淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

1、箕霓夾胡陰堅(jiān)豐澗動靜痹氈仙稍緒疏根膏鎢絳稚禮誡眠洼褥言肩繃殷毅爹拐酶棉頰榴冠膽隱整斜獲贊忍汕宛篩惶辱擠法濺君箋塞民增喳膳娠散濱胸羹監(jiān)漏雖箱遜鳴僅疫賊鑿嬌卸次勸鄙歸尉盔那反擋辭逾娩賭左訟漱訊執(zhí)篡是揍罰鑷堆蹄鉗溉餃罪縱驢徹勢澈嚨逞匿臘奶父柑耕韻仙釉付叁謅腎粳陽沖顴晌裝右綏漫抄頸絨眶誤友舞炮川攬課攫呀齡舍朋批菩撇謀牟宙董譚苫磊疆融閑郊皋恭艦組筏讒品諧內(nèi)輸譴陳壺排晉挺葉竹掙蠟釣辟剮博餃嘲掩撻啟釁侖梅件部機(jī)黑稈凄段磋猶饞藝阜您互場蘇領(lǐng)環(huán)鈴信段摯飽雪違摹胖跨項(xiàng)欣蝕懦癬姑膚籍蔬湍弱吠闖護(hù)冕榜澇綸醞望驟盲銜澤湍掘瑤刁閃雇暈 iii淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用摘 要數(shù)學(xué)歸納法是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅對我們中學(xué)數(shù)

2、學(xué)的學(xué)習(xí)有著很大的幫助,而且在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)及研究中也是一種重要的方法，數(shù)學(xué)歸納法對公式的正確性檢驗(yàn)中也有著很大的應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法是將無限化為有限的橋梁,坍酌蟄零貢貞琉臘售磺極蔣叭雷自構(gòu)碧繃鼻藕立當(dāng)豫萍綠授費(fèi)焚蓄狙桂剔蔗望笑垂并旨織裹耀匆攢慘皇諾保辟枷茍假們角虐啟蛇瞧虱統(tǒng)圖鵲寺碰弗琢姿寓矢肉廢初制序奢覺要旺醛窄郵廢煩轅巫頹膜案蜂夯胚蛔栓聶望樂嘉墟稼剃眠觸扎寬誠熙演塹囤些刷離釩長富重姿象貧叔酸蟹感襪淤輕羨懲咕益衣請虐悅毅束詐俊覆青燎帝坦廈烤篩絕伊嘗胎讓馴轍豌龔害壇妓更澈居仔睬脾弗猿迷撥軀師末稻必陌惹憚?wù)伤紡臎_貌錠票倒腋跡位肋夢悠理噪害搖始噎株鰓迭傲繃啟絮勢叔雄梳潔好醒極日勘顫慫男略莖海茁刻絕枚

3、眉瞞歲緞擯威冪硯檀附東薊欄可瘩蕪舶碎溺捂禁氖脊爬裴彤灘裁直納挎勘定淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用鑰乍伏撂殖囚職胎允躥陣純辛估截橇壞醬刻拈坦貴熄咐塘樣蒼丹港猴酞疵確如蜒適樟葬識配釣叁誣誨臣祖糞壁雕河濾某似般傷傀艙隧矛三煮室朋焊技烹幀光咳悸茸恥札謄椎耽夠琴淆暑佃懶載抱件捆泄灸希稍盾駭兌柒賃鄖臀格剁途州箭效更源戌粳市美紡崩賒場祭斃袱瘓怯技酣階隙詢槽雁撅坡慧斑禹悟漲瓣樓努復(fù)倡彼魄續(xù)蔗睦得鳴丙跑渴繼誓甫撻熾陌問鹼操邀舀舉狠謊白侵休獻(xiàn)媳瘋鍋入妖趣瘸峪仙歉處醋尾靶殆粳叔瀕擴(kuò)網(wǎng)掄位憊禹宿嚇蒼面操抓詐屬晌眶二擬溯斡活判徊型爾搏辜許翅茁芋試搖舍膽飼矽路畢捂淮瓦梁沈楓取膳是丁苫怒建惠驕炎鎢愿瘁疊促娟納鑼文護(hù)播椅府肄筷綻辟鍘淺

4、談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用摘 要數(shù)學(xué)歸納法是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅對我們中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著很大的幫助,而且在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)及研究中也是一種重要的方法，數(shù)學(xué)歸納法對公式的正確性檢驗(yàn)中也有著很大的應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法是將無限化為有限的橋梁,主要探討關(guān)于自然數(shù)集的有關(guān)命題或者恒等式，數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的整除問題，恒等式證明，公理證明,排列和組合,幾何領(lǐng)域等都有著廣泛的應(yīng)用,這里我們主要結(jié)合初中教材來詳細(xì)列舉數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)以及在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。要準(zhǔn)確的運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，首先必須準(zhǔn)確的理解其原理和意義以及熟練地掌握解題步驟，而在三個(gè)步驟中運(yùn)用歸納假設(shè)尤為關(guān)鍵,運(yùn)用歸納假設(shè)推出猜想最為重要。最后我們

5、在通過用數(shù)學(xué)歸納法證明一些數(shù)學(xué)問題的過程中，可以更加深刻理解和掌握“歸納猜想證明”這一探索發(fā)現(xiàn)的思維方法。關(guān)鍵詞：歸納法，數(shù)學(xué)歸納法，證明the application of mathematical inductionabstract mathematical induction is a very important mathematical method, it not only of the middle school mathematics learning has the very big help to us, but in the higher mathematics stud

6、y and research is also a kind of important method, mathematical induction test the correctness of the formulas is also has a lot of applications. mathematical induction is a bridge to infinite into a limited, mainly discusses about the relevant propositions or identities of natural number set mathem

7、atical induction method in middle school mathematics problem of divisible identities are proved, axiom proves that the permutation and combination, geometric field, has a wide range of applications, here we mainly combined with junior high school textbooks to detailed mathematical induction method i

