小學(xué)奧數(shù)經(jīng)典應(yīng)用題和倍問題(三).題庫版

1、6-1-5.和倍問題.題庫教師版page 1 of 7日 tM 作 教學(xué)目標(biāo)1 .學(xué)會(huì)分析題意并且熟練的利用線段圖法能夠分析和倍問題2 .掌握尋找和倍的方法解決問題.知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)說明：和倍問題就是已知兩個(gè)數(shù)的和以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)各是多少的問題.解答此類應(yīng)用題時(shí)要根據(jù)題目中所給的條件和問題，畫出線段圖，使數(shù)量關(guān)系一目了然，從而找出解題 規(guī)律，正確迅速地列式解答。和倍問題的特點(diǎn)是已知兩個(gè)數(shù)的和與大數(shù)是小數(shù)的幾倍，要求兩個(gè)數(shù)，一般是把較小數(shù)看作1倍數(shù)，大數(shù)就是幾倍數(shù)，這樣就可知總和相當(dāng)于小數(shù)的幾倍了，可求出小數(shù)，再求大數(shù)和倍問題的數(shù)量關(guān)系式是：和Y倍數(shù)+1 ）=小數(shù)小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)

2、 或和一小數(shù)=大數(shù)如果要求兩個(gè)數(shù)的差，要先求1份數(shù)：l份數(shù)X倍數(shù)1）=兩數(shù)差.解決和倍問題，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)畫線段圖，這樣可以幫助我們更好的弄清各數(shù)量之間的關(guān)系。目 W 蚱 例題精講【例【例 1 1】某項(xiàng)競(jìng)賽分一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)，每個(gè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是每個(gè)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的2倍，每個(gè)二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是每個(gè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的2倍.如果評(píng)出一、二、三等獎(jiǎng)各2人，那么每個(gè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是308元.如果評(píng)出1個(gè)一等獎(jiǎng)，2個(gè)二等獎(jiǎng)，3個(gè)三等獎(jiǎng)，那么一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是多少元？【考點(diǎn)】和倍問題【難度】5星【題型】解答【解析】【解析】我們把每個(gè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金看作1份，那么每個(gè)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金是2份，每個(gè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金則是4份.當(dāng)一、二、 三等獎(jiǎng)各評(píng)2

3、人時(shí)，2個(gè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金之和是（308父2）元，2個(gè)二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金之和等于1個(gè)一等獎(jiǎng)的 獎(jiǎng)金308元，2個(gè)三等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金等于1個(gè)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金（308+2）元.所以獎(jiǎng)金總額是：308 M2 +308+308n=1078元.當(dāng)評(píng)1個(gè)一等獎(jiǎng)，2個(gè)二等獎(jiǎng)，3個(gè)三等獎(jiǎng)時(shí)，1個(gè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金看做4份，2個(gè)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金2m2=4（份），3個(gè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的份數(shù)是1父3 = 3（份），總份數(shù)就是：4 + 4+3 = 11（份）.這樣，可以求出1份數(shù)為1078r1 =98元，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為：98M4 =392（元）.【答案】392元【例【例 2 2】有5堆蘋果，較小的3堆平均有18個(gè)蘋果，較大的2堆，蘋果數(shù)之差為5個(gè)；又較大的3堆

4、平均有 蘋果26個(gè)，較小的2堆蘋果之差為7個(gè)；最大堆與最小堆平均有22個(gè)蘋果，問：各堆各有多少個(gè)蘋果？6-1-5.和倍問題6-1-5.和倍問題.題庫教師版page 2 of 7【考點(diǎn)】和倍問題【難度】5星【題型】解答【解析】方法二：作圖表示題目各個(gè)量之間的關(guān)系能讓復(fù)雜的關(guān)系看起來簡(jiǎn)潔明了且不易混亂，用下圖表示 它們的關(guān)系：差為5個(gè)，得知次大堆比最大堆少5個(gè)蘋果；較小的2堆蘋果之差為7個(gè)，說明次小堆比最小堆多7個(gè)蘋果，因此，得知次小堆和次大堆之和為：445+7=46（個(gè)），這樣最大堆、最小堆、次大堆、次小堆四堆蘋果數(shù)量之和是：44+46 = 90（個(gè)），較大的3堆蘋果之和：26x3=78（個(gè)），

