橢圓的極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用

1、橢圓的極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用如圖，傾斜角為沒且過橢圓+的右焦點尺的直線/交橢圓c于凡（2兩點，橢ia zrc的離心率為e,焦準(zhǔn)距為廠，請利用橢圓的第二定義推導(dǎo)并證詠pf2 qf2為定值例2. （07年伽已知橢圓+ + i 過凡的直線交橢圓于兒c兩點，且ac丄bz）,垂足為p,求四邊形ascd的面積的最值.21的左、右焦點分別為f , f2.過f的直線交橢圓于漢£兩點改為：拋物線，2=2/u（/?0）呢?練習(xí)2. （05年全國ib p、q、m、"四點雛楠圓上，f為橢圓在y軸正半軸上的焦點.已知&與0共線，與線，且& = 0.求四邊形pmqn的面積的最小值和最大值.

2、9例1. （10年全國ii）己知橢圓（；：+人=1/?0）的離心率為 a b一2過右焦點f且斜率為0）的a, b兩點，直線/的傾斜角為60°，亞=2河，求橢固c的離心率;例3. （07年重慶理）如圖，中心在原點0的橢圓的右焦點為廠（3,0）,右準(zhǔn)線/的方程為x = 12. （i ）求橢圓的方程；（ii）在橢圓上任取三個不同點f，p2,使zp、fp2 = zp2fp3 = zp3fp”證明：+為定值，并求此定值.ifpj fp2fp3yar2 v2推廣：己知橢圓十3a 一=1(“60), f是橢圓的右焦點,在橢圓上任取"個不同點，若"1 n=乙p“fpn= zpnf

3、plfi= 一，你能證明嗎？lpfi ep2 2練習(xí)3. (08年福建理科)如圖，橢圓 + = 1(6/70)的一個焦點是/：(1,0)，o為坐標(biāo)原點. 6r b 一(i) 己知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；(ii) 設(shè)過點f的直線/交橢圓于a、s兩點.若直線/繞點f任意轉(zhuǎn)動，值有|04|2+|(95|2<|4糾2,求0的取值范圍.作業(yè) r (os=標(biāo)原點，則045的面積為.作業(yè)2. (09年全國，)己知橢圓c：f + /=1的右焦點為f，右準(zhǔn)線，點什，線段af交c于點b。若 河=3風(fēng)求w。作業(yè)3. （is年四市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系；中，四邊形z45

4、cd的頂點都在橢圓2 2i + t二1（“/?0）上，對角線ac與分別過橢圓的左焦點g（-1，0）和右焦點廠2（1，0）,且4c丄橢圓的一條準(zhǔn)線方程為x = 4（1）求橢圓方程；（2）求四邊形abcz）面積的取值范圍。練習(xí)4. （08年安徽文）己知橢圓c:i + 4 = l（f/?0），其相應(yīng)于焦點f（2, 0）的準(zhǔn)線方程為x=4. er b “（i）求橢圓c的方程；（ii）己知過點&（-2,0傾斜角為e的直線交橢圓c于4, s兩點.求證：|圳=4 a ;11 2-cos'e（iii）過點fu-2,0）作兩條互相垂直的直線分別交楠圓c于點4、s和d、f,求+的最小值.作業(yè)s.己

5、知以f為焦點的拋物線y2=4x上的兩點a、b滿足亞=3而，求弦ab的中點到準(zhǔn)線的距離.參考答案:解析：設(shè)7,，.x?5=3ftt，？j,=-3y1,.x*.e=3 ta=2t,c=vr3"t,b=t,?.xi+4y1-4t1=0.二&線 ab方租為t,代入消去+4 )y +2 v了 aty-t =0，2vtstt 、2>/t«t. »7i+y產(chǎn)-uft-，-2y產(chǎn)-i，-打1=g +4a +4a +4上工解得 cos q= ' 、t bpk-tan g=v2"0 例 1.3.-vtbx(c-2a)vaf=2f=t 且a 0=丄1 -

6、cos 01 +ecoft g2_.解得6=三.練習(xí)1.3例2.(n)以f,為極點，*軸正方向的射線f.x為極軸建立極坐柝系，則橢圓$ +=l(a > 6 > 0)的極坐標(biāo)方程為p =為離心率，p為焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離).不妨沒z4f.x = 0(0° c 90°)，由 4c 丄 fld,得 zhf.x = + 90°, zcf.x =+ 180°,zdf.x = 0 + 270°.從1 xf, 1 = 1 垂了枝， flf, 1 = 1 - ecos% 4- 90°)»i .4c i = i /if, 1 +