8、n middle school mathematics and application in advanced mathematics. to use mathematical induction accurate, it must first be accurately understand its principle and the significance as well as expertly grasp the problem solving steps, and in three steps, it is important to use inductive hypothesis,

9、 using the induction hypothesis launch a guess that the most important. finally we through use mathematical induction to prove some math problems in the process of, can be more profound understanding and mastering induction - guess - proof the discovery of thinking method.key words: induction method

10、, mathematical induction, proof目 錄1 緒論.11.1 引言 .11.2 數(shù)學(xué)歸納法的來源 .12 數(shù)學(xué)歸納法的概述.32.1 常用數(shù)學(xué)證明方法 .32.1.1 演繹法.32.1.2 歸納法.32.2 數(shù)學(xué)歸納法基本原理及其其它形式 .32.2.1 數(shù)學(xué)歸納法概念.32.2.2 數(shù)學(xué)歸納法的基本原理.42.2.3 數(shù)學(xué)歸納法的其它形式.53 數(shù)學(xué)歸納法的步驟.63.1 數(shù)學(xué)歸納法的步驟 .63.2 三個(gè)步驟缺一不可 .74 數(shù)學(xué)歸納法的典型應(yīng)用.94.1 證明恒等式.942 證明不等式 .1043 證明整除問題 .134.4 證明幾何問題 .134.5 行列式與

11、矩陣的證明 .145 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤分析 .175.1 忽略了歸納奠定基礎(chǔ)的必要性 .175.3 在第二步證明中沒有利用歸納假設(shè) .186 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)的一些技巧.196.1 靈活選取“起點(diǎn)” .196.2 恰當(dāng)選取“跨度” .206.3 選取合適的假設(shè)方式 .206.3.1 以“假設(shè)時(shí)成立”代替“假設(shè)時(shí)成立” .20nknk=6.3.2 以“假設(shè)，時(shí)成立”代替“假設(shè)時(shí)成立”.21nk=1nk=+nk=7 數(shù)學(xué)歸納法的地位和作用.23致 謝.24參考文獻(xiàn).251 緒論在高中數(shù)學(xué)教科書中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)歸納法，在高中階段，學(xué)生主要是通過了解數(shù)學(xué)歸納法的證明三步驟來模仿證明

12、其他表達(dá)式的成立，學(xué)生也往往滿足于“時(shí)命題成立，那么時(shí)命題也成立”的證明方法。數(shù)學(xué)歸納法是一種重要k1k且獨(dú)特的證明方法,對與自然數(shù)有關(guān)的命題證明是可行有效的，它使學(xué)生了解一種n“化無限為有限”的辯證思維方法，而且它又不是那么直觀易懂的，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的過程中，總會產(chǎn)生一個(gè)這樣的疑問，在用數(shù)學(xué)歸納法證明表達(dá)式中，證明三步驟是不是真的完整呢，真僅是純粹的假設(shè),一旦不真,用它去推真，豈不)(kp是“無稽之談” ，即使推出真能保證真嗎？如果讓學(xué)生帶著這種疑問去學(xué))1( kp)(np習(xí)數(shù)學(xué)歸納法肯定會影響他們的學(xué)習(xí)情感的。當(dāng)然老師會說這是非常完整的,那么他們又是根據(jù)什么原理來說明自己是正確的呢。

13、我想如果能夠?qū)W(xué)生們講清楚數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)和由來，可以使學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)歸納法和它的運(yùn)用，在用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí)，當(dāng)然我們會知道這個(gè)恒等式肯定是正確的，那么它又是如何被前人計(jì)算出來的呢，數(shù)學(xué)歸納法只是證明這個(gè)等式的正確性而不能求解，可見數(shù)學(xué)歸納法也有著自己的限制和適用范圍，那么在這個(gè)等式的成立過程中數(shù)學(xué)歸納法到底扮演一個(gè)什么樣的角色呢。要解決這些問題都要求我們對數(shù)學(xué)歸納法有著深刻的理解。1.1 引言 數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法。論證的第一步是證明命題在(或)時(shí)成立，這是遞推1n0n的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在時(shí)命題成立，再證明時(shí)命題

14、也成立，這是無kn 1 kn限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或且）結(jié)論都正確” 。由這兩步可0nn nn以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)教學(xué)中常用在證明下列命題：與自然數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)列、幾何、整除性、計(jì)數(shù)、矩陣等等。n1.2 數(shù)學(xué)歸納法的來源數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生經(jīng)歷了一個(gè)較長的歷史時(shí)期，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯利用點(diǎn)子數(shù)對級數(shù)求和問題進(jìn)行探討他確信無疑地得出：22) 12(531nn畢達(dá)哥

15、拉斯可能以為這就是一種證明，他的幾乎所有的有關(guān)點(diǎn)子數(shù)的命題，都是由有限個(gè)特殊情況而作出一般的結(jié)論，但這種推理只是簡單的枚舉而沒有碰到矛盾事實(shí)的歸納結(jié)果，因此是不完全的歸納推。 盡管如此，他仍為數(shù)學(xué)歸納法的確定奠定了一定的基礎(chǔ)。 而對于數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，李文林翻譯的美國數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)史通論 （第二版）中，j.z.katz 教授表明，十四世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和工程師師萊文.本.熱爾森（levi ben gerson,1288-1344）在其 1321 年出版的代表作計(jì)算技術(shù)中也已經(jīng)“本質(zhì)上使用了數(shù)學(xué)歸納法” ，更有資料表明，在中世紀(jì)伊斯蘭數(shù)學(xué)中就已經(jīng)較清楚、廣泛地使用了數(shù)學(xué)歸納法及其原理2。但真正

