二次函數(shù)和三角形面積的綜合

1、二次函數(shù)與三角形面積的綜合查找類1、重點(diǎn)：中考?jí)狠S題的重點(diǎn)在于查找分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的思路和方法。能應(yīng)對(duì)這部分題的關(guān)鍵需要嫻熟幾部分學(xué)問(wèn)點(diǎn)：（1）二次函數(shù)與一次函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式（2）勾股定理（3）四邊形（4）相像三角形和三角形全等（5）銳角三角函數(shù)（6）軸對(duì)稱和中心對(duì)稱（7）求交點(diǎn)的方法（8）學(xué)問(wèn)的綜合運(yùn)用2、難點(diǎn)：查找聯(lián)系是這部分內(nèi)容的一個(gè)關(guān)鍵所在，也是一個(gè)難點(diǎn)。尤其是遇到二次函數(shù)與三角形面積的綜合題的解題思路。運(yùn)用面積求坐標(biāo)等等的合理運(yùn)用，以及運(yùn)用的重要因素在哪里？3、易錯(cuò)點(diǎn)：面積中涉及求面積的方法，坐標(biāo)漏找或錯(cuò)找，坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度之間的聯(lián)系，坐標(biāo)在不在二次函數(shù)的圖像上。這些都是在考

2、試中簡(jiǎn)潔失分的地方。4、切入點(diǎn)：例如：依據(jù)已有條件求坐標(biāo)，首先要想到平面直角坐標(biāo)系與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系，尤其是正切的運(yùn)用。這樣直觀的可以求出坐標(biāo)（前提必需建立直角三角形），假如不是直角三角形可以想法構(gòu)建直角三角形，這是求坐標(biāo)的最好方法，此方法不通的狀況下可以運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解，很少運(yùn)用相像求。把握了求解方法再做題的時(shí)候就知道如何下手了。而次部分求面積的時(shí)候要先找到點(diǎn)的坐標(biāo)的具體位置以及如何通過(guò)面積求 坐標(biāo)。5. 求面積常用的方法a.直接法b。簡(jiǎn)潔的組合c。面積不變同底等高或等底等高的轉(zhuǎn)換d.相像e.三角函數(shù)f。找面積的最大最小值利用二次函數(shù)的性質(zhì)（1） 直接法若題已經(jīng)給出或能由已知條件推出個(gè)

3、邊的長(zhǎng)度并且通過(guò)坐標(biāo)能找到對(duì)應(yīng)的的高，那么三角形的面積能直接用公式算出來(lái)。此題中的三角形的面積就能直接求出。（2） 通過(guò)簡(jiǎn)潔的重新組合就能求出面積。第 6 題（2009 年貴州安順市）27、（本題滿分 12 分）如圖，已知拋物線與 x 交于 a(1，0)、e(3，0)兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) b(0，3)。（1） 求拋物線的解析式；（2） 設(shè)拋物線頂點(diǎn)為d，求四邊形 aedb 的面積；（3） aob 與dbe 是否相像？假如相像，請(qǐng)給以證明；假如不相像，請(qǐng)說(shuō)明理由。第 8 題（2009 年四川南充市）21如圖 9，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(3，3) （1） 求正比例函數(shù)和反比例

4、函數(shù)的解析式；（2） 把直線 oa 向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)b(6，m) ，求m 的值和這個(gè)一次函數(shù)的解析式；（3） 第（2）問(wèn)中的一次函數(shù)的圖象與x 軸、 y 軸分別交于 c、d，求過(guò) a、b、d 三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；（4） 在第（3）問(wèn)的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)e，使四邊形 oecd 的面積s 11與四邊形oabd 的面積s 滿足： s2 s ？若存在，求點(diǎn)e 的坐標(biāo)；ya3bo3c 6xd3若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由例 2（2006，重慶市）已知：m，n 是方程x26x+5=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 m<n，拋物線y=x2+bx+c 的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（m，0），b（0，

5、n），如圖所示（1） 求這個(gè)拋物線的解析式；（2） 設(shè)（1）中的拋物線與 x 軸的另一交點(diǎn)為 c，拋物線的頂點(diǎn)為d，試求出點(diǎn)c，d 的坐標(biāo)和bcd 的面積；（3）p 是線段 oc 上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p 作 phx 軸，與拋物線交于h 點(diǎn)，若直線 bc 把pch 分成面積之比為 2：3 的兩部分，懇求出p 點(diǎn)的坐標(biāo)（4） 相像第 10 題（2009 年臺(tái)州市）24如圖，已知直線交坐標(biāo)軸于 a，b 兩點(diǎn)， 以線段 ab 為邊向上作正方形 abcd，過(guò)點(diǎn) a，d，c 的拋物線與直線另一個(gè)交點(diǎn)為e （1） 請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)c, d 的坐標(biāo)；（2） 求拋物線的解析式；5（3） 若正方形以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射