7、1 f, c i =ep1 - ecos(0 + 270c2epsin* 0，于是s1 cf, 1 = 1 - ec«s( + 180°)* 1 df, 1 = r-'eco»(0 + 270°) 2ep2e2p21 e2 sinj 01 -+ 4sin2 6coa2 d，令 x = sin2(0 c x <1 - e2 + sin2201).則s = 4.注意到式1 + e4 x4在0,1上單調(diào)遞減，及e =故a r c當(dāng)x = 1吋,四邊形4的面積ft小,最小值為二;當(dāng)* =0時，四邊形xflcd (a + ft j的面積最大，烺大值為

8、262 .當(dāng)'=3,a2 =2 時，四邊形a bcd的面積的ft小值和最大值分別為§和4.綜上，四邊形？tflcd的面積的最小值為§.解：問題等價于如ffl所示橢圓中四邊形的 面積.= 0+-練習(xí)2.zqox = 0+冗，znox =e+a | opa i oqepi 一 ecos ep1 一 cos(n)i k3i = |qp 1+1031 = 0+押spmqnmn pq e2 .2(1 e2 cos2 ff) (1 e2 sin2 茯)3nt(1)由已知魯=1，不難求得6 =譬、p=f = l 代人(1)式化簡得1spmqn =(l-ycos2)(l-ysin2

9、ff)同理，i cim丨i on1 ecos(+ -y )1 一 ecos(汐 +3丌，了i mn 1 = 1 om | + | ion2ef)1 sin2建立如右圖 極坐標(biāo)系，設(shè) pox = e，則而(l-cos2tf)(l-sin)-| + sine 如為167spmqn 2， 2例3解：m設(shè)橢圓方程為戸安1.因焦點為f(3,0),故半焦距c = 3.又右準(zhǔn)線/的方程為x = i,從而由己知c=12,6t2 = 36 , c因此 “ =6, /? = yja2 c2 = v27 = 3v3.r2 v2故所求橢圓方程為i + l = l.3627(ii)方法一:記橢圓的右頂點為a,并設(shè)zaf

10、 = .(z = 1,2,3),不失一般性2tt2tt4k假設(shè)叫 < =+, = + 132133'3fp fp2 fp3 3（定值）方法二:記橢圓的右頂點為a,并設(shè)aafp.t=et（i = 1,2,3）,不失一般性假設(shè)0巧<二，且 7tt4teh +,<93 = 0 + ,另設(shè)點 p（xz，x），則=| 乃/7 | cos 4-3, > =| ptf | sin .點 f：在醐上，.（ileos3）2 +（llsin= r3627=9（2 + cos 3） （/ = 1，2,3），以下同方法一fp2 fp3 3（定值）又設(shè)點f在/上的射影為0,因橢圓的離心率

11、e = - = -f據(jù)橢圓第二定義得ma 2i fpt 1=1 />2, e = （-c-fpi cos 0）e= -（9-fp cos di） （z = 1，2,3）-2p3/1 2 19（i+了 cos6） （z=i，2,3）.fpx fp2 fp, 93 + （cos 0 + cos（j + -） + cos（0 +又 cos +cos（q + 警）+ cos（0 += cos d -cos -香 sing - * cos $ 4-sin =0推廣：引理 1: cos沒+ cos（沒 + y5） + cos（6 + 2/?） + . + cos（0+n/?） =sin（cos（）

12、2 2.pin -sin證明：cossin = sin（汐+）-sin（汐一） 2 2 2 2cos（汐+/?） sin 香=去sin（<9 +sin（沒 + 昏）2-（2）n + 1）cos（沒+nj3） sin= sin（沒 + hill. （3、一 sin（沒 + 一- /3、2 2 2 2將上述n + 1個式子相加得cos 夕 + cos（沒 + /?） + " + cos（沒 + nj3） sin * =去sin（汐 + 夕）一 sin（沒一去夕）.（" + i）y9n（isin cos（沒 + cos 沒 + cos（沒 + #） + h cos（沒 +

13、n/3）=22sin 2證明:記橢圓的右頂點為a,并設(shè)aafpt = 0人i = 1，2,n），不失一般性假設(shè)osq義，且伏=3+義， = 3+義，慫= q + 2(n-1)n nnnn又設(shè)點e在z上的射影為q,據(jù)橢圓第二定義得| fp |=| e = (c-fpicqsdi)e (z. = l，2<"，n)c網(wǎng)b 1-(1 + cos.) (z = l，2，."，").問=吾n me w + *) + + co 綱 + )sincos(, + (nsin;rcos( +在引理 1 中，令汐=q2,則cos3 + cos +) + + cos(3 + 2(n