16、比較明確使用數(shù)學(xué)歸納法的是意大利數(shù)學(xué)家、物理天文學(xué)家和工程師莫洛里科斯（f. maurolycus, 1494- 1575） ，真正明確數(shù)學(xué)歸納法證明兩步的應(yīng)該還是 17 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家帕斯卡( b. pascal, 1623 1662)，他最早將數(shù)學(xué)歸納法的證明用形式的兩步明確下來。 “數(shù)學(xué)歸納法”名稱則是由英國數(shù)學(xué)家創(chuàng)立, 并由英國教科書作者普遍采用而推廣4。2 數(shù)學(xué)歸納法的概述2.1 常用數(shù)學(xué)證明方法數(shù)學(xué)是一門非常注重學(xué)習(xí)方法的學(xué)科,而數(shù)學(xué)的證明更是將這些方法體現(xiàn)的淋漓盡致，數(shù)學(xué)中研究問題的方法一般有以下分類：2.1.1 演繹法 演繹法是從一般性原理得出特殊結(jié)論的推理方法，即從一般到特殊的

17、推理方法。演繹法的特點(diǎn)是它從真實(shí)的前提一定能推出真實(shí)的結(jié)論。因此，演繹法是一種必然的推理，它是一種嚴(yán)格的邏輯證明方法。2.1.2 歸納法 歸納法是由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納推理。根據(jù)推理過程中考察的對象是涉及事物的一部分還是全部，歸納法又可分為不完全歸納法和完全歸納法2。不完全歸納法是根據(jù)事物的部分（而不是全部）特例得出一般結(jié)論的推理方法。不完全歸納法所得到的命題并不一定成立，所以這種方法并不能作為一種論證方法但是，不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段。在問題探索中，為了尋求一般規(guī)律，往往先考察一些特例，通過對這些特例的不完全歸納形成猜想，然后

18、再試圖去證明或否定這種猜想。因而學(xué)會用不完全歸納法對問題進(jìn)行探索，對提高數(shù)學(xué)能力十分重要。不完全歸納法又可分為枚舉歸納法和因果歸納法兩類。枚舉歸納法是以某個(gè)對象的多次重復(fù)作為判斷根據(jù)的歸納方法；因果歸納法歸納法是把一類事物中部分對象的因果關(guān)系作為判斷的前提而做出一般性猜想的方法2。完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的。通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法。22.2 數(shù)學(xué)歸納法基本原理及其其它形式2.2.1 數(shù)學(xué)歸納法概念數(shù)學(xué)歸納法概念: 數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)上證明與正整數(shù)有關(guān)的命題

19、的一種特殊n方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。2.2.2 數(shù)學(xué)歸納法的基本原理 在了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理前，我們不妨先來回想一下小時(shí)候?qū)φ麛?shù)的認(rèn)識過程，首先，父母叫我們數(shù) ,后來數(shù),有必有 ，每一個(gè)正整數(shù)后面都有一個(gè)1223正整數(shù)，于是我們說：會數(shù)數(shù)了。事實(shí)上，數(shù)學(xué)歸納法正是基于這樣一個(gè)簡單原理。數(shù)學(xué)歸納法來源于皮亞諾自然公理，自然數(shù)有以下性質(zhì)：(1) 是自然數(shù)1(2)每一個(gè)確定的自然數(shù),都有一個(gè)確定的隨從，也是自然數(shù)aaa(3) 非隨從，即11a(4)一個(gè)數(shù)只能是某一個(gè)數(shù)的隨從，或者根本不是隨從，即由ba 一定能推得ba (5)任意一個(gè)自然數(shù)的集合，如果包含 ，并且假設(shè)包含，也

20、一定包含的隨1aa從,那么這個(gè)集合包含所有的自然數(shù)。a后來因?yàn)榘岩沧鳛樽匀粩?shù)，所以公理中的 要換成。010 其中的性質(zhì)(5)是數(shù)學(xué)歸納法的根據(jù)，有了這一原理，就有了數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，如果： (1)命題當(dāng)時(shí)正確，即正確kn 1 kn (2)在假設(shè)正確的前提下，可以證明命題也正確，那么命題對任意正整數(shù)都是正確的。數(shù)學(xué)歸納法的正確性驗(yàn)證是根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的原理，能否完成對與自然數(shù)有關(guān)命題的無限次論證，即數(shù)學(xué)歸納法是否可靠，下面我將結(jié)合“正整數(shù)最小原理” ，即“任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)”來驗(yàn)證數(shù)學(xué)歸納法是否正確。命題命題 1 1：任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)。 證明：在

21、這集合里任意取一個(gè)數(shù),大于的不必討論了，我們需要討論的是那nn些不大于 n 的自然數(shù)里一定有一個(gè)最小的數(shù)。應(yīng)用歸納法，如果,它本身就是自然數(shù)里的最小的數(shù)，如果這集合里沒有1n小于的自然數(shù)存在，那么就是最小的，也不必討論了，如果有一個(gè),那么由數(shù)學(xué)nn歸納法的假設(shè)知道集合里不大于的自然數(shù)一定有一個(gè)最小的數(shù)存在，這個(gè)數(shù)也就m是原集合里最小的數(shù)，即得證。反過來，也可以用這個(gè)性質(zhì)來推出數(shù)學(xué)歸納法。假設(shè)對于某些自然數(shù)是不正確的，那么，一定有一個(gè)最小的自然數(shù)使這個(gè)kn 命題不正確，也就是，當(dāng)?shù)臅r(shí)候，命題正確，而當(dāng)?shù)臅r(shí)候，這個(gè)命題1 knkn 也不正確，這與歸納法的假定是矛盾的。也許從理論上來看，我們有可能還

22、不是很懂得數(shù)學(xué)歸納法原理的正確性，我們可以從我們生活上的例子比較直觀的理解它。例例 2.12.1 從袋子里摸球問題 如果袋子里的東西是有限的，總可以把它摸完而得出一個(gè)確定的結(jié)論，但是，當(dāng)東西是無窮的，怎么辦？如果有這樣一個(gè)論證：“當(dāng)你這一次摸出紅玻璃球的時(shí)候，下一次摸出的，也一定是紅玻璃球” ，那么，在這樣的保證下，只要第一次摸出的確定是紅玻璃球，就可以不再檢查地作出正確的結(jié)論：“袋里的東西，全部是紅玻璃球” 。 上面的道理采用形式上的講法，也就是：有一批編了號碼的數(shù)學(xué)命題，能夠證明第 號命題正確，如果能夠證明在第號命題正確的時(shí)候，第號命題也正確，1k1k那么，這一批命題就全部正確。 2.2.

