人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：排列與組合

1、排列與組合知識(shí)講解一、基本計(jì)數(shù)原理1.加法原理分類計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，在第類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法又稱加法原理2.乘法原理分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個(gè)子步驟，做第一個(gè)步驟有種不同的方法，做第二個(gè)步驟有種不同方法，做第個(gè)步驟有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法又稱乘法原理3.加法原理與乘法原理的綜合運(yùn)用運(yùn)用：如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這

2、件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理二、排列與組合1.排列定義：一般地，從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列（其中被取的對(duì)象叫做元素）排列數(shù)：從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示排列數(shù)公式：，并且全排列：一般地，個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)不同元素的一個(gè)全排列的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示規(guī)定：2.組合定義：一般地，從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)元素中任取個(gè)元素的一個(gè)組合組合數(shù)：從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中，任

3、意取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示組合數(shù)公式：，并且組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)： ；（規(guī)定）3.排列組合綜合問題解排列組合問題，首先要用好兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時(shí)要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法。三、排列與組合解題的常用方法1.特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；2.分類分步法：對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計(jì)算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏3.排除法：從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法4.捆綁法：某

4、些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個(gè)”元素，與其它元素進(jìn)行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列5.插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空6.插板法：個(gè)相同元素，分成組，每組至少一個(gè)的分組問題把個(gè)元素排成一排，從個(gè)空中選個(gè)空，各插一個(gè)隔板，有7.分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）有等分、不等分、部分等分之別一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個(gè)數(shù)相等，必須除以！8.錯(cuò)位法：編號(hào)為1至的個(gè)小球放入編號(hào)為1到的個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，要求小球與盒子的編號(hào)都不同，這種排列稱為錯(cuò)位排列，特別當(dāng)，3，4，5時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1，2，9，4

5、4關(guān)于5、6、7個(gè)元素的錯(cuò)位排列的計(jì)算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)元素的錯(cuò)位排列的問題四、?？紗栴}以及解題途徑與策略1.排列與組合應(yīng)用題解題三種途徑：元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)求解時(shí)應(yīng)注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；再通過分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；最后列出式子計(jì)算作答2.具體的解題策略有：對(duì)特殊元素進(jìn)行優(yōu)先安排；理解題意后進(jìn)行合理和準(zhǔn)

6、確分類，分類后要驗(yàn)證是否不重不漏；對(duì)于抽出部分元素進(jìn)行排列的問題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復(fù)；對(duì)于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對(duì)于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法；順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理；對(duì)于正面考慮太復(fù)雜的問題，可以考慮反面對(duì)于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題，需要構(gòu)造模型經(jīng)典例題一選擇題（共6小題）1如圖，給7條線段的5個(gè)端點(diǎn)涂色，要求同一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)有（）a24b48c96d120【解答】解：第一類：若a，d相同，先涂e有4種涂法，再涂a，d有3種涂法，再涂b有2種涂法，c只有一種涂法，共有

7、4×3×2=24種，第二類，若a，d不同，先涂e有4種涂法，再涂a有3種涂法，再涂d有2種涂法，當(dāng)b和d相同時(shí)，c有1種涂法，當(dāng)b和d不同時(shí)，b，c只有一種涂法，共有4×3×2×（1+1）=48種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，共有24+48=72種，故選：c2某班級(jí)需要把6名同學(xué)安排到周一、周二、周三這三天值日，每天安排2名同學(xué)，已知甲不能安排到周一，乙和丙不能安排到同一天，則安排方案的種數(shù)為（）a24b36c48d72【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：、甲、乙、丙三人分在不同的三天值班，甲可以分在周二、周三，有2種安排方法，將乙、丙全排列，分在

8、其他2天，有a22=2種安排方法，剩余的3人，全排列，安排在周一、周二、周三這三天，有a33=6種安排方法，則此時(shí)有2×2×6=24種安排方法；，甲和乙、丙中的1人，安排在同一天值班，在乙、丙中選出1人，和甲一起分在周二、周三值班，有2×2=4種情況，剩余4人，平均分成2組，有12c42=3種分組方法，再將2組全排列，對(duì)應(yīng)剩下的2天值班，有a22=2種安排方法，則此時(shí)有4×3×2=24種安排方法；則有24+24=48種不同的安排方案，故選：c3福州西湖公園花展期間，安排 6 位志愿者到 4 個(gè)展區(qū)提供服務(wù)，要求甲、乙兩個(gè)展區(qū)各安排一個(gè)人，剩下兩

9、個(gè)展區(qū)各安排兩個(gè)人，不同的安排方案共有（）a90 種b180 種c270 種d360 種【解答】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：，在6位志愿者中任選1個(gè)，安排到甲展區(qū)，有c61=6種情況，在剩下的5個(gè)志愿者中任選1個(gè)，安排到乙展區(qū)，有c51=5種情況，將剩下的4個(gè)志愿者平均分成2組，全排列后安排到剩下的2個(gè)展區(qū)，有c42c22a22×a22=6種情況，則一共有6×5×6=180種不同的安排方案；故選：b4某校在教師交流活動(dòng)中，決定派2名語文教師，4名數(shù)學(xué)教師到甲乙兩個(gè)學(xué)校交流，規(guī)定每個(gè)學(xué)校派去3名老師且必須含有語文老師和數(shù)學(xué)老師，則不同的安排方案有（）種a10b11