6、線 ab 下滑，直至頂點(diǎn) d 落在 x 軸上時(shí)停止設(shè)正方形落在 x 軸下方部分的面積為 s ，求 s 關(guān)于滑行時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)自變量t 的取值范圍；（4） 在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時(shí)d 停止，求拋物線上c , e 兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過(guò)的面積yxy= - 1 x + 1 2（第 24 題）25. 已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) a (0, 4)、b(1, 4)、c (3, 2)，與 x 軸正半軸交于點(diǎn)d.（1） 求此拋物線的解析式及點(diǎn)d 的坐標(biāo)；（2） 在 x 軸上求一點(diǎn)e, 使得bce 是以 bc 為底邊的等腰三角形；abco12345x（3） 在（2）的條件下，過(guò)線

7、段 ed 上動(dòng)點(diǎn)p 作直線 pf/bc, 與 be、ce 分別交于點(diǎn) f、g，將efg 沿 fg 翻折得到e¢fg. 設(shè) p（x, 0）, e¢fg 與四邊形 fgcb 重疊部分的面積為s，求s 與x 的函數(shù)關(guān)系式及自變量x 的取值范圍.y54321-5-4-3-2-1-1-209 山東）如圖，拋物線經(jīng)過(guò) a(4，0)，b(1，0)，c(0，- 2) 三點(diǎn)（1）求出拋物線的解析式；（2）p 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)p 作 pm x 軸，垂足為m，是否存在p 點(diǎn)，使得以a，p， m 為頂點(diǎn)的三角形與oac 相像？若存在，懇求出符合條件的點(diǎn)p 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在

8、直線 ac 上方的拋物線上有一點(diǎn)d，使得dca 的面積最大，求出點(diǎn)d 的坐標(biāo)yob 14 ax-2c （例題分析）（09 朝陽(yáng)一模）24. （本小題 7 分）拋物線與x 軸交于 a（1，0）、b 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) c（0，3），拋物線頂點(diǎn)為 m，連接 ac 并延長(zhǎng) ac 交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)q，且點(diǎn)q 到 x 軸的距離為 6.（1） 求此拋物線的解析式；（2） 在拋物線上找一點(diǎn)d，使得 dc 與 ac 垂直，求出點(diǎn)d 的坐標(biāo)；（3） 拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)p，使得 spam=3sacm，若存在，求出 p 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：此題考察的是二次函數(shù)與三角形面積的綜合，在中考

9、題中考察同學(xué)的分析力量和綜合運(yùn)用學(xué)問(wèn)的力量。（1） 第一問(wèn)二次函數(shù)的求解方法需要留意透徹理解解析式的三種求解方法：一般式，頂點(diǎn)式，雙根式，前兩種方法是最常用的方法。已知條件中點(diǎn)a、c 在拋物線上。所以還需要再查找一個(gè)條件才能求出解析式。所以點(diǎn) q 到 x 軸的距離為 6 這句話就格外關(guān)鍵，通過(guò)這句話再依據(jù)圖形得到拋物線的對(duì)稱軸，利用頂點(diǎn)式求其解析式。（2） 看到垂直第一時(shí)間想到銳角三角函數(shù)中的正切，利用正切求坐標(biāo)是最簡(jiǎn)便易行的方法，平面直角坐標(biāo)系涉及的是垂直，因此坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)比較好求。求點(diǎn)d 的坐標(biāo)要優(yōu)先想到點(diǎn)d 的位置在哪？拋物線上的點(diǎn)通常接受二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立方程組求點(diǎn)的坐標(biāo)。這

10、樣分析起來(lái)就不難解決此題了。（3） spam=3sacm，求出 p 點(diǎn)坐標(biāo)。首先就要先觀看點(diǎn) p 的位置在哪里，然后想法把點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來(lái)然后再利用面積之間的關(guān)系求坐標(biāo)。通常狀況下面積的表示方法都要通過(guò)三角形之間，四邊形之間的轉(zhuǎn)換表示面積。時(shí)刻要想到與坐標(biāo)軸垂直的邊或與坐標(biāo)軸平行的邊當(dāng)?shù)谆蚋撸缓笤龠M(jìn)行求解。備注：本題的可讀指數(shù)是，做起來(lái)還是格外簡(jiǎn)潔查找突破口的，同學(xué)們要加油！第 1 題（09 朝陽(yáng)一模）24. （本小題 7 分）拋物線與x 軸交于 a（1，0）、b 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) c（0，3），拋物線頂點(diǎn)為 m，連接 ac 并延長(zhǎng) ac 交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)q，且點(diǎn)q 到 x 軸的距離為

