淺談?shì)o助函數(shù)在初等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、    淺談?shì)o助函數(shù)在初等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用    辛小剛摘 要：通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)對(duì)初等數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的分解因式、證明整除性問(wèn)題、確定參數(shù)的取值范圍以及解方程與方程解的個(gè)數(shù)討論等四類一般問(wèn)題給予巧妙解答或證明。關(guān)鍵詞：輔助問(wèn)題；輔助函數(shù)；解題在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，人們往往會(huì)碰到各種各樣的障礙，不能簡(jiǎn)潔地給出答案。數(shù)學(xué)教育家g.波利亞指出：“人的高明之處就在于當(dāng)他碰到一個(gè)不能直接克服的障礙時(shí)，他就會(huì)繞過(guò)去；當(dāng)原來(lái)的問(wèn)題看起來(lái)似乎不好解時(shí)，就想出一個(gè)合適的輔助問(wèn)題”。構(gòu)造輔助的問(wèn)題，并不是只是為了它本身，而是要通過(guò)輔助問(wèn)題來(lái)幫助我們解決原來(lái)的問(wèn)題，這才是我們要達(dá)

2、到的目的，而輔助問(wèn)題就只是我們用來(lái)達(dá)到目的的手段，是將原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁。輔助函數(shù)是數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造的輔助問(wèn)題中的一種，它是在數(shù)學(xué)問(wèn)題提供的信息的基礎(chǔ)上構(gòu)造的函數(shù)，然后再利用這個(gè)函數(shù)的特性來(lái)進(jìn)行求解。構(gòu)造輔助函數(shù)，就是把原來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成容易解決的輔助函數(shù)問(wèn)題，其解題過(guò)程是：數(shù)學(xué)問(wèn)題m輔助問(wèn)題g解決f解決m全面把握數(shù)學(xué)問(wèn)題所提供的信息：即問(wèn)題本身的特點(diǎn)、背景、需要以及與其他問(wèn)題之間的聯(lián)系，運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)認(rèn)真地觀察，深入地思考，然后構(gòu)造出輔助函數(shù)，這是解題的關(guān)鍵。這個(gè)構(gòu)造過(guò)程是一個(gè)從特殊到一般的過(guò)程。反過(guò)來(lái)，運(yùn)用輔助函數(shù)返回去解決原來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題又是一個(gè)從一般到特殊的過(guò)程。利用輔助問(wèn)題

3、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，也表明不少數(shù)學(xué)問(wèn)題從一般化入手更容易得到解決?！耙话恪北取疤厥狻备鼮樯羁痰胤从持挛锏谋举|(zhì)，啟發(fā)我們從普通的聯(lián)系中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解題的途徑。在初等數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有不少問(wèn)題是用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法求解的，我們通過(guò)對(duì)一些典型命題在證明中構(gòu)造的輔助函數(shù)，討論構(gòu)造輔助函數(shù)的一些技巧。一、 分解因式【例5】和【例6】把題目中已知的條件或者要證結(jié)論重新組合成一種新的關(guān)系，即構(gòu)造輔助函數(shù)，然后借助函數(shù)圖象的直觀性以及相關(guān)性，將抽象或隱含的條件清晰化，從而化難為易，解決問(wèn)題。構(gòu)造輔助函數(shù)可沿以下兩條思路去思考：一是如果考查的問(wèn)題有明顯的幾何意義，那可憑借幾何直觀引出必然聯(lián)系來(lái)構(gòu)造函數(shù)；二是通過(guò)恒等變形

4、，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等價(jià)的更加簡(jiǎn)潔的形式，從中找出必然聯(lián)系，構(gòu)造輔助函數(shù)，這種“執(zhí)果索因”的方法比之前的方法更為廣泛適用。由于函數(shù)的內(nèi)涵極為豐富，蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)思想，因而用輔助函數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)問(wèn)題，借助函數(shù)思想方法來(lái)解決這些問(wèn)題有很大的應(yīng)用空間，通過(guò)引進(jìn)輔助函數(shù)還可以解決其他大量相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。輔助函數(shù)解題法是解題的一個(gè)常用且十分有效的方法，只要我們用心分析各類數(shù)學(xué)問(wèn)題與函數(shù)的直接或間接聯(lián)系，大膽聯(lián)想、猜測(cè)、推理，然后利用轉(zhuǎn)化運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，就可構(gòu)造出合適的輔助函數(shù)，創(chuàng)造出巧妙簡(jiǎn)捷的解題方法。參考文獻(xiàn)：1馬振民.數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講m.蘭州：蘭州大學(xué)出版社，1999.2孫倬旺.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用m.哈爾濱：