10、c12d15【解答】解：根據(jù)題意，分2步分析：，2名語文教師必須每個(gè)學(xué)校1名，將2名語文老師全排列，安排到甲乙兩個(gè)學(xué)校，有a22=2種排法；，將4名數(shù)學(xué)老師分均分成2組，每組2人，再將分好的2組全排列，安排到甲乙兩個(gè)學(xué)校，有12c42×a22=6種情況，則有2×6=12種不同的安排方案；故選：c5有黑、白、紅三種顏色的小球各5個(gè)，都分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，現(xiàn)取出5個(gè)，要求這5個(gè)球數(shù)字不相同但三種顏色齊備，則不同的取法種數(shù)有（）a120種b150種c240種d260種【解答】解：根據(jù)題意，取出的5個(gè)球有三種顏色且數(shù)字不同，分2步進(jìn)行分析：，先把取出的5個(gè)球分成3組，可

11、以是3，1，1，也可以是1，2，2；若分成3，1，1的三組，有c53c21c11a22=10種分組方法；若分成1，2，2的三組，有c51c42c22a22=15種分組方法；則共有10+15=25種分組方法，讓三組選擇三種不同顏色，共有a33=6種不同方法則共有25×6=150種不同的取法；故選：b6將5名報(bào)名參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的同學(xué)分別安排到跳繩、接力，投籃三項(xiàng)比賽中（假設(shè)這些比賽都不設(shè)人數(shù)上限），每人只參加一項(xiàng)，則共有x種不同的方案；若每項(xiàng)比賽至少要安排一人時(shí)，則共有y種不同的方案，其中x+y的值為（）a543b425c393d275【解答】解：根據(jù)題意，若每人只參加一項(xiàng)，則5人中，每人都

12、有3種選報(bào)的方法，則一共有3×3×3×3×3=35=243種方案，即x=243，其中只有2項(xiàng)比賽有人報(bào)名的有c32×（2×2×2×2×22）=90種，只有1項(xiàng)比賽有人報(bào)名的有c31=3種，則每項(xiàng)比賽至少要安排一人則安排方法有243903=150種，則x+y=243+150=393；故選：c二填空題（共4小題）7從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成1260個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)（用數(shù)字作答）【解答】解：從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字有c52種方法，從2，4，6

13、，0中任取2個(gè)數(shù)字不含0時(shí)，有c32種方法，可以組成c52c32a44=720個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；含有0時(shí)，0不能在千位位置，其它任意排列，共有c31c31c52a33=540，故一共可以組成1260個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)故答案為：126084名同學(xué)去參加3 個(gè)不同的社團(tuán)組織，每名同學(xué)只能參加其中一個(gè)社團(tuán)組織，且甲乙兩位同學(xué)不參加同一個(gè)社會(huì)團(tuán)體，則共有54種結(jié)果【解答】解：根據(jù)題意，先計(jì)算4名同學(xué)去參加3 個(gè)不同的社團(tuán)組織的情況數(shù)目，4個(gè)同學(xué)中每人可以在3 個(gè)不同的社團(tuán)組織任選1個(gè)，即每人有3種不同的選法，則4人有3×3×3×3=81種情況，再計(jì)算甲乙參加同一

14、個(gè)社團(tuán)組織的情況數(shù)目，若甲乙參加同一個(gè)社團(tuán)組織，甲乙兩人有3種情況，剩下的2人每人有3種不同的選法，則剩下的2人有3×3=9種情況，則甲乙參加同一個(gè)社團(tuán)組織的情況有3×9=27種；則甲乙兩位同學(xué)不參加同一個(gè)社團(tuán)組織的情況有8127=54種；故答案為：549將一個(gè)4×4正方形棋盤中的8個(gè)小正方形方格染成紅色，使得每行、每列都恰有兩個(gè)紅色方格，則有90種不同的染色方法【解答】解：第一行染2個(gè)紅色方格有c42種染法；第一行染好后，有如下三種情況：第二行的紅色方格均與第一行的紅色方格同列，這時(shí)其余行都只有1種染法；第二行染的紅色方格與第一行的紅色方格均不同列，這時(shí)第三行有c42種染法，第四行的染法隨之確定；第二行染的紅色方格恰有一個(gè)與第一行的紅色方格同列，而第一、第二這兩行染好后，第三行的紅色方格必然有一個(gè)與上面的紅色方格均不同列，這時(shí)第三行的染法有2種，第四行染法隨之確定因此，共有染法為：6×（1+6+4×2）=90（種）故答案為：9010聯(lián)合國(guó)際援助組織計(jì)劃向非洲三個(gè)國(guó)家援助糧食和藥品兩種物資，每種物資既可以全部給一個(gè)國(guó)家，也可以由其中兩個(gè)或三個(gè)國(guó)家均分，若每個(gè)國(guó)家都要有物資援助，則不同的援助方案有2