排列組合講義知識(shí)分享

1、此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除排列組合方法篇一、兩個(gè)原理及區(qū)別1.分類計(jì)數(shù)原理 ( 加法原理 )Nm1m2Lmn2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）Nm1m2Lmn二、排列數(shù)公式排列數(shù)公式1Am = n(n 1) (n m 1) =n！ .( n ， m N * ，且 mn )注 :規(guī)定 0! 1.n(nm)！排列恒等式2（ 1） AmnAm 1（） AmAmmAm 1nn 1 ;2n 1nn.會(huì)推以下恒等式3（ 1） Anm(n m 1) Anm 1 ;（ 2） Anm（ 3） nAnnAnn 11Ann ;（4） 1!三、組合數(shù)公式m= n( n1組合數(shù)公式Cnm = Anm1)Am

2、1 22組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)（ 1） m =n mCnCn四、 排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系n nm Anm 1 ;2 2!3 3! Ln n!( n1)! 1.(n m1)n！( n N * ， m N ，且 m n ).m=m！ (nm)！;（2）Cnm + Cnm 1 = Cnm1 .注：規(guī)定 Cn01 .Amm！C m.nn五、二項(xiàng)式定理公式：排列組合解法(1)(ab) nC n0 anC n1an 1b1.Cn k an kbk.Cn nbn(n N* )特殊元素優(yōu)先排；nkn kk(2)Tk 1Cn ab（ 3）C nr= 2n合理分類與分步；r 0(4)Cn1C n3C n5LC n0Cn2

3、C n4L2n 1.先選后排解混合；正難則反用轉(zhuǎn)化；六、排列組合應(yīng)用解決排列組合一般思路 :相鄰問題來捆綁；間隔插空處理法 ;1.審題要清定序需要用除法；2.分步還是分類分排問題直接法；3.排列還是組合集團(tuán)問題先整體；4.牢記右側(cè)方法有的問題選模型。只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除常見題型歸類及決策：一. 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略1、 由 0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).位置分析法和元素分析法C41A 43C31位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法, 若以元素分析為主, 需先安排特殊元素 , 再處理其它元素 . 若

4、以位置分析為主 , 需先滿足特殊位置的要求, 再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件2、有 7 種不同的花種在排成一列的花盆里 , 若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？二. 相鄰元素捆綁策略1. 7人站成一排 , 其中甲乙相鄰且丙丁相鄰 , 共有多少種不同的排法 .甲乙丙丁要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素 ,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.2. 某人射擊 8 槍，命中 4 槍，4 槍命中恰好有 3 槍連在一起的情形的不同種數(shù)為。三. 不相鄰問題

5、插空策略1. 一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有 4 個(gè)舞蹈 ,2 個(gè)相聲 ,3 個(gè)獨(dú)唱 , 舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng) , 則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩2. 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5 個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目 . 如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為四. 定序問題倍縮空位插入策略1. 7 人排隊(duì) , 其中甲乙丙 3 人順序一定共有多少不同的排法定序問題可以用倍縮法(元素），還可轉(zhuǎn)化為占位插（位置）2. 10 人身高各不相等 , 排成前后排，每排 5 人, 要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排

6、法？只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除五. 重排問題求冪策略1. 把 6 名實(shí)習(xí)生分配到 7 個(gè)車間實(shí)習(xí) , 共有多少種不同的分法允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地 n 不同的元素沒有限制地安排在 m 個(gè)位置上的排列數(shù)為 mn 種2. 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5 個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目 . 如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為3、某 8 層大樓一樓電梯上來 8 名乘客 , 他們到各自的一層下電梯 , 下電梯的方法六. 環(huán)排問題線排策略1. 8 人圍桌而坐 , 共有多少種坐

7、法 ?CDBEAABCDEFGHAFHG一般地 ,n 個(gè)不同元素作圓形排列,共有 (n-1)! 種排法 .如果從 n 個(gè)不同元素中取出m 個(gè)元素作圓形排列共有1 Amnn2. 6 顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈七. 多排問題直排策略1. 8 人排成前后兩排 , 每排 4 人, 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法前排后排一般地 ,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研八. 排列組合混合問題先選后排策略1. 有 5 個(gè)不同的小球 , 裝入 4 個(gè)不同的盒內(nèi) , 每盒至少裝一個(gè)球 , 共有多少不同的裝法 .解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆

8、綁策略相似嗎?2. 一個(gè)班有 6 名戰(zhàn)士 , 其中正副班長(zhǎng)各 1 人現(xiàn)從中選 4 人完成四種不同的任務(wù) ,每人完成一種任務(wù) , 且正副班長(zhǎng)有且只有 1 人參加 , 則不同的選法有種只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除九. 小集團(tuán)問題先整體后局部策略1. 用 1,2,3,4,5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾在 1, 兩個(gè)奇數(shù)之間 , 這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。2. 計(jì)劃展出 10 幅不同的畫 , 其中 1 幅水彩畫 , 幅油畫 , 幅國(guó)畫 , 排成一行陳列, 要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那