5、較小的3堆蘋果之和：18M3 =54（個(gè)），較大的3堆蘋果和較小的3堆蘋果總和等于最大堆、次大堆、最小 堆、次小堆以及2個(gè)中間堆的數(shù)量之和.所以，中間堆的數(shù)量是：（78+54-90） +2=21（個(gè)），最大堆與次大堆的和是：78-21 =57（個(gè)）， 最大堆有蘋果：（57+5）+2=31（個(gè)），次大堆有：57-31 = 26（個(gè)），同理最小堆有蘋果：（54-21 7）2=13（個(gè)），次小堆有蘋果：13+7=20（個(gè)）.方法一：最大堆與最小堆共22父2 = 44個(gè)蘋果.較大的2堆與較小的2堆共44x2+7-5=90個(gè)蘋果.所以中間的一堆有：（18父3+26M390）+ 2 =21個(gè)蘋果；較大的2

6、堆有：26 M3-21 =57個(gè)蘋果；最大的一堆有：（57 +5尸2=31個(gè)蘋果;次大的一堆有：57 -31 =26個(gè)蘋果；較/、的2堆有：18M321=33個(gè)蘋果；次小的一堆有：（33 +7尸2 =20個(gè)蘋果;最小的一堆有：20-7 =13個(gè)蘋果.【答案】最小的有13個(gè)，次小的有20個(gè)，中間的有21個(gè)，次大的有26,最大的有31例 3 3食堂買來 5 5 只羊，每次取出兩只合稱一次重量，得到1010 種不同重量（單位：千克）：47,47, 50,50, 51,51,52,52, 53,53, 54,54, 55,55, 57,57, 58,58, 59.59.問：這五只羊各重多少千克？【考點(diǎn)

7、】和倍問題【難度】5星【題型】解答【解析】 可以設(shè)定羊的重量從輕到重分別為A , B , C , D , E.則A + B=47, D+E=59.同時(shí)不難整體分 析得至U A+B +C +D +E =（47 +50 +51 +52 +53+54+55+57 +58+ 59廣4 =134千克.則C =1344759=28千克.不難有A+C=50, E+C =58.則A =22千克，E=30千克，B = 25千克，D=29千克.【答案】這五只羊重為：22, 25, 28, 29, 30例 4 4某小學(xué)五年級(jí)和六年級(jí)參加創(chuàng)新杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽共有1616 人，其中：五年級(jí)的學(xué)生比六年級(jí)的學(xué)生多；六年級(jí)的男

8、生比五年級(jí)的男生多；五年級(jí)的男生比五年級(jí)的女生多；六年級(jí)的女生至少有1 1 人.那么六年級(jí)的男生有 人.【考點(diǎn)】和倍問題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，湖北省，第六屆，創(chuàng)新杯【解析】因 五年級(jí)的學(xué)生比六年級(jí)的學(xué)生多 ”，故五年級(jí)學(xué)生至少有9人，而六年級(jí)學(xué)生至多有7人；因五7E7E2堆，蘋果數(shù)之最大堆與最小堆平均22個(gè)，那么最大堆與最小堆一共有22父2=44（個(gè)）；較大的6-1-5.和倍問題.題庫教師版page 3 of 7年級(jí)男生比五年級(jí)的女生多 ”，所以五年級(jí)男生至少有5人；因 六年級(jí)男生比五年級(jí)男生多 ，所以 六年級(jí)男生至少有6人，而六年級(jí)男生不能多于6人，否則再加上六年級(jí)的