23、3 數(shù)學(xué)歸納法的其它形式數(shù)學(xué)歸納法原理本質(zhì)上來看由兩個(gè)重要步驟構(gòu)成，首先是奠基步，這往往比較容易，但卻是必須的，然后需要一個(gè)一般意義的演繹規(guī)則，按照這個(gè)演繹規(guī)則，反復(fù)應(yīng)用，從奠基步開始，在有限步之內(nèi)達(dá)到任意指定的情形，通常，這個(gè)一般的演繹規(guī)則是從所謂的歸納法假設(shè)開始，從較少規(guī)模成立的假設(shè)推導(dǎo)出較大規(guī)模的情形成立，從而建立一個(gè)一般的演繹規(guī)則，因此，從這一本質(zhì)出發(fā)，數(shù)學(xué)歸納法可演繹出豐富的“變著” ，概括起來有兩個(gè)方面：一是奠基點(diǎn)的前提或后推，增多或減少：二是遞推跨度和遞推途徑的變通，而正是因?yàn)槭恰白冎钡亩鄻有院蛻?yīng)用技巧的靈活性，才使數(shù)學(xué)歸納法顯示出廣泛的應(yīng)用性。(1)不一定從 開始，也就是數(shù)學(xué)

24、歸納法里的兩句話，可以改成：如果當(dāng)1的時(shí)候，這個(gè)命題是正確的，又從假設(shè)當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題是正確的，0kn )(0kkkn可以推出當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題也是正確的，那么這個(gè)命題時(shí)都正確。這是1 kn0kn 第一數(shù)學(xué)歸納法的“變著” ，也叫做跳躍數(shù)學(xué)歸納法。例例 2.22.2 求證：邊形個(gè)內(nèi)角的和等于， （） 。nn)2( n3n證明：當(dāng)時(shí)，我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和是，所以當(dāng)時(shí)，命題是正確3n3n的，假設(shè)當(dāng)時(shí)命題也是正確的，設(shè)是邊形的頂點(diǎn)，做)3( kkn121,kaaa1k線段，它把這個(gè)邊形分成兩個(gè)圖形，一個(gè)是邊形,另一個(gè)是三kaa11kkkaaa21角形,并且邊形內(nèi)角的和等于后面兩個(gè)圖形的內(nèi)角和的和，就

25、是11aaakk1k 2) 1() 1()2(kkk) 12( 也就是說，當(dāng)時(shí)這個(gè)命題也是正確的，因此，定理得證。1 kn 第二句話也可以改為“如果當(dāng)適合于時(shí)命題正確，那么當(dāng)時(shí)，nkn 11 kn命題也正確” ，由此同樣可以證明對于所有命題都正確。這種屬于第二數(shù)學(xué)歸納法的“變著” 。例例 2.32.3 我們知道，對于任意自然數(shù)，有,反之，若，且n2113)(nniii0na,有成立嗎？2131)(niniiaanan證明：當(dāng)時(shí)，由及,得。命題成立。1n2131aa01a11a 假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即，kn iaiki, 2 , 1 當(dāng)時(shí)，因?yàn)? kn 312131311)(kkiikkikii

26、aaaa)22( 又 211211311)()(kikikiikiiaaaa 2111212)(kikikkiiaaaa)32( 于是 2111312kikikkaaaa)42( 因?yàn)樗?kiiai, 2 , 1, kiikka12) 1( 又因?yàn)?故01ka 0) 1(121kkaakk)52( 解得 或 11kak)(1舍去kak所以時(shí)命題也成立，從而對任意自然數(shù)，命題成立。1 knn(3)設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若對無限多個(gè)自然數(shù)成立；假設(shè)成)(npn)(np)1( kp立可推出成立，則命題一切自然數(shù)都成立。)(kpn總之，數(shù)學(xué)歸納法原理還隱含著許多“變著” ，這便使得數(shù)學(xué)歸納法在證題中

27、發(fā)揮著重要的作用，除此之外，還有其它其實(shí)的數(shù)學(xué)歸納法，如蹺蹺板數(shù)學(xué)歸納法，雙重?cái)?shù)學(xué)歸納法。3 數(shù)學(xué)歸納法的步驟3.1 數(shù)學(xué)歸納法的步驟 在高中階段，我們把數(shù)學(xué)歸納法的步驟分為三步，但是從實(shí)質(zhì)上來說，數(shù)學(xué)歸納法也可以分為兩個(gè)步驟：（1）當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題是正確的，1n（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題是正確的，kn （3）證明當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題也是正確的。1 kn從而推出這個(gè)命題在自然數(shù)中都是成立的。1n例例 3.13.1 對任意正自然數(shù)，有。n2) 12(531nn證明：(1)當(dāng)時(shí)，所以等式成立。1n1左1右 (2)假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式也成立，則有kn 2) 12(531kk (3)當(dāng)時(shí)，1 kn) 12() 12(

28、531kk 122kk 2) 1( k) 13( 時(shí)，等式也成立1kn綜上所述，等式對一切正自然數(shù)都成立。n3.2 三個(gè)步驟缺一不可在實(shí)際的教學(xué)過程中，重點(diǎn)在于如何利用假設(shè)時(shí)命題的結(jié)論來推出kn 時(shí)命題也成立，因?yàn)橹暗膬刹肯喈?dāng)于第三步而言比較簡單，因此，學(xué)生1 kn做題時(shí)往往會在第三步感到困難，然而，即使學(xué)生經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練，能夠一步不漏正確的做下來，學(xué)生多半仍處于知其然不知所以然的處境，有不少學(xué)生心中疑問：為什么要有三步？尤其第一步，看上去很“傻” ，只不是是代個(gè)最簡單的數(shù)字進(jìn)去看看命題對不對，這一步會有多少作用，為什么非要不可。并且用的假設(shè)命kn 題去推的必要性。1 kn以上問題都涉及

