高考文科數(shù)學圓錐曲線專題復習

1、優(yōu)秀教案歡迎下載高三文科數(shù)學專題復習之圓錐曲線知識歸納：名 稱橢圓雙曲線圖 象xoyxoy定 義平面內(nèi)到兩定點21,ff的距離的和為常數(shù)（大于21ff）的動點的軌跡叫橢圓 即amfmf221當 2a2c時，軌跡是橢圓，當2a 2c時 ， 軌 跡 是 一 條 線 段21ff當 2a2c時，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點21,ff的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于21ff）的動點的軌跡叫雙曲線即122mfmfa當 2a2c時，軌跡是雙曲線當 2a2c時，軌跡是兩條射線當 2a2c時，軌跡不存在標準方 程焦點在x軸上時：12222byax焦點在y軸上時：12222bxay注：根據(jù)分母的大小來判斷焦點在哪一坐標

2、軸上焦點在x軸上時：12222byax焦點在y軸上時：12222bxay常數(shù)cba,的關系222bca，0ba，a最大，bcbcbc,222bac，0acc最大，可以bababa,漸近線焦點在x軸上時：0 xyab焦點在y軸上時：0yxab拋物線：優(yōu)秀教案歡迎下載圖形xyoflxyofl方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx焦點)0,2(p)0 ,2(p)2,0(p)2,0(p準線2px2px2py2py（一）橢圓 1. 橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程)0( 12222babyax（1）范圍：axb-a，xa，橢圓落在bya，x組成的矩形中。（2）對稱性 : 圖象

3、關于y 軸對稱。圖象關于x 軸對稱。圖象關于原點對稱。原點叫橢圓的對稱中心，簡稱中心。 x 軸、 y 軸叫橢圓的對稱軸。從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距。（3）頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點橢圓共有四個頂點：)0,(),0 ,(2aaaa，),0(),0(2bbbb。加兩焦點)0,(),0 ,(21cfcf共有六個特殊點。21aa叫橢圓的長軸，21bb叫橢圓的短軸。長分別為ba 2,2。ba,分別為橢圓的長半軸長和短半軸長。橢圓的頂點即為橢圓與對稱軸的交點。（4）離心率：橢圓焦距與長軸長之比。ace2)(1abe。10e。橢圓形狀與e的關系：0,0 ce，橢圓變圓， 直至

4、成為極限位置圓，此時也可認為圓為橢圓在0e時的特例。, 1ace橢圓變扁，直至成為極限位置線段21ff，此時也可認為是橢圓在1e時的特例。 2. 橢圓的第二定義：一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個) 1 ,0(內(nèi)常數(shù)e，那么這個點的軌跡叫做橢圓。其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數(shù)e就是離心率。橢圓的第二定義與第一定義是等價的，它是橢圓兩種不同的定義方式 3. 橢圓的準線方程對于12222byax，左準線caxl21:；右準線caxl22:對于12222bxay，下準線cayl21:；上準線cayl22:優(yōu)秀教案歡迎下載焦點到準線的距離cbccaccap2222（焦參數(shù)）（二

5、）雙曲線的幾何性質(zhì)： 1. （1）范圍、對稱性由標準方程12222byax，從橫的方向來看，直線x a,x a 之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大， y 的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線。雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心。（2）頂點頂點：0,),0,(21aaaa，特殊點：bbbb, 0), 0(21實軸：21aa長為 2a,a 叫做實半軸長。虛軸：21bb長為 2b，b 叫做虛半軸長。雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異。（3）漸近線過雙曲線12222byax的漸近線xaby（0byax）（4）離心率雙曲線的焦

6、距與實軸長的比acace22，叫做雙曲線的離心率范圍： e1 雙曲線形狀與e 的關系：1122222eacaacabk， e 越大，即漸近線的斜率的絕對值就越大， 這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知， 雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊。 2. 等軸雙曲線定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。等軸雙曲線的性質(zhì)： （1）漸近線方程為：xy； （2）漸近線互相垂直； （3）離心率2e。 3. 共漸近線的雙曲線系如果已知一雙曲線的漸近線方程為xaby)0(kxkakb，那么此雙曲線方程就一定是：)0( 1)()(2222kkbykax或?qū)懗?222byax。 4. 共軛雙曲線以已知