9、女生至少有1人，則六 年級(jí)的學(xué)生人數(shù)就會(huì)多于7人，這不可能.因此，六年級(jí)的男生恰好有有6人.【關(guān)鍵詞】6人【例5】 某校師生共為地震災(zāi)區(qū)捐款462000462000 元，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，他們各自所捐的錢數(shù)， 共有 1010 種不同檔次.最低檔次共有 1010 人，而每上升一個(gè)檔次，捐款人數(shù)就減少1 1 人；且從第二檔次開始，以后各檔次的捐款錢數(shù)，分別為最低檔次的 2 2 倍、3 3 倍、4 4 倍1010 倍，那么捐款最多的人捐款元.【考點(diǎn)】和倍問題【難度】4星【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2010年，迎春杯，四年級(jí)，初試，9題【解析】本題是一道和倍問題，最高檔次是1個(gè)人，恰好是最低檔次10人合捐的10

10、倍,則把最低檔次10人看作款最多的人捐款為2100 M 0=21000元【答案】21000元【例6】()A、B、C、D、E五人坐在一起聊天.小明想知道這五個(gè)人的年齡和.可五人都沒有直接回答.E說：A、R C、D四個(gè)人的年齡和 101101 歲”.D說：B、C、E三個(gè)人的年齡和 105105 歲”.C說：“A、B、D、E四個(gè)人的年齡和115115 歲”.B說：A、D、E三個(gè)人的年齡和8080 歲”.A A 說：A、C、D三個(gè)人的年齡和 6666 歲”.請(qǐng)問：五人的年齡和是 歲?！究键c(diǎn)】和倍問題【難度】4星【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2007年，迎春杯，中年級(jí)組，復(fù)試，5題【解析】這是一道應(yīng)用題，考察

11、的是同學(xué)們整體觀察的能力.將5人說的話列成下表:ABC CD DE年齡和1 11011011 11 1SOSO1 11 11 11151151 11 1166661 11 1105105從整體看問題：A共用4次，B共用3次，C共用3次，D共用4次，E共用3次.所以，將B、C、E再補(bǔ)上一次，A、R C、D、E就各用4次.所以五人的年齡和是(101 +80 +115+65 +105 M2) -4 =133 .【答案】133【例 7 7】有兩盒圍棋子。第一盒中的白子數(shù)量是黑子數(shù)量的9 9 倍，第二盒中的黑子數(shù)量是白子數(shù)量的9 9 倍：兩盒中白子的總數(shù)是黑子總數(shù)的4 4 倍，那么第一盒中棋子的數(shù)量是第

12、二盒中棋子數(shù)量的 倍?！究键c(diǎn)】和倍問題【難度】3星【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2008年，迎春杯，三年級(jí)，初賽，12題【解析】逐步操作法.假設(shè)第一盒中有1個(gè)黑子，9個(gè)白子，第二盒中有9個(gè)黑子，1個(gè)白子，此時(shí)兩盒中白 子的總數(shù)是黑子總數(shù)的(9+1) + (9+1) =1倍，不滿足4倍，所以要再添第一盒的棋子，我們可以 加至第一盒棋子數(shù)量的2倍、3倍依次可算出兩盒中白子的總數(shù)是黑子總數(shù)的幾倍，發(fā)現(xiàn)加至第一盒棋子數(shù)量的7倍時(shí)，兩盒中白子的總數(shù)是黑子總數(shù)的4倍，即第一盒中棋子的數(shù)量是第二盒中棋子數(shù)量的7倍.【答案】7倍例 8 8盒子里有紅球和白球若干，若每次從里面拿出1個(gè)紅球和1個(gè)白球，那么當(dāng)拿到?jīng)]有紅球