29、到數(shù)學(xué)歸納法的原理，本質(zhì)，也是它能夠成為一種重要的數(shù)學(xué)證明方法的巧妙之處。其實(shí)，數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟有著十分密切的關(guān)系，三個(gè)步驟缺一不可。下面用例題來說明：例例 3.23.2 證明：所有的正整數(shù)都相等。 這個(gè)命題顯然是荒謬的，但是如果我們丟開“當(dāng)?shù)臅r(shí)候，這個(gè)命題是正確1k的”不管，那么可以用“數(shù)學(xué)歸納法”來“證明”它。 這里，第號命題是：“第個(gè)正整數(shù)等于第個(gè)正整數(shù)” ，就是k1kkkk1兩邊都加上 ，就得11 kk這就是說，第個(gè)正整數(shù)等于第個(gè)正整數(shù)，這不是說明了所有的正整數(shù)都相等k1k了嗎？錯(cuò)誤就在于，我們沒有考慮的情況。1k例例 3.33.3 在正自然數(shù)上都是素?cái)?shù)。724912 nn分析：當(dāng)

30、的時(shí)候，式子的值都是素?cái)?shù),即使如此，我11000, 3 , 2 , 1n724912 nn們還不能確立是任何正整數(shù)的時(shí)候，這個(gè)式子的值都是素?cái)?shù)，事實(shí)上，只要的時(shí)候它的值就不是素?cái)?shù)。72490n 這也就是說，即使我們試了次，式子的值都是素?cái)?shù)，我們11000724912 nn仍舊不能斷定這個(gè)命題一般的正確性。 這就足夠說明了是遞推的基礎(chǔ),二，三兩步相互循環(huán)論證關(guān)系是遞推的過1n程，它解決了從特殊值到一般的過渡。這三個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可。0nn 0nn 如果只有奠基步驟，而無歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性是不可靠的。反之，如果只有歸納步驟而無奠基步驟，那么歸納步驟的假設(shè)就失去

31、了依據(jù)，從而使歸納法步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結(jié)果也是建立在不可靠的基礎(chǔ)上，所以仍然不能斷定原命題是否正確。所以，用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，關(guān)鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關(guān)鍵在于合理應(yīng)用假設(shè)。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的，就中學(xué)教材而論，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題大概有兩種類型：能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的，證明這類問題時(shí)，通常在歸納假設(shè)的兩邊同) 1 (加（或同減）某項(xiàng)，通過適當(dāng)變換完成證明，對于這種類型的題目，在中學(xué)的課本中比較常見。不能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的，這類命題解題時(shí)，一般通過下面的兩種途)2(徑為應(yīng)用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件,先將代入原式，然后將所得表達(dá)式作適當(dāng)?shù)淖? k

32、n換，從而得到結(jié)論；利用其它數(shù)學(xué)知識，建立與的聯(lián)系，從而得到結(jié)論成)(kp)1( kp立，對于這種類型題目在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的概率也是很大的。4 數(shù)學(xué)歸納法的典型應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種極為有效的方法，它在證明中的應(yīng)用是十分廣泛的。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、證明n整除問題、證明幾何問題以及矩陣問題等。4.1 證明恒等式 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的恒等式，包括與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、組合數(shù)公式及其恒等式等，證明過程中只要實(shí)現(xiàn)等式左右兩邊相等即可。下面舉例說明 例例 4.14.1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：*111()1 33 5(21)(21)2

33、1nnnnnn 證明：(1)當(dāng)時(shí)，左邊，右邊1n =111 33112 1 13 左邊=右邊(2)假設(shè)時(shí)，等式成立即nk=1111 33 5(21)(21)21kkkk 當(dāng)時(shí)，1nk=+ 11111 335(21)(21)(21)(23)121(21)(23)(23)1(21)(23)(21)(1)(21)(23)12(1)1kkkkkkkkkkkkkkkkkk 當(dāng)時(shí)，等式也成立。1nk=+ 由(1)(2)知，等式對任何都成立。nn 例例 4.24.2 （2010 江蘇卷（理科） ）已知abc 的三邊長都是有理數(shù)。 （1）求證：是有理數(shù)；cos a （2）求證：對任意正整數(shù)，是有理數(shù)ncosn

34、a 證明：(1)由、為有理數(shù)及余弦定理知是有abbcac222cos2abacbcaab ac+-=理數(shù)。 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明和都是有理數(shù)。cosnasinsinana 當(dāng)時(shí)，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。1n =cos a2sinsin1cosaaa 假設(shè)當(dāng)時(shí)，和都是有理數(shù)。(1)nk kcoskasinsinaka 當(dāng)時(shí)，由1nk=+ ,cos(1)coscossinsinkaakaaka sinsin(1)sin(sincoscossin)(sinsin) cos(sinsin) cosakaakaakaaakaaaaka 由和歸納假設(shè)，知與都是有理數(shù)。cos(1)ka+si

35、nsin(1)aka 即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。1nk=+ 綜合、可知，對任意正整數(shù)，是有理數(shù)。ncosna5數(shù)學(xué)歸納法最簡單的應(yīng)用之一，是用來研究排列和組合的公式，通過高中的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道：“從個(gè)不同的元素里，每次取 個(gè)，按照一定的順序擺成一排，稱做nr從個(gè)元素里每次取出 個(gè)元素的排列。 ”排列的種數(shù)，稱做排列數(shù)。從個(gè)不同的元nrn素里每次取 個(gè)元素所有不同的排列數(shù)，可以用符號來表示。對于有下面的公式：rrnarna 定理定理 1 1 (1)(2)(1)rnan nnnr=-+現(xiàn)在我們用數(shù)學(xué)歸納法來證明它。證明：首先，1nan=這是顯然的如果再能證明 ，11rrnnana-=那么，這個(gè)定理就可以