7、雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區(qū)別：三量 a,b,c中 a,b 不同（互換） c 相同。共用一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1 變?yōu)?1。 5. 雙曲線的第二定義：到定點f 的距離與到定直線l的距離之比為常數(shù))0(acace的點的軌跡是雙曲線。其中，定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線。常數(shù)e 是雙曲線的離心率。 6. 雙曲線的準線方程：優(yōu)秀教案歡迎下載對于12222byax來說，相對于左焦點)0,(1cf對應著左準線caxl21:， 相對于右焦點)0,(2cf對應著右準線caxl22:；焦

8、點到準線的距離cbp2（也叫焦參數(shù)） 。對于12222bxay來說，相對于下焦點), 0(1cf對應著下準線cayl21:； 相對于上焦點), 0(2cf對應著上準線cayl22:。（三）拋物線的幾何性質(zhì)（1）范圍因為 p0，由方程022ppxy可知，這條拋物線上的點m的坐標（ x，y）滿足不等式x0，所以這條拋物線在y 軸的右側(cè)；當x 的值增大時，|y| 也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。（2）對稱性以 y 代 y，方程022ppxy不變，所以這條拋物線關于x 軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。（3）頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點在方程022ppxy中，當y0

9、 時， x0，因此拋物線022ppxy的頂點就是坐標原點。（4）離心率拋物線上的點m與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e 表示。由拋物線的定義可知， e1?！镜湫屠}】例 1. 根據(jù)下列條件，寫出橢圓方程（1）中心在原點、以對稱軸為坐標軸、離心率為1/2 、長軸長為8；（2）和橢圓9x24y236 有相同的焦點，且經(jīng)過點（2， 3） ；（3）中心在原點，焦點在x 軸上，從一個焦點看短軸兩端的視角為直角，焦點到長軸上較近頂點的距離是510。分析：求橢圓的標準方程，首先要根據(jù)焦點位置確定方程形式，其次是根據(jù)a2 b2c2 及已知條件確定 a2、 b2 的值進而寫出標準方程。解

10、： （1）焦點位置可在x 軸上，也可在y 軸上優(yōu)秀教案歡迎下載因此有兩解：112x16y112y16x2222或（ 2）焦點位置確定，且為（0，5） ，設原方程為22221yxab, （ ab0） ，由已知條件有14952222baba10,1522ba，故方程為110 x15y22。（3）設橢圓方程為12222byax, （ab0）由題設條件有510cacb及 a2b2c2，解得 b10,5 a故所求橢圓的方程是15y10 x22。例 2. 直線1kxy與雙曲線1322yx相交于 a 、b兩點，當a為何值時， a 、b在雙曲線的同一支上？當a為何值時， a、 b分別在雙曲線的兩支上？解：把1

11、kxy代入1322yx整理得：022)3(22axxa（ 1）當3a時，2424a由0 得6a6且3a時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點若 a、b在雙曲線的同一支，須32221axx0，所以3a或3a。故當36a或63a時， a、b兩點在同一支上；當33a時， a、b兩點在雙曲線的兩支上。例 3. 已知拋物線方程為)1x(p2y2（p0） ，直線myxl :過拋物線的焦點f 且被拋物線截得的弦長為3，求 p 的值。解：設l與拋物線交于1122(,),(,),|3.a xyb xyab則由距離公式 |ab| |yy|2|yy|k11)yy()x-(x21212221221優(yōu)秀教案歡迎下載則

12、有2129().2yy由02yx，) 1(221222ppy，xpypyx得消去.,2.04)2(2212122pyypyypp從而212212214)()(yyyyyy即294)2(22pp由于 p0，解得43p例 4.過點 (1 ，0) 的直線 l 與中心在原點，焦點在x 軸上且離心率為22的橢圓 c相交于 a、b兩點，直線 y=21x 過線段 ab的中點，同時橢圓c 上存在一點與右焦點關于直線l 對稱，試求直線l 與橢圓 c的方程. 解法一：由e=22ac, 得21222aba, 從而 a2=2b2,c=b. 設橢圓方程為x2+2y2=2b2,a(x1,y1),b(x2,y2)在橢圓上

13、. 則 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12 x22)+2(y12 y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy設 ab中點為 (x0,y0),則 kab= 002yx, 又(x0,y0)在直線 y=21x 上， y0=21x0, 于是002yx=1,kab=1, 設 l 的方程為y=x+1. 右焦點 (b,0) 關于 l 的對稱點設為(x ,y ), byxbxybxy111221解得則由點 (1,1 b) 在橢圓上，得1+2(1 b)2=2b2,b2=89,1692a. 所求橢圓c的方程為2291698yx =1,l的方程為y=x+1. 解法二

