高三數(shù)學人教版A版數(shù)學（理）高考一輪復習教案：選修4－5　不等式選講 Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育選修45不等式選講1不等式的性質和絕對值不等式(1)能利用三個正數(shù)的算術平均幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最大(小)值的問題；了解基本不等式的推廣形式(n個正數(shù)的形式)(2)理解絕對值三角不等式的代數(shù)證明和幾何意義，能利用絕對值三角不等式證明一些簡單的絕對值不等式(3)掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式的解法2不等式的證明(1)了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，并能利用它們證明一些簡單不等式(2)能夠利用三維的柯西不等式證明一些簡單不等式，解決最大(小)值問題(3)理解數(shù)學歸納法的原理及其使用范

2、圍，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題知識點一絕對值不等式1絕對值三角不等式(1)定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當且僅當ab0時，等號成立；(2)定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當且僅當(ab)(bc)0時，等號成立2絕對值不等式的解集(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集：不等式a>0a0a<0|x|<ax|a<x<a|x|>ax|x>a或x<axr|x0r(2)|axb|c、|axb|c(c>0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|x

3、a|xb|c、|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法：利用絕對值不等式的幾何意義求解利用零點分段法求解構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解易誤提醒1對形如|f(x)|>a或|f(x)|<a型的不等式求其解集時，易忽視a的符號直接等價轉化造成失誤2絕對值不等式|a|b|a±b|a|b|中易忽視等號成立條件如|ab|a|b|當且僅當ab0時成立，其他類似推導自測練習1設a，b為滿足ab<0的實數(shù)，那么()a|ab|>|ab|b|ab|<|ab|c|ab|<|a|b| d|ab|<|a|b|解析：ab<0，|ab|a|b|>|ab|.答

4、案：b2若存在實數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,43不等式|x1|x2|1的解集是_解析：f(x)|x1|x2|當1<x<2時，由2x11，解得1x<2.又當x2時，f(x)3>1.所以解集為x|x1答案：1，)知識點二不等式的證明1基本不等式定理1：如果a，br，那么a2b22ab，當且僅當ab時，等號成立定理2：如果a，b>0，那么，當且僅當ab時，等號成立，即兩個正數(shù)的算術平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均定理3：如果a

5、，b，c全為正實數(shù)，那么，當且僅當abc時，等號成立2比較法(1)比差法的依據(jù)是：ab>0a>b.步驟是：“作差變形判斷差的符號”變形是手段，變形的目的是判斷差的符號(2)比商法：若b>0，欲證ab，只需證1.3綜合法與分析法(1)綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立(2)分析法：從要證的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義，公理或已證明的定理，性質等)，從而得出要證的命題成立4柯西不等式設a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等號當且僅

6、當adbc時成立易誤提醒(1)在使用作商比較法時易忽視說明分母的符號(2)在用綜合法證明不等式時，不等式的性質和基本不等式是最常用的在運用這些性質時，易忽視性質成立的前提條件自測練習4設ta2b，sab21，則s與t的大小關系是()astbs>tcst ds<t解析：stb22b1(b1)20，st.答案：a5已知x，y均為正數(shù)，且xy1，則的最大值為_解析：由柯西不等式得··.答案：考點一絕對值不等式的解法|1(2015·高考山東卷)不等式|x1|x5|<2的解集是()a(，4)b(，1)c(1,4) d(1,5)解析：當x<1時，不等式

7、可化為(x1)(x5)<2，即4<2，顯然成立，所以此時不等式的解集為(，1)；當1x5時，不等式可化為x1(x5)<2，即2x6<2，解得x<4，又1x5，所以此時不等式的解集為1,4)；當x>5時，不等式可化為(x1)(x5)<2，即4<2，顯然不成立，所以此時不等式無解綜上，不等式的解集為(，4)故選a.答案：a2(2015·南寧二模)已知函數(shù)f(x)|xa|.(1)若f(x)m的解集為x|1x5，求實數(shù)a，m的值；(2)當a2且0t2時，解關于x的不等式f(x)tf(x2)解：(1)|xa|m，maxma.ma1，ma5，a2，

8、m3.(2)f(x)tf(x2)可化為|x2|t|x|.當x(，0)時，2xtx,2t0，0t2，x(，0)；當x0,2)時，2xtx，x1，0x1，112，0x1；當x2，)時，x2tx，t2，當0t<2時，無解，當t2時，x2，)當0t<2時原不等式的解集為；當t2時x2，)求解該類問題的關鍵是去絕對值符號，常運用零點分段法去絕對值，此外還常利用絕對值的幾何意義求解考點二不等式的證明|不等式的證明是考查熱點、歸納起來常見的命題角度有：1比較法證明不等式2綜合法證明不等式3分析法證明不等式4放縮法證明絕對值不等式探究一比較法證明不等式1(2016·莆田模擬)設a，b是非

9、負實數(shù)求證：a2b2(ab)證明：因為(a2b2)(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab)(ab)(ab)因為a0，b0，所以不論ab0，還是0ab，都有ab與ab同號，所以(ab)(ab)0，所以a2b2(ab)探究二綜合法證明不等式2(2015·長春三模)(1)已知a，b都是正數(shù)，且ab，求證：a3b3>a2bab2；(2)已知a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.證明：(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因為a，b都是正數(shù)，所以ab>0.又因為ab，所以(ab)2>0.于是(ab)(ab)2>0，即(a3b3)(a2bab2)&