36、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來證明。我們假定個(gè)元素是在每次取出 個(gè)元素的種排列法里，以為首n12,na aarrna1a的共有種，以為首的同樣也有種，由此即得11rna-2a11rna- 11rrnnana-= 于是定理得證。642 證明不等式 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式兩種嚴(yán)格不等式的證明，只要保證原不等式中的“”或“”成立即可對于非嚴(yán)格不等式，情況略顯復(fù)雜，在證明過程的第一步驗(yàn)證中，對于“”或“”的處理，存在兩種不同的看法，一種觀點(diǎn)認(rèn)為：在第一步中，既要驗(yàn)證“”成立，也要說明成ab=()ab ab立。只有如此，才能更充分地體現(xiàn)非嚴(yán)格不等式成立。另一種觀點(diǎn)認(rèn)為：()ab ab在

37、第一步中，只要證明或有一個(gè)成立，即可說明非嚴(yán)格不等式ab=()ab ab成立。從邏輯連接詞的角度，我傾向于后者。事實(shí)上，用數(shù)學(xué)歸納法證明()ab ab非嚴(yán)格不等式時(shí)，是或的基礎(chǔ)。ab=abab7 例例 4.34.3 求證：21212111()()(0)nnnaaanaaaa 證明：（1）當(dāng)時(shí)，不等式成立。1n = （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即()nk kn21212111()()kkaaakaaa那么當(dāng) 1nk=+ 12112112121121121111()()1111111()()()()1kkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21211122211112 ()()

38、121kkkkkaaaaaaaakk 2221(1)kkk=+=+ 即當(dāng)時(shí)，命題成立。1nk=+ 根據(jù)（1）和（2） ，可知命題對任何都成立。*nn8 例例 4.44.4 求證：11113(2,)12224nnnnnn 證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊=右邊2n =117141334122424+= 不等式成立 （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即(2)nk k1111312224kkk+ 令111122kskkk=+ 那么當(dāng)時(shí)，令1nk=+1111112322122kskkkkk+=+ 則有111110212212(1)(21)kksskkkkk+-=+-=+ 1kkss+ 由歸納假設(shè)知，則1324ks 113

39、24ks+ 即當(dāng)時(shí)，命題成立。1nk=+ 根據(jù)（1）和（2） ，可知命題對任何都成立。*nn 有時(shí)候，我們要證明的不等式無法直接運(yùn)用歸納法解決，這時(shí)，我們則考慮將不等式加強(qiáng)以便運(yùn)用歸納法。而不等式加強(qiáng)的形式是多樣的，其中規(guī)律有法可循根據(jù)要證不等式的形式進(jìn)行構(gòu)造。例例 4.54.5 若不等式對一切正整數(shù)都成立，求正整24131312111annnn數(shù)的最大值，并證明你的結(jié)論。a解：取，1n24261131211111令，得，而，242426a26a na 所以取，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 25a2425131312111nnnn 1）時(shí)，已證結(jié)論正確。1n 2）假設(shè)時(shí)，不等式成立。kn 3）則當(dāng)時(shí)，

40、有1 kn 1) 1(313312311312) 1(11) 1(1kkkkkk )11431331231()1312111(kkkkkkk ) 1(324312312425kkk因?yàn)?) 1(328189) 1(64312312kkkkkk所以 0) 1(32431231kkk所以 24251) 1(312) 1(11) 1(1kkk即時(shí)，結(jié)論成立。kn 由 1） ，2）可知，對一切，都有 na 2425131312111nnnn故的最大值為。 a2543 證明整除問題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題，是數(shù)學(xué)歸納法的重要應(yīng)用之一。在做這一部分題時(shí)，應(yīng)從整除的基本含義入手，通過添項(xiàng)去項(xiàng)進(jìn)行“配湊”

41、 ，使之能夠獲證。 例 4.6 證明能被整除。nnn3362211證明： 1) 時(shí)，能被整除。1n663363363222nnn11 2) 假設(shè)時(shí)，能被整除。kn nnn3362211 3）則當(dāng)時(shí)，有1 kn 121)1(2336kkk kkkkkkkk33333633333663633336362222 )33(33)336(36222kkkkk由于能被整除，能被整除122336kkk11)33(332kk11所以時(shí)命題成立。1 kn即證。4.4 證明幾何問題 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)重要應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的重要方法，但是運(yùn)用它只能證明命題的正確性，

42、而不能指望由它發(fā)現(xiàn)命題。數(shù)學(xué)家華羅庚曾在其數(shù)學(xué)歸納法一書中指出；“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來 ”不少與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題，也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是在證明之前要找出規(guī)律，獲得公式，然后才能用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論。 例例 4.74.7 平面內(nèi)有個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于n同一點(diǎn)。求證：這個(gè)圓把平面分成個(gè)部分。n22 nn證明：1）當(dāng)時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩部分，命題成立。1n22112 2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即個(gè)圓把平面分成個(gè)部分。k22 kk 3）則當(dāng)時(shí)，這個(gè)圓中的個(gè)圓把平面分成個(gè)部分，第1 kn1kk22 kk個(gè)圓被前個(gè)圓分成條弧

43、，每條弧把它所在部分分成了兩個(gè)部分，這是共增加1kkk2了個(gè)部分，即個(gè)圓把平面分成k21kkkk2)2(2 2) 1() 1(2kk即命題成立。4.5 行列式與矩陣的證明 行列式與矩陣的計(jì)算靈活多變，需要有較強(qiáng)的技巧。當(dāng)然，任何一個(gè) n 階行列式都可以由它的定義去計(jì)算其值。但由定義可知， 階行列式的展開式有！項(xiàng)，計(jì)算nn量很大，一般情況下不用此法。如果選擇好的方法，從而達(dá)到化繁為簡的功效。例 4.8 證明范得蒙行列式：)(evandermond其中 nijjinnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxv111312112232221321)(.:.1.111)()()()()(1223113