14、：由e=21,22222abaac得, 從而 a2=2b2,c=b. 設橢圓 c的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x 1), 將 l 的方程代入c的方程，得 (1+2k2)x2 4k2x+2k2 2b2=0, bay=12xoyxf2f1優(yōu)秀教案歡迎下載則 x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x11)+k(x2 1)=k(x1+x2) 2k=2212kk. 直線 l ：y=21x 過 ab的中點 (2,22121yyxx), 則2222122121kkkk, 解得 k=0，或 k=1. 若 k=0, 則 l 的方程為y=0, 焦點 f(c,0) 關于直線l 的對稱點就是f

15、 點本身，不能在橢圓c上，所以k=0 舍去，從而k=1，直線 l 的方程為y=(x 1), 即 y=x+1, 以下同解法一. 解法 3：設橢圓方程為) 1( )0( 12222babyax直線l不平行于y 軸，否則ab中點在 x 軸上與直線abxy過21中點矛盾。故可設直線)2()1( xkyl的方程為整理得：消代入y) 1()2()3(02)(2222222222bakaxakxbak)()(2211yxbyxa，設，22222212bakakxx知：代入上式得：又kxxkyy2)(212121221xxkk，212222222akbakkk，2122kabkk，22e又122)(22222

16、222eacaabk，xyl1的方程為直線，222ba此時，02243)3(22bxx化為方程，0)13(8)1(241622bb33b，)4(22222byxc的方程可寫成：橢圓，2222bbac又，)0( ，右焦點bf，)(00yxlf，的對稱點關于直線設點，則byxbxybxy112121000000，得：在橢圓上，代入，又點)4()11(b22)1(21bb，3343b，1692b，892a所以所求的橢圓方程為：11698922yx例 5.如圖，已知 p1op2的面積為427，p為線段 p1p2的一個三等分點，求以直線op1 、op2為漸近線且過點 p的離心率為213的雙曲線方程. 優(yōu)

17、秀教案歡迎下載解：以 o為原點， p1op2的角平分線為x 軸建立如圖所示的直角坐標系. 設雙曲線方程為2222byax=1(a0,b 0) 由 e2=2222)213()(1abac，得23ab. 兩漸近線op1 、 op2方程分別為y=23x 和 y=23x 設點 p1(x1, 23x1),p2(x2,23x2)(x1 0,x2 0), 則由點 p分21pp所成的比 =21pppp=2, 得 p點坐標為 (22,322121xxxx), 又點 p在雙曲線222294ayax=1上，所以222122219)2(9)2(axxaxx=1, 即(x1+2x2)2 (x1 2x2)2=9a2, 整

18、理得 8x1x2=9a2 ,427131241321sin|211312491232tan1tan2sin21349| ,21349|212121121212222212121121xxoppopopsoxpoxpoppxxxopxxxopopp又即 x1x2= 29由、得a2=4,b2=9 故雙曲線方程為9422yx=1. 例 6. 已知點 b（ 1，0） ，c（1，0） ，p是平面上一動點，且滿足.|cbpbbcpc（1）求點 p的軌跡 c對應的方程；（2）已知點 a（m,2）在曲線 c上，過點 a作曲線 c的兩條弦 ad和 ae ，且 ad ae ，判斷：直線de是否過定點？試證明你的結(jié)

19、論. （3） 已知點 a （m,2） 在曲線 c上，過點 a作曲線 c的兩條弦ad ， ae ， 且 ad ， ae的斜率 k1、 k2 滿足 k1 k2=2.求證：直線de過定點，并求出這個定點. 解： （ 1）設.4,1)1(|),(222xyxyxcbpbbcpcyxp化簡得得代入oyxpp2p1優(yōu)秀教案歡迎下載).2, 5(),5(12,0)2()5()2(),14(444424:).24, 14(4),1(12:).24, 14(,242,0484,4) 1(2).2, 1(, 14)2,()2(222222221222過定點即化簡得方程為則直線得代入同理可設直線可得由得代入的方程為

20、設直線的坐標為點得代入將xkkyyxkykkxkkkkkydekkexyxkyaekkdkyykykyxyxkyadamxyma),1,(21212,2,0)2(24),(),(, 14)2,()3(212211222211112xxxyxykkbxkbxkxybkxyyxeyxdbkxydemxymaaead得由的方程為設直線得代入將)2, 1(,),2, 1(,2)1(22).2, 1(,2)1(22).2().2(,)2(,)2(2, 02)2()(22()2(,2222212212212122211定點為舍去不合過定點得代入將過定點得代入將代入化簡得將且xkkkxybkxykbxkkk