14、1)；r) nnn=0nsinnasin:.y-，.b2練習(xí)3.解法一：(i)設(shè)從#為短軸的兩個三等分點，因為拗f為正三角形，/?所以 |of| = + |m/v|，即2 3“2+1二4,因此楠圓方程為去4(11)設(shè)/4(戔，)、)，fi(x2,y2).(i)當(dāng)直線m與;r軸重合時，oa2 ob2 =2aabf =4a2(a2 > ),因此，恒有|o4|2+|(?s|2<|ab|2.(ii)當(dāng)直線必不與z軸重合時，2 2設(shè)直線必的方程為：；c = m)，+ l,代入七+備=1, cr zr整理得(<? + w) / + 2b2 my + b2- a2b2 = 0,2b2 mb

15、2-a2b2所以;v + h = 2丄以2 ovv2= 2丄門2 2a +/? ma +b m因為恒有oaf + ob2 <ab2，所以z恒為鈍角.即c>aq9b = (.tpy,)e(jr2,y2) = x1x2 + y1>,2 <0恒成立.vi + vi v2 = wi + 1)+ y,>2=(m2+ 1)v2 + m(y + 凡)+1x"_(m2 + l)(/?2-“2/?2)2b2 m1a2 + b2 m2ci2 + b2nra2 + b2 fn2又 o2+b2m2>0,所以-m2cr2b2+b2-a2jb2+a2<0 對 me r

16、恒成立， 即 a2b2m2> a2 -o2b2+b2 對 mg r 恒成立.當(dāng) me r 時，a2b2m2 最小值為 0，所以 a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2f o2<( a2-l)b2= b因為 o>0,b>0,所以 cr<b2,即 a2-a-l>0,城姻1 + w寸公土、日n 1 + v5解得cr> 一:一或cr<:(舍去)，即o>-綜合（i） go, 0的取值范圍為（ 解法二。1 + 75+ oo )解（1）容易求得橢圓方程為v + y二 43（2）設(shè)線/的傾斜角為供沒e0、n），則由橢岡的極坐標(biāo)方程

17、可得11epa2 -1一 , 1 +ecosff « + cos/?ep一 1=r-#i 一 ecos/9 a cos 沒由于|cm|2 = of2 +|/ff|2 2ofafcos0=1 + |叫2+2 網(wǎng) cos 沒，ob' =of2 +|5f|： -2ofbfcoso = l + |f-2|5f|cos<9,=(|/if|+|tff|)2 =af2 +bf2afbf ,故直線/繞點f任意轉(zhuǎn)動，恒有|cm|2+|叫2 <ab即對任意的，恒有 |f|sf|>1 + (|f|-| bf)cos0,即對任意的棺志(g2 一 d2 、一 (2a2 1)cos&#

18、39; 0 a2 - cos2 0 一a2 - cos2 6*即對任意的沒<0,7c),-.(/* i)2 a"n1 2, > -cosz?,2-1因為。>1，一cos60,即(2-l)2-a2>0 ,解得i解以怖閱的右掩點廠為極點人為極軸，建立 極坐標(biāo)奈，沒4h待，點呢矩離為dm和 2，解得 siii=，cos/#=5vt5"，上=4,由于是心=w.1bi"= $，11 /?|）,4/j2=:+ 5l+w（te2ep5v了所以aai棚面則 1 z m m 1 5v了 2v了 5 t凡s=fr 相=xx=.22353作業(yè)1.作業(yè)2【解析】本小題考査橢圓的準(zhǔn)線、向量的運用、橢|的定義，基礎(chǔ)題解:過點b作胃丄/于m，并設(shè)右準(zhǔn)線/與x軸的交點為n,易知fn=1.由, 2二3fb,故|=.又由橢作業(yè)的第二定義，得 | bf|二呈二 af=2.18,（本小題滿分16分）解由題意:c= i t = 4， c則 o = 2，c = 1 則 a2 = £i2 -= 3 故此時橢圓方程為士 +f = 1.4 j（2沒四邊形z5cd面積為&'2分4分2若xc與丑d斜率均存在不奶設(shè)的料率為4i)1 uml“ |4413w<1*相助垂4a*ubi>.l,w5f, v，打，-。>/(12(1 ob* 111e