9、么共有陳列方式的種數(shù)為3.5男生和女生站成一排照像, 男生相鄰 , 女生也相鄰的排法有種十. 元素相同問題隔板策略1. 有 10 個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給 7 個(gè)班，每班至少一個(gè) , 有多少種分配方案？一二三四五六七班班班班班班班將 n 個(gè)相同的元素分成m 份（ n，m 為正整數(shù)） ,每份至少一個(gè)元素,可以用 m-1 塊隔板，插入 n 個(gè)元素排成一排的n-1 個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為 Cnm112. 10 個(gè)相同的球裝 5 個(gè)盒中 , 每盒至少 1 個(gè)，有多少裝法？3. x y z w 100 求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)十一 . 正難則反總體淘汰策略1. 從 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

10、這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和偶數(shù) , 不同的取法有多少種？有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.2. 我們班里有 43 位同學(xué) , 從中任抽 5 人, 正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種 ?十二 . 平均分組問題除法策略1. 6 本不同的書平均分成 3 堆, 每堆 2 本共有多少分法？平均分成的組 ,不管它們的順序如何,都是一種情況 ,所以分組后要一定要除以Ann ( n 為均分的組數(shù) )避免重復(fù)計(jì)數(shù)。2、將 13 個(gè)球隊(duì)分成 3 組, 一組 5 個(gè)隊(duì) , 其它兩組 4 個(gè)隊(duì) ,有多少分法？3、 10 名學(xué)生分成

11、3 組, 其中一組 4 人,另兩組 3 人, 但正副班長(zhǎng)不能分在同一組, 有多少種不同的分組方法3. 某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4 名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除個(gè)班級(jí)且每班安排2 名，則不同的安排方案種數(shù)為_十三 .合理分類與分步策略1. 在一次演唱會(huì)上共 10 名演員 , 其中 8 人能能唱歌 ,5 人會(huì)跳舞 , 現(xiàn)要演出一個(gè) 2 人唱歌 2 人伴舞的節(jié)目 , 有多少選派方法解含有約束條件的排列組合問題， 可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類， 按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步， 做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題

12、過程的始終。2. 從 4 名男生和 3 名女生中選出 4 人參加某個(gè)座談會(huì)，若這 4 人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有3. 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 號(hào)船最多乘 3 人, 2 號(hào)船最多乘 2 人,3 號(hào)船只能乘 1 人, 他們?nèi)芜x 2 只船或 3 只船 , 但小孩不能單獨(dú)乘一只船 , 這 3 人共有多少乘船方法 .十四 . 構(gòu)造模型策略1. 馬路上有編號(hào)為 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路燈 , 現(xiàn)要關(guān)掉其中的 3 盞, 但不能關(guān)掉相鄰的 2 盞或 3 盞, 也不能關(guān)掉兩端的 2 盞, 求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模

13、型，如占位填空模型，排隊(duì)模型， 裝盒模型等，可使問題直觀解決2. 某排共有 10 個(gè)座位，若 4 人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？十五 . 實(shí)際操作窮舉策略1. 設(shè)有編號(hào) 1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)盒子 , 現(xiàn)將 5 個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi) , 要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同 , 有多少投法 ?5343號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果2. 同一寢室 4 人, 每人寫一張賀年卡集中起來 , 然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同

14、的分配方式有多少種？3. 給圖中區(qū)域涂色 , 要求相鄰區(qū)域不同色 , 現(xiàn)有 4 種可選顏色 , 則不同的著色方法有 種只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除13245十六 .分解與合成策略1. 30030 能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除2. 正方體的 8 個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個(gè)復(fù)雜問題分解成幾個(gè)小問題逐一解決 ,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案,每個(gè)比較復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略十七 . 化歸策略1. 25 人排成 5×5 方陣 , 現(xiàn)從中選 3 人,

15、要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 不同的選法有多少種？處理復(fù)雜的排列組合問題時(shí)可以把一個(gè)問題退化成一個(gè)簡(jiǎn)要的問題，通過解決這個(gè)簡(jiǎn)要的問題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來的問題2. 某城市的街區(qū)由 12 個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從 A 走到 B 的最短路徑有多少種？BA十八 . 數(shù)字排序問題查字典策略1由 0，1，2，3，4，5 六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)的比324105 大的數(shù)？數(shù)字排序問題可用查字典法 , 查字典的法應(yīng)從高位向低位查 , 依次求出其符合要求的個(gè)數(shù) , 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。2. 用 0,1,2,3,4,5 這六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù)

16、, 將這些數(shù)字從小到大排列起來 , 第 71 個(gè)數(shù)是十九 . 樹圖策略13 人相互傳球 , 由甲開始發(fā)球 , 并作為第一次傳球 , 經(jīng)過 5 次傳求后 , 球仍回到只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除甲的手中 , 則不同的傳球方式有 _N10對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，樹圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果2. 分別編有 1，2，3，4，5 號(hào)碼的人與椅，其中 i 號(hào)人不坐 i 號(hào)椅（ i 1,2,3,4,5 ）的不同坐法有多少種？二十 . 復(fù)雜分類問題表格策略1有紅、黃、蘭色的球各 5 只, 分別標(biāo)有 A、B、C、D、E 五個(gè)字母 , 現(xiàn)從中取 5 只 , 要求各字母均有且三色齊備 , 則共有多少種不同的取法一些復(fù)雜的分類選取題 ,要滿足的條件比較多 , 無從入手 ,經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況 ,用表格法 ,則分類明確 ,能保證題中須滿足的條件 ,能達(dá)到好的效果 .二十一：住店法策略解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以