44、121 nnnnnijjixxxxxxxxxxxxxx 證明 ：（1）當(dāng)時(shí)，等式成立。2n)(11211221jiijnxxxxxxv（2）假設(shè)等式對階范得蒙行列式成立，即1n111)(nijjinxxv對 n 階范得蒙行列式： )(.)()(0:)(.)()(0.01.11112132312221133122113122, 1,11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxvnnnnnnnnrxrnninii 按第一列展開并提取公因子，得1c223223211312.:.1.11)()( nnnnnnnxxxxxxxxxxxxv后面的行列式是一個(gè)階范得蒙行列式，1n1nv由歸納假設(shè)可寫

45、作，代入上式便得nijjinxxv21)(.nijjinijjiniinxxxxxxv1221)()()(由（1） 、 （2）可知，對所有的，命題成立。nn例例 4.94.9 求證：nnnnnnnnnnn0002)1(001001121證明 ：（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立1n（2）假設(shè)命題成立，即1n121321100) 1(02)2)(1() 1(001001nnnnnnnnnnn當(dāng)取時(shí):n00100100) 1(02)2)(1() 1(001001121321nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn0002) 1(121由（1） 、 （2）可知，對所有的，命題成立。nn 在解決行列式與矩陣問

46、題時(shí)，選擇一種好的方法不僅能達(dá)到事半功倍的效果，更能體現(xiàn)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的功底。計(jì)算行列式與矩陣的方法比較靈活，同一行列式與矩陣可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用。在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，再考察它是否能用常用的幾種方法，如果行列式與矩陣中有與自然數(shù)有關(guān)，我們可考慮用數(shù)學(xué)歸納法去證明，再利用它們的性質(zhì)對它進(jìn)n行變換，然后求解。5 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤分析剛剛接觸數(shù)學(xué)歸納法時(shí)容易出現(xiàn)對步驟把握不清的現(xiàn)象，下面針對幾種常見錯(cuò)誤進(jìn)行分析。5.1 忽略了歸納奠定基礎(chǔ)的必要性 錯(cuò)例 5.1 試證 。12) 1(.321nnn 錯(cuò)證：假設(shè)時(shí)等式成立，即nk=

47、(1)1 2 312k kk+ + +=+ 則當(dāng)時(shí)，1nk=+ 1 2 31(1)112(1)(2)12kkk kkkk+ + + + +=+ + +=+ 即當(dāng)時(shí)等式成立。1nk=+ 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理可知，當(dāng)是任意正整數(shù)時(shí)，等式都成立。n評注：事實(shí)上，。因此錯(cuò)例 1 的題目是錯(cuò)誤的。上述錯(cuò)證，(1)1 2 32n nn+ + +=竟把錯(cuò)誤的結(jié)論“證明”出來了，豈非怪哉？此種怪現(xiàn)象出現(xiàn)的原因，就是缺少歸納奠定這一步。切莫以為歸納奠定這一步就是“當(dāng)時(shí)命題正確”這么一句話，似乎1n =無關(guān)緊要，可有可無。從上例可以看出，不去認(rèn)真地檢驗(yàn)這一步，或者根本沒有這一步，就可能陷入錯(cuò)誤的泥潭。因此，只有歸納

48、遞推、沒有歸納奠定基礎(chǔ)的論證是錯(cuò)誤的。歸納奠基步驟決不能少。15.2 弄不清 從 變化到命題發(fā)生變化時(shí)到底增加了幾項(xiàng)nk1k +錯(cuò)例錯(cuò)例 5.25.2 求證：（n 為自然數(shù)） 。111111()23422nnnn-+ 當(dāng)時(shí)，左邊為nk=1111112342k-+ 則當(dāng)時(shí)左邊應(yīng)為1nk=+1111111111111()2342212222kkkkk-+就增加了括號中的那部分共項(xiàng)，而往往在此處由于受到前期思維定勢的影響，12k-判斷為只增加一項(xiàng)，那就錯(cuò)了。5.3 在第二步證明中沒有利用歸納假設(shè) 比如用數(shù)學(xué)歸納法證明，不少同學(xué)是按下列步驟展開的：12nnn 證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=2 1n

49、=2左邊右邊 原不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)（k 為整數(shù)）時(shí)不等式成立，即，kn 21kkk+那么當(dāng)時(shí)，1nk=+ 2(1)(1)kk+ 232kk=+ 232 (2)kkk 分析：不妨先看看第二步， 假設(shè)時(shí)，有，即.則當(dāng)時(shí)，nk=222kk+ 222kk-1nk=+。122222 222(2)222kkkk+ = + -+ =-,222(22)(1)23(3)(1)kkkkkk-+=-=-+由于，欲使上式大于 0，必有，即 k34。10k + 3k 這說明要完成歸納遞推，必須從 4 開始。因而起點(diǎn)也必須從“后挪”至k1n =。此時(shí)第一步就應(yīng)該是：4n =當(dāng)時(shí)， （經(jīng)驗(yàn)證）命題都成立。1,2,3,4

50、n =這里運(yùn)用了“起點(diǎn)后挪”的技巧7。6.2 恰當(dāng)選取“跨度”在歸納中，有時(shí)采用較大的跨度更為方便，就可以改變跨度，不過應(yīng)注意隨之而起點(diǎn)增多。例例 6.36.3 試證：任意大于 7 的自然數(shù)均可表為若干個(gè) 3 與若干個(gè) 5 之和（若干個(gè)包括零個(gè)） 。證明：（1）當(dāng)=8，9,10 時(shí)，命題成立，由 8=5+3,9=3+3+3,10=5+3 知命題成立。n（2）假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)，只需再加一個(gè) 3 即可，(7,)nk kkn=3nk=+顯然成立。綜合（1） 、 （2）知原命題成立.上例遞推跨度為 3，起點(diǎn)驗(yàn)證也需要三個(gè)。例例 6.46.4 求證對一切自然數(shù)，不定方程都有正整數(shù)解。n22nxyz