21、xybkxykbkbkbkbkbxxkkbxxbxxkkbxxkbkxybkxy【模擬試題】 （答題時間： 50 分鐘）一、選擇題 1. 是任意實數(shù)，則方程4sin22yx所表示的曲線不可能是（） a. 橢圓 b. 雙曲線 c. 拋物線 d. 圓 2. 已知橢121)(1222tyx的一條準線方程是8y，則實數(shù)t的值是（） a. 7或 7 b. 4 或 12 c. 1 或 15 d. 0 3. 雙曲線1422kyx的離心率)2, 1 (e，則k的取值范圍為（） a. )0 ,( b. （ 12，0） c. （ 3，0） d. （ 60， 12）優(yōu)秀教案歡迎下載 4. 以112422yx的焦點為

22、頂點，頂點為焦點的橢圓方程為（） a. 1121622yxb. 1161222yx c. 141622yxd. 116422yx 5. 拋物線28mxy的焦點坐標為（） a. )0,81(mb. )321,0(mc. )321,0(md. )0 ,321(m 6. 已知點 a（ 2，1） ，xy42的焦點為f，p是xy42的點，為使pfpa取得最小值，p點的坐標是（） a. )1 ,41( b. )22 ,2( c. )1,41( d. )22, 2( 7. 已知雙曲線的漸近線方程為043yx，一條準線方程為095y，則雙曲線方程為（） a. 116922xyb. 116922yx c. 12

23、5922xyd. 125922yx 8. 拋物線2xy到直線42yx距離最近的點的坐標為（） a. )45,23(b. )1 ,1 (c. )49,23(d. )4,2( 9. 動圓的圓心在拋物線xy82上，且動圓與直線02x相切，則動圓必過定點（） a. （4， 0） b. （ 2，0） c. （0，2） d. （0， 2） 10 中心在原點，焦點在坐標為(0 ， 52) 的橢圓被直線3xy2=0 截得的弦的中點的橫坐標為21，則橢圓方程為( ) 12575d.17525c.1252752b.1752252a.22222222yxyxyxyx二、填空題 11. 到定點（ 2，0）的距離與到定

24、直線8x的距離之比為22的動點的軌跡方程為_。優(yōu)秀教案歡迎下載 12.雙曲線2222mymx的一條準線是1y，則m_。 13. 已知點（ 2， 3）與拋物線)0(22ppxy的焦點距離是5，p_。 14 直線l的方程為y=x+3, 在l上任取一點p，若過點p且以雙曲線12x24y2=3 的焦點作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為_。三、解答題 15. 已知雙曲線的中心在原點，過右焦點 f （2， 0） 作斜率為53的直線， 交雙曲線于m 、 n 兩點，且mn4，求雙曲線方程。 16. 過橢圓13422yx的左焦點f作直線l交橢圓于p、q，2f為右焦點。求：22qfpf的最值 17. 已知

25、橢圓的一個焦點為f102 2()， 對應的準線方程為y9 24， 且離心率e滿足23，e、43成等比數(shù)列。（1）求橢圓的方程。（2）試問是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點m 、n，且線段 mn恰被直線x12平分？若存在，求出l的傾角的取值范圍，若不存在，請說明理由。 18. 如圖所示， 拋物線 y2=4x 的頂點為o， 點 a的坐標為 (5，0) ， 傾斜角為4的直線 l 與線段 oa相交 ( 不經(jīng)過點 o或點 a)且交拋物線于m 、n兩點，求 amn 面積最大時直線l 的方程，并求amn 的最大面積 . 優(yōu)秀教案歡迎下載【試題答案】 1. c 2. c 3. b 4. a 5. b 6

26、. a 7. a 8. b 9. b 10.c 11. 13672)4(22yx 12. 3413. 4 14.4522yx =1 15. 解：設所求雙曲線方程為1byax2222（a0，b0） ，由右焦點為（2，0） 。知 c2，b24a2 則雙曲線方程為142222byax，設直線mn的方程為：)2(53xy，代入雙曲線方程整理得：（208a2） x212a2x5a432a20 設 m （x1,y1 ）,n（x2,y2 ）, 則222182012aaxx22421820325aaaxx212124531xxxxmn482032548201258224222aaaaa解得：12a，3142b故所求雙曲線方程為：1322yx16. 解：直