13、時(shí)，還剩下白球50個(gè)，若每次拿出1個(gè)紅球和3個(gè)白球，則拿到?jīng)]有白球時(shí)，還剩下50個(gè)紅球，那么盒子 里有紅球和白球各多少個(gè)？【考點(diǎn)】和倍問題【難度】3星【題型】解答1份，則共10X1+9X2+8X3+7X4+5X6+2X 9+1 04=620220=2100元，則最高檔次即捐6-1-5.和倍問題.題庫教師版page 4 of 7【解析】方法一：第二次拿到?jīng)]有白球的時(shí)候還剩下50個(gè)紅球，因此如果再增加150個(gè)白球，可以使得每次拿出1個(gè)紅球和3個(gè)白球”兩種球都不剩下，這樣增加150個(gè)白球后，按照第一種取法，白球會(huì)剩下50+150=200（個(gè)），這說明白球增加150個(gè)后，白球的數(shù)量是紅球的3倍且白球比

14、紅球多200個(gè)，轉(zhuǎn)化為差倍問題，所以，紅球的數(shù)量是200+2=100（個(gè)），此時(shí)白球的數(shù)量是：100 x3=300（個(gè)），不過這個(gè)數(shù)量是白球增加150個(gè)之后的結(jié)果，所以原來盒子里有白球300-150=150（個(gè)），紅球100個(gè).方法二：用下圖表示它們的關(guān)系：5050 個(gè)紅球-1-! 好白球-1-1-i把紅球的數(shù)量減去50個(gè)看做“1倍量”，可以得到，“2倍量”的數(shù)量是（50+50）個(gè).所以 紅球的數(shù)量有50 + （50 +50） +2 =100（個(gè)），白球的數(shù)量比紅球多50個(gè)，有100 + 50 =150（個(gè)） .可以看出作圖表示簡(jiǎn)潔明了得多，也更容易發(fā)現(xiàn)隱含的關(guān)系.【答案】紅球100,白球15

15、0【例 9 9】一家汽車銷售店有若干部福特汽車和豐田汽車等待銷售。福特汽車的數(shù)量是豐田汽車的3 3 倍，如果每周銷售 2 2 輛豐田汽車和 4 4 輛福特汽車，豐田汽車銷售完時(shí)還剩下 3030 輛福特汽車請(qǐng)問：原有豐田汽 車和福特汽車各多少輛？【考點(diǎn)】和倍問題【難度】4星【題型】解答【解析】 假設(shè)福特汽車的數(shù)量是3份，豐田車白數(shù)量是1份，根據(jù)福特車銷售量是豐田車的兩倍知道，銷售 完一份豐田車肯定要銷售完2份福特車，也就是說當(dāng)豐田車銷售完的時(shí)候，福特車應(yīng)該只剩下1份，所以我們知道1份數(shù)量是30,那么原來的豐田車和福特車就分別應(yīng)有30輛和90輛?！敬鸢浮控S田30輛，福特90輛【例 1010】超市運(yùn)

16、來一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的顆數(shù)比巧克力糖的3 3 倍還多 1010 顆.售貨員將這些糖包裝成相同的小袋，每袋內(nèi)裝了3 3 顆巧克力糖和 7 7 顆水果糖.最后巧克力糖全部裝完，水果糖還剩下 170170 顆.請(qǐng)問：這批糖果共有幾顆水果糖，幾顆巧克力糖？【考點(diǎn)】和倍問題【難度】4星【題型】解答【解析】由題意，如果每袋里裝3顆巧克力糖和9顆水果糖，則只剩下10顆水果糖；現(xiàn)在每袋里裝了3顆巧 克力糖和7顆水果糖，結(jié)果剩下了170顆水果糖.由此可以算出總的袋數(shù)為：（170 -10）-（9 7） =80（袋）， 因此水果糖總數(shù)為80X7+170=730（顆），巧克力糖總數(shù)為80M3=240（顆