10、gt;0，所以a3b3>a2bab2.(2)因為b2c22bc，a2>0，所以a2(b2c2)2a2bc.同理b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，從而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正數(shù)，得abc>0，因此abc.探究三分析法證明不等式3已知a>b>c，且abc0，求證：<a.證明：要證<a，只需證b2ac<3a2.abc0，只需證b2a(ab)<3a2.只需證2a2abb2>0，只需證(ab)(2ab)>0，只需證(

11、ab)(ac)>0.a>b>c，ab>0，ac>0.(ab)(ac)>0顯然成立，故原不等式成立探究四放縮法證明絕對值不等式4已知x，yr，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1.證明：|x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對值不等式的性質，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3×2×1.即|x5y|1.證明不等式的常用方法有比較法、綜合法、分析法如果已知條件與待證結論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的，則考慮用反證法；如果待證不

12、等式與自然數(shù)有關，則考慮用數(shù)學歸納法等在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構造法等技巧簡化對問題的表述和證明考點三絕對值不等式的綜合應用|(2015·鄭州二檢)已知函數(shù)f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)<4|x1|；(2)已知mn1(m，n>0)，若|xa|f(x)(a>0)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)不等式f(x)<4|x1|，即|3x2|x1|<4.當x<時，即3x2x1<4，解得<x<；當x1時，即3x2x1<4，解得x<；當x>1時，即3x2x1<4，無解綜上所述，x.(2)(mn)

13、114，令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x時，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即0<a.(1)研究含有絕對值的函數(shù)問題時，根據(jù)絕對值的定義，分類討論去掉絕對值符號，將原函數(shù)轉化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結合解決問題，這是常用的思想方法(2)f(x)<a恒成立f(x)max<a.f(x)>a恒成立f(x)min>a. 設函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求證：f(x)1；(2)若f(x)成立，求x的取值范圍解：(1)證明：f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|1.(2)2，要使f(x)成立，需且只需|x1|x2|2，即或或解得x

14、或x，故x的取值范圍是.34.絕對值不等式中最值思想的應用【典例】(1)求函數(shù)f(x)|x1|x1|的最小值(2)若對任意實數(shù)x，不等式|x1|x2|>a恒成立，求a的取值范圍思考點撥利用絕對值不等式直接求最值解(1)|x1|x1|1x|x1|1xx1|2，當且僅當(1x)(x1)0，即1x1時取等號故當1x1時，函數(shù)f(x)|x1|x1|取得最小值2.(2)因為a<|x1|x2|對任意實數(shù)恒成立所以a<(|x1|x2|)min.因為|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以3|x1|x2|3.所以(|x1|x2|)min3.所以a<3，即a的取值范圍為(，3)方法點評(

15、1)要注意對原絕對值不等式進行轉化，使之適合用絕對值三角不等式求最值；(2)求最值時要注意等號成立的條件跟蹤練習(2015·遼寧協(xié)作體一模)已知函數(shù)f(x)|2x1|x|2.(1)解不等式f(x)0；(2)若存在實數(shù)x，使得f(x)|x|a，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)不等式f(x)0等價于或或解不等式組得x3，不等式組無解，解不等式組得x1，所求的不等式解集為(，31，)(2)f(x)|x|a，即為|2x1|2|x|2a|x|1.由絕對值的幾何意義，知|x|的最小值為，故要滿足題意，只需1a3.a組考點能力演練1已知|2x3|1的解集為m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|<

16、;m，求證：|x|<|a|1.解：(1)由不等式|2x3|1可化為12x31得1x2，m1，n2，mn3.(2)證明：若|xa|<1，則|x|xaa|xa|a|<|a|1.即x<|a|1.2(2016·唐山一模)已知函數(shù)f(x)|2xa|x1|.(1)當a1時，解不等式f(x)<3；(2)若f(x)的最小值為1，求a的值解：(1)因為f(x)|2x1|x1|且f(1)f(1)3，所以f(x)<3的解集為x|1<x<1(2)|2xa|x1|x1|0，當且僅當(x1)0且x0時，取等號所以1，解得a4或0.3已知a，b，c>0且互不相

17、等，abc1.試證明：<.證明：因為a，b，c>0，且互不相等，abc1，所以<，即<.4已知函數(shù)f(x)m|x2|，mr，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cr，且m，求za2b3c的最小值解：(1)f(x2)m|x|，f(x2)0等價于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1,1，m1.(2)由(1)知1，又a，b，cr，由柯西不等式得za2b3c(a2b3c)29，za2b3c的最小值為9.5(2016·大慶模擬)設函數(shù)f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式：f(x)>0；(2)若f

18、(x)3|x4|a1|對一切實數(shù)x均成立，求a的取值范圍解：(1)原不等式即為|2x1|x4|>0，當x4時，不等式化為12xx4>0，解得x<5，即不等式組的解集是x|x4當4<x<時，不等式化為12xx4>0，解得x<1，即不等式組的解集是x|4<x<1當x時，不等式化為2x1x4>0，解得x>5，即不等式組的解集是x|x>5綜上，原不等式的解集為x|x<1，或x>5(2)f(x)3|x4|2x1|2|x4|12x|2x8|(12x)(2x8)|9.由題意可知|a1|9，解得8a10，故所求a的取值范圍是a|8a10b組高考題型專練1(2015·高考重慶卷改編)若函數(shù)f(x)|x1|2|xa|的最小值為5，求實數(shù)a的值解：當a1時，f(x)3|x1|0，不滿足題意；當a<1時，f(x)，f(x)minf(a)3a12a5，解得a6；當a>1時，f(x)f(x)minf(a)a12a5，解得a4.2(2015·高考湖南卷)設a>0，b>0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a<2與b2b<2不可能同時成立證明：由ab，a>0，b>0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有a