11、 6.（1） 求此拋物線的解析式；（2） 在拋物線上找一點(diǎn)d，使得 dc 與 ac 垂直，求出點(diǎn)d 的坐標(biāo)；（3） 拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)p，使得 spam=3sacm，若存在，求出 p 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.第 2 題（09 海淀一模）25. 已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) a (0, 4)、b(1, 4)、c (3, 2)，與 x 軸正半軸交于點(diǎn)d.（1） 求此拋物線的解析式及點(diǎn)d 的坐標(biāo)；abco12345x（2） 在 x 軸上求一點(diǎn)e, 使得bce 是以 bc 為底邊的等腰三角形；（3） 在（2）的條件下，過(guò)線段 ed 上動(dòng)點(diǎn)p 作直線 pf/bc, 與 be、ce 分別交于點(diǎn) f、g，

12、將efg 沿 fg 翻折得到e¢fg. 設(shè) p（x, 0）, e¢fg 與四邊形 fgcb 重疊部分的面積為s，求s 與x 的函數(shù)關(guān)系式及自變量x 的取值范圍.y54321-5-4-3-2-1-1-2第 3 題.（09 黃石）正方形 abcd 在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，a 在 x 軸正半軸上，d 在 y 軸的負(fù)半軸上， ab 交 y 軸正半軸于 e，bc 交 x 軸負(fù)半軸于 f ， oe = 1，拋物線y = ax2 + bx - 4 過(guò) a、d、f 三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（3 分）（2）q 是拋物線上 d、f 間的一點(diǎn)，過(guò)q 點(diǎn)作平行于 x 軸的直線交邊 ad

13、于 m ，交 bc 所3在直線于 n ，若 s四邊形afqm=s2fqn，則推斷四邊形 afqm 的外形；（3）在射線 db 上是否存在動(dòng)點(diǎn) p ，在射線cb 上是否存在動(dòng)點(diǎn) h ，使得 ap ph 且ap = ph ，若存在，請(qǐng)賜予嚴(yán)格證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由第 7 題（2009 年山東臨沂市）26（本小題滿分 13 分）如圖，拋物線經(jīng)過(guò) a(4，0)，b(1，0)，c(0，- 2) 三點(diǎn)（1）求出拋物線的解析式；（2）p 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)p 作 pm x 軸，垂足為m，是否存在p 點(diǎn)，使得以a， p，m 為頂點(diǎn)的三角形與oac 相像？若存在，懇求出符合條件的點(diǎn) p 的坐標(biāo)；若不存在，

14、 請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在直線 ac 上方的拋物線上有一點(diǎn)d，使得dca 的面積最大，求出點(diǎn) d 的坐標(biāo)yo b 1-2 c4 ax（第 26 題圖）第 9 題（2009 年四川涼山州）26如圖，已知拋物線y = x2 + bx + c 經(jīng)過(guò) a(1，0) ， b(0，2)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為 d （1） 求拋物線的解析式；（2） 將oab 繞點(diǎn) a 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°后，點(diǎn) b 落到點(diǎn)c 的位置，將拋物線沿 y 軸平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)c ，求平移后所得圖象的函數(shù)關(guān)系式；（3） 設(shè)（2）中平移后，所得拋物線與 y 軸的交點(diǎn)為 b1，頂點(diǎn)為 d1，若點(diǎn) n 在平移后的拋物線上，且滿足nbb1的面積是ndd

15、1面積的 2 倍，求點(diǎn) n 的坐標(biāo)yboa dx（第 26 題）第 10 題（2009 年臺(tái)州市）24如圖，已知直線交坐標(biāo)軸于 a，b 兩點(diǎn)，以線段 ab 為邊向上作正方形 abcd，過(guò)點(diǎn) a，d，c 的拋物線與直線另一個(gè)交點(diǎn)為e （1） 請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)c, d 的坐標(biāo)；（2） 求拋物線的解析式；5（3） 若正方形以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線 ab 下滑，直至頂點(diǎn) d 落在 x 軸上時(shí)停止設(shè)正方形落在 x 軸下方部分的面積為 s ，求 s 關(guān)于滑行時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)自變量t 的取值范圍；（4） 在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時(shí)d 停止，求拋物線上c , e 兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過(guò)的面積yxy= - 1 x + 1 2（第 24 題）第 11 題（2009 年四川南充市）21如圖 9，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(3，3) （1） 求正比例