17、）.【答案】共有730顆，巧克力有240顆【例 1111】 某日停電，房間里燃起了長(zhǎng)、短兩根蠟燭，它們?nèi)紵俣仁且粯拥?開始時(shí)長(zhǎng)蠟燭是短蠟燭長(zhǎng)度的2倍，當(dāng)送電后吹滅蠟燭，發(fā)現(xiàn)此時(shí)長(zhǎng)蠟燭是短蠟燭長(zhǎng)度的3倍.短蠟燭燃燒掉的長(zhǎng)度是5厘米.問原來兩根蠟燭各有多長(zhǎng)？【考點(diǎn)】和倍問題【難度】5星【題型】解答【解析】我們要注意發(fā)掘題目中真正的不變量，實(shí)際上本題中兩根蠟燭的長(zhǎng)度差是不變的（因?yàn)閮筛灎T燃燒的速度一樣）.所以我們根據(jù)題意可知：原長(zhǎng)蠟燭長(zhǎng)度=2倍原短蠟燭長(zhǎng)度，差為1倍原短蠟燭長(zhǎng)度； 后長(zhǎng)蠟燭長(zhǎng)度=3倍后短蠟燭長(zhǎng)度，差為2倍后短蠟燭長(zhǎng)度；所以原短蠟燭長(zhǎng)度=2倍后短蠟燭長(zhǎng)度， 也就是說短蠟燭燃燒了1倍

18、后短蠟燭長(zhǎng)度，為5厘米，所以原短蠟燭長(zhǎng)10厘米，原長(zhǎng)蠟燭長(zhǎng)20厘米.6-1-5.和倍問題.題庫教師版page 5 of 7【答案】原短蠟燭長(zhǎng)10厘米，原長(zhǎng)蠟燭長(zhǎng)20厘米【鞏固】【鞏固】 某日停電，房間里同時(shí)點(diǎn)燃了兩支同樣長(zhǎng)的蠟燭.這兩支蠟燭的質(zhì)量不同，一支可以維持3小時(shí)，另一支可以維持5小時(shí)，當(dāng)送電時(shí)吹滅蠟燭，發(fā)現(xiàn)其中一支剩下的長(zhǎng)度是另一支剩下長(zhǎng)度的3倍.這次停電時(shí)間是多少小時(shí)？【考點(diǎn)】和倍問題【難度】5星【題型】解答【解析【解析】?jī)芍灎T長(zhǎng)度相同，一支可以維持3小時(shí)，另一支可以維持5小時(shí)，所以從兩支蠟燭中取相同長(zhǎng)度的 部分，可以燃燒的時(shí)間之比為3:5.現(xiàn)在可以維持5小時(shí)的那支蠟燭剩下的長(zhǎng)度是

19、另外一支的3倍，所以剩下的部分可以燃燒的時(shí)間是另外一只剩下部分可以燃燒時(shí)間的3黑5子3=5倍，由于燃燒了相同的時(shí)間，所以這支剩下的部分可以燃燒的時(shí)間比另外一只剩下部分可以燃燒的時(shí)間要長(zhǎng)53=2小時(shí).所以另外一支剩下的部分可以燃燒的時(shí)間為2+(5-1) =0.5小時(shí)，這次停電的時(shí)間為30.5 =2.5小時(shí).【答案】這次停電的時(shí)間為2.5小時(shí)【例【例 1212】下面有三道加法題，當(dāng)正方形、三角形、圓形各代表什么數(shù)時(shí)，才能使下面的等式成立？ + +企 + + 0=160=16心 + + A A + + 0=130=13+ + +0+0 + + 0=110=11【考點(diǎn)】和倍問題【難度】4星【題型】解答

20、【解析】【解析】先求口 、。三種圖形的代表數(shù)之和，再減去其中兩圖形代表數(shù)之和，從而求出其中一圖形代表的數(shù)，進(jìn)而求出其他圖形的代表數(shù).由由、相加4個(gè)+階+4個(gè)0 =404X ( O + 0)=40得，+ + + +0=10由-得：口=1610=6由-得：=13-10=3由-得：0=11-10=1檢驗(yàn)，將口=6 A=3, 0=1分別代入原等式 、，三等式成立，說明求解正確.【答案】口=6 A=3, 0=1【鞏固】【鞏固】 用中國象棋的車、馬、炮分別表示不同的自然數(shù)。如果，車+馬=2,=2,炮* =4,=4,炮-馬=56,=56,那么 軍+ +馬+炮”等于多少？【考點(diǎn)】和倍問題【難度】4星【題型】解