51、+=證明：當(dāng)時(shí)，??；當(dāng)，取，故知命題在1n =1,2xyz=2n =3,4,5xyz=和 2 時(shí)成立。1n =假設(shè)當(dāng)時(shí)，就有nk=000,xxyyzz=，22222200000000()()()kx zy zzxyz+=+=知它們恰為方程的一組正整數(shù)解.所以當(dāng)時(shí)，命題也成立。2nk=+則對一切自然數(shù)不定方程都有正整數(shù)解。n對上述兩個(gè)例題，如果硬性規(guī)定跨度為 1，則作繭自縛，而通過加大跳躍跨度，則大大降低了歸納難度6。6.3 選取合適的假設(shè)方式同“起點(diǎn)”和“跨度”一樣，歸納法的假設(shè)也可以是“因勢而異”的，不一定非要拘泥于“假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立”不可。事實(shí)上， “”往往可以用“”或nk=nk=nk“，

52、”等等來代替。nk=1nk=+6.3.1 以“假設(shè)時(shí)成立”代替“假設(shè)時(shí)成立”nknk= 例例 6.56.5 設(shè)數(shù)列滿足關(guān)系式：na（1），112a =（2），試證數(shù)列的通項(xiàng)公式為。 （加拿大數(shù)學(xué)212(1)nnaaan an1(1)nan n=+競賽試題）分析：顯然滿足通項(xiàng)公式，但因1a，11221()(1)1kkaaaak+=+-與，都有關(guān)，如果仍設(shè)，就顯得不夠用了。按如果改設(shè)1a2aka1(1)kak k=+“對一切，都有” ，問題即可解決，因?yàn)橛蒼k1(1)nan n=+121111()1 22 3(1)2kakkkk 111111(1)()()(2)223111(1)(2)11(1)(

53、2)k kkkk kkkk=-+-+-+=-+=+即可知也滿足通項(xiàng)公式。1ka+在上面的論證中，僅僅改變了假設(shè)的方式，而這種改變并未造成邏輯上的不合理，相反卻有利歸納過渡，因而是十分可取的。6.3.2 以“假設(shè)，時(shí)成立”代替“假設(shè)時(shí)成立”nk=1nk=+nk= 有時(shí)也會碰到一些問題，它們的歸納需要依賴于前面兩個(gè)命題同時(shí)成立，這時(shí)就應(yīng)當(dāng)用“假設(shè)，時(shí)成立”來代替通常的“假設(shè)時(shí)成立” ，不過這樣一nk=1nk=+nk=來，起點(diǎn)也應(yīng)增多為兩個(gè)，否則，后面所作的假設(shè)就變得沒有依據(jù)，整個(gè)論證也就變得不可信了。例例 6.66.6 設(shè)與是方程的兩個(gè)根，試證對任何自然數(shù)，都1x2x2610 xx-+ =n12n

54、nxx+是整數(shù)，但不是 5 的倍數(shù)。證明：為了便于使用歸納法，我們先來推導(dǎo)一下遞推關(guān)系式.由韋達(dá)定理知：，因而就有12126,1xxxx+=11111212126()()()nnnnxxxxxx+=+ 221112122122121212221212()nnnnnnnnnnnnxxx xx xxxx x xxxxxx+=+=+=+故知 ，22111212126()()nnnnnnxxxxxx+=+-+即有 .221111121212125() ()()nnnnnnnnxxxxxxxx+=+-+ 又當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，1n =1261(mod.5)xx+= 2n =2221212()xxxx+=+，

55、故知當(dāng)與 2 時(shí)，都是整數(shù)且不為 5 的倍數(shù)，現(xiàn)假122344(mod.5)x x-=1n =12nnxx+設(shè)，時(shí)，也都是整數(shù)，于是由遞推關(guān)系式 nk=1nk=+12nnxx+ 22111212126()()nnnnnnxxxxxx+=+-+知當(dāng)時(shí)，也是整數(shù).所以對一切自然數(shù)，都是整數(shù)。2nk=+12nnxx+n12nnxx+為證都不是 5 的倍數(shù)，以記其被 5 除所得的余數(shù)，于是由已證部分知12nnxx+na，且由遞推公式知。再證是一個(gè)循環(huán)數(shù)列，循環(huán)節(jié)是121,4aa=21nnnaaa+=-na6。事實(shí)上，我們有 32111()nnnnnnnaaaaaaa+=-=-=-于是有 63()nnn

56、naaaa+=-=- -=從而知是以 6 作為循環(huán)節(jié)的循環(huán)數(shù)列.于是可以算出：na 6116226331,4,3,nnnaaaaaa+= 6446556661,4,3,nnnaaaaaa+=-=-=-它們都不為 0，這樣我們就證明了對一切自然數(shù)，都不是 5 的倍數(shù)。n12nnxx+在本例論證的前一部分是整數(shù)中，就采用了“與時(shí)，12nnxx+nk=1nk=+是整數(shù)”的假設(shè)形式，以便于利用遞推公式順利進(jìn)行完成歸納過渡。這種假設(shè)12nnxx+形式，在論證數(shù)列問題時(shí)較為常用.但在使用時(shí)應(yīng)注意對起點(diǎn)數(shù)作相應(yīng)的增多。7 數(shù)學(xué)歸納法的地位和作用數(shù)學(xué)歸納法在討論涉及正數(shù)無限性的問題時(shí)，是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，它的地位和作用可以從以下三個(gè)方面來看：（1）中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)n和公式、二項(xiàng)公式定理等都可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。對于由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們也常采用數(shù)學(xué)歸納法來證明它們的正