻蛢上蛄客虿皇堑葍r(jià)的，同向是平行的一種情況，兩向量同向能推出兩向量平行，但反之不成立，也就是說(shuō)兩向量同向是兩向量平行的充分不必要條件跟蹤練習(xí)(2015·成都模擬)已知a(1,0,2)，b(6,2u1,2)，若ab，則與u的值可以是()a2，b，c3,2 d2,2解析：由ab驗(yàn)證當(dāng)2，u時(shí)成立答案：aa組考點(diǎn)能力演練1(2015·深圳模

13、擬)已知三棱錐o­abc，點(diǎn)m，n分別為ab，oc的中點(diǎn)，且a，b，c，用a，b，c表示，則等于()a.(bca)b.(abc)c.(abc) d.(cab)解析：(cab)答案：d2已知四邊形abcd滿足：·>0，·>0，·>0，·>0，則該四邊形為()a平行四邊形 b梯形c長(zhǎng)方形 d空間四邊形解析：由·>0，·>0，·>0，·>0，知該四邊形一定不是平面圖形，故選d.答案：d3已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)若a，b，c三向量共面，

14、則實(shí)數(shù)等于()a. b.c. d.解析：由題意得ctab(2t，t4，3t2)，答案：d4(2016·東營(yíng)質(zhì)檢)已知a(1,0,0)，b(0，1,1)，與的夾角為120°，則的值為()a± b.c d±解析：(1，)，cos 120°，得±.經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去，.答案：c5設(shè)a(3,3,1)，b(1,0,5)，c(0,1,0)，ab的中點(diǎn)為m，則|cm|等于()a.b.c. d.解析：設(shè)m(x，y，z)，則x2，y，z3，即m，|cm| .故選c.答案：c6(2016·合肥模擬)向量a(2,0,5)，b(3,1，2)，c(

15、1,4,0)，則a6b8c_.解析：由a(2,0,5)，b(3,1，2)，c(1,4,0)，a6b8c(28，26，7)答案：(28，26，7)7已知向量a，b滿足條件：|a|2，|b|，且a與2ba互相垂直，則a與b的夾角為_解析：由于a與2ba互相垂直，則a·(2ba)0，即2a·b|a|20，所以2|a|b|cosa，b|a|20，則4cosa，b40，則cosa，b，所以a與b的夾角為45°.答案：45°8空間四邊形oabc中，oboc，且aobaoc，則cos，的值為_解析：··()··|cos，|

16、83;cos，oboc，aobaoc，·0，即，cos，0.答案：09(2016·唐山模擬)已知空間三點(diǎn)a(2,0,2)，b(1，1,2)，c(3,0,4)，設(shè)a，b.(1)求a和b夾角的余弦值(2)設(shè)|c|3，c，求c的坐標(biāo)解：(1)因?yàn)?1,1,0)，(1,0,2)，所以a·b1001，|a|，|b|.所以cosa，b.(2)(2，1,2)設(shè)c(x，y，z)，因?yàn)閨c|3，c，所以3，存在實(shí)數(shù)使得c，即聯(lián)立解得或所以c±(2，1,2)10(2016·太原模擬)如圖，直三棱柱abc­a1b1c1，底面abc中，cacb1，bca90

17、°，棱aa12，m，n分別是a1b1，a1a的中點(diǎn)(1)求的模(2)求cos，的值(3)求證：a1bc1m.解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系(1)依題意得b(0,1,0)，n(1，0,1)，所以|.(2)依題意得a1(1,0,2)，b(0,1,0)，c(0,0,0)，b1(0,1,2)所以(1，1,2)，(0,1,2)，·3，|，|，所以cos，.(3)依題意，得c1(0,0,2)，m，(1,1，2)，.所以·00，所以.所以a1bc1m.b組高考題型專練1(2014·高考廣東卷)已知向量a(1,0，1)，則下列向量中與a成60°夾角的是()a(1

18、,1,0) b(1，1,0)c(0，1,1) d(1,0,1)解析：經(jīng)檢驗(yàn)，選項(xiàng)b中向量(1，1,0)與向量a(1,0，1)的夾角的余弦值為，即它們的夾角為60°，故選b.答案：b2(2014·高考江西卷)如圖，在長(zhǎng)方體abcd­a1b1c1d1中，ab11，ad7，aa112.一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)a射向點(diǎn)e(4,3,12)，遇長(zhǎng)方體的面反射(反射服從光的反射原理)，將第i1次到第i次反射點(diǎn)之間的線段記為li(i2,3,4)，l1ae，將線段l1，l2，l3，l4豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是()解析：由對(duì)稱性知質(zhì)點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)e反射到平面abcd的點(diǎn)e1(8,6,0)處在坐標(biāo)平面xay中，直線ae1的方程為yx，與直線dc的方程y7聯(lián)立得f.由兩點(diǎn)間的距離公式得e1f，tane2e1ftaneae1，e2fe1f·tane2e1f4.e2f11248.故選c.答案：c3(2015·高考浙江卷)已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2.若空間向量b滿足b·e12，b·e2，且對(duì)于任意x，yr，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0r)，則x0_，y0_，|b|_.解