21、答【解析】【解析】車、馬、炮表示的三個(gè)數(shù)中，馬表示的數(shù)最小，我們以馬表示的數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，畫出線段圖如下：馬二馬二 I_I_| |車的4倍把馬表示的數(shù)看作1份，車表示白數(shù)就是2份，炮表示白數(shù)就是4個(gè)2份, 所以，馬表示的數(shù)為：56+ (2X4-1)=8。軍+馬+炮”等于：8X (1+2+2 %) =88。6-1-5.和倍問題.題庫教師版page 6 of 7【答案】88【例【例 1313】甲、乙兩個(gè)小朋友各有一袋糖，每袋糖不到2020 粒.如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒數(shù)的 2 2 倍；如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒數(shù)的3 3 倍.那么甲、乙兩個(gè)小朋友共有多少粒糖？【考

22、點(diǎn)】差倍問題【難度】1星【題型】解答【解析】【解析】總體和部分，比較分析.甲給乙一定數(shù)量糖后，甲占總數(shù)的| ,乙給甲一定數(shù)量后，甲占總數(shù)的；.則3 2 111前后變化3_2=.又由于前后變化為2倍的同樣數(shù)量的糖”，所以每次變化-2=,所以糖4 3 1212 24的總數(shù)能被24整除.由于每袋糖不超過20粒，則糖的總數(shù)不超過40粒，又是24的倍數(shù)，則只能是24.【答案】24【例【例 1414】一小、二小兩校春游的人數(shù)都是1010 的整數(shù)倍，出行時(shí)兩校人員不合乘一輛車， 且每輛車盡量坐滿.現(xiàn)在知道，若兩校都租用 1414 座的旅游車，則兩校共需租用這種車7272 輛；若兩校都租用 1919 座的旅游

23、車，則二小要比一小多租用這種車7 7 輛.問兩校參加這次春游的人數(shù)各是多少？【考點(diǎn)】差倍問題【難度】1星【題型】解答【解析】【解析】根據(jù)題意可知，兩校總?cè)藬?shù)不少于14 X(72 -2)+1 +1 =982人，且不多于14x72 = 1008人，因?yàn)槭?0的整數(shù)倍，所以總?cè)藬?shù)為1000人，或990人.由于二小比一小多租用7輛19座的旅游車，所以二小與一小的人數(shù)之差不小于6M19 + 1 =115人，不大于8黑19-1 =151人，又是10的倍數(shù)，可能的情況有：120、130、140、150.如果總?cè)藬?shù)為1000人，兩校人數(shù)之差:如為120,則一小有(1000 120) + 2=440,二小有56

24、0人;如為140,則一小有(1000 140) + 2=430,二小有570人;檢驗(yàn)可知一小430人、二小570人符合題意.條件的答案.所以這次春游人數(shù)一小是430人，二小是570人.【答案】一小是430人，二小是570人【例【例 1515】在一次考試中，甲、乙兩人考試結(jié)果如下：甲答錯(cuò)了全部試題的-,乙答錯(cuò)了 7 7 道題，甲、乙3都答錯(cuò)的題目占全部試題的1,則甲、乙兩人都答對(duì)的題目最少多少道？5【考點(diǎn)】差倍問題【難度】1星 【題型】解答1 1 213【解析】【解析】 容斥原理.甲答錯(cuò)、乙答對(duì)的題占全部試題的1=上上, ,那么甲、乙都答對(duì)的題目有13的全部試351515題減去7道乙答錯(cuò)的題目.可見全部試題越少，甲、乙都答對(duì)的題目就越少.則全部試題