15當(dāng)方程不易求解時(shí)的三種策略

1、當(dāng)方程= o不易求解時(shí)地三種策略導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)地有力工具，其核心又是由導(dǎo)數(shù)值地正、負(fù)確定函數(shù)地單調(diào)性用導(dǎo)數(shù) 研究函數(shù)/(兀)地單調(diào)性，往往需要解方程fx) = 0.若該方程不易求解時(shí)，如何繼續(xù)解題 呢？本文將介紹三種策略解決這種問(wèn)題.1策略1猜一一猜出方程f(x) = 0地根1例1求函數(shù)/(x) = e-¥+-x2-(24-ln2)x地最小值.解 可得 /(x) = ea+x-(2 + ln2).接下來(lái)，須求函數(shù)/(x)地單調(diào)區(qū)間，所以須解不等式fx) > 0及廠(x)so,因而須解方程f(x) = 0 .但此方程不易求解，所以我們可以先猜后解.易知.廠(兀)是增函數(shù)，所以方程

2、fx) = 0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，且可觀察出此實(shí)數(shù)解就 是ln2,所以函數(shù)/(x)在(-oo,in2)?(in2,+-)上分別是減函數(shù)、增函數(shù)，得 /«in=/(in2) = 2-2in2-1 in2 2.例2設(shè)/(兀)=上也二(1) 若函數(shù)/(x)在(d,d + l)上有極值，求實(shí)數(shù)g地取值范圍；(2) 若關(guān)于x地方程/(x) = x2-2x + k有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k地取值范圍.解(1)(過(guò)程略)所求實(shí)數(shù)a地収值范圍是(0,1).(2)方程 f(x) = x2-2x+k 即 f(x)-x22x = k.設(shè)g(x)二/(x)-%2 + 2x,可得所求實(shí)數(shù)k地取值范圍即函數(shù)g(x)地值域

3、.得 g©) = 2(l-q +羋.接下來(lái)，須求函數(shù)goo地單調(diào)區(qū)間，所以須解不等式gx)>o及/(兀)50,因而須解方程/(x) = 0.但此方程不易求解，所以我們可以先猜后解：可得 /(1) = 0 ,且 g©)>0(0vxvl),g©)v0(x>l),所以函數(shù) g(兀)在 (0,l),(l,+oo)上分別是增函數(shù)、減函數(shù)，得g喚二g(l) = 2 .進(jìn)而可得函數(shù)g(x)地值域是2策略2設(shè)一一設(shè)出方程f(x) = 0地根例3 (2012年高考新課標(biāo)全國(guó)卷文科第21題)設(shè)函數(shù)/(x) = ea"-血-2.求/(無(wú))地單調(diào)區(qū)間；(2)若

4、a = ,k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x-燈.廠(兀)+兀+ 1>0,求£地最大值.解()f(x) = ex-a.當(dāng)gwo時(shí)，f(x) > 0恒成立，所以函數(shù)/(兀)在(汽+8)上是增函數(shù)；當(dāng)。>0時(shí)， fx) > 0 <=> x> ln« ,所以函數(shù)/(兀)在(一8,inc,ina,+8)上分別是減函數(shù)、增函數(shù).x +1(2)可得題設(shè)即k <+兀(兀> 0)恒成立.ex-l令 £(兀)=罕 + 兀(兀 > 0),得 gx) = © , 一(x > 0). e -1(e -1)由地結(jié)論

5、知，函數(shù)h(x) = cx-x-2(x>0)是增函數(shù).又加1) v 0/(2)0,所以函數(shù) 力(勸地唯一零點(diǎn)aw (1,2)(也可把該零點(diǎn)叫做函數(shù)加兀)地隱零點(diǎn)，這種設(shè)法類似于解析幾 何中地“設(shè)而不求”地解法).當(dāng)兀 w(0,q)時(shí)g'(x)v0；當(dāng)兀 w(g,+oo)時(shí)g'q0o.所以 g(qrin =g(g).又由 g'(a) = 0,得 e"二& + 2,所以 &(兀)簡(jiǎn)=g(a)二 q + 1 .由 qw(1,2),得 2<g(% <3所以所求k地最大值是2.注 由此解法，還可求得：整數(shù)k地取值范圍是不大于2地整數(shù),實(shí)

6、數(shù)£地取值范圍 是(-oc,心)，其中心是方程小t >心+1地正數(shù)解.例4已知函數(shù)f(x) = kex-x2有兩個(gè)極值點(diǎn)兀,無(wú)2(兀1 <兀2)(1) 求£地取值范圍；(2) 求/(x), f(x2)地取值范圍.解(1)得f(x) = kex-2x,所以方程fx) = 0即石.2r2設(shè)恥)=云，得0(勸=了(1-力進(jìn)而町得出函數(shù)0(兀)地單調(diào)區(qū)間，再由此作出函數(shù)0任)地圖象如圖1所示:因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)x = l時(shí)，0(兀)所以由圖1可得k地取值范圍是1°'?丿(2)由 /'(壬)二總"一2西二0,得kexl = 2x,所以由圖1可

7、得西地取值范圍是(0,1),進(jìn)而可得/(西)地取值范圍是(0,1).同理可得f(x2) = kex2 -x22 = 2x2 -x22 = 1 -(%2 -1)2,由圖1可得勺地取值范圍是 (l,+oo)，進(jìn)而可得/(%)地取值范圍是(-汽0).例5 (北京市朝陽(yáng)區(qū)2015屆高三文科二模第20題)已知函數(shù)fx) = asin兀+ cosx , 其中0.tt(1)當(dāng)1時(shí),判斷/(兀)在區(qū)間0,上地單調(diào)性；數(shù)/地取值范i韋i.八 7t解(1)因?yàn)樾?1, x 0,所以 ff(x)= acosx- sinx? cosx sinx? 0 . 4(2)令 /f(x)= 0 ,得acosx= sinx.tt

8、因?yàn)樵趨^(qū)間0,才上cos兀1 0,所以a= tanx.aatt.因?yàn)閍l (0,1) , tan兀i 0,1,且函數(shù)y= tanx在0,上單調(diào)遞增，所以方程tta= tanx在(0,才)上必有一根,記為兀得/氏兀)=6zcosx0- sin x() = 0 .71八因?yàn)?%工)=qcosx sinx在0,上單調(diào)遞減，所以當(dāng)xl (o,xo)時(shí)， 4/血)> / (觀)=0；當(dāng)"(兀，彳)時(shí)，/ (兀0)= 0.7t所以/在(0心)上單調(diào)遞增，在(心一)上單調(diào)遞減得 4/wmax = /(x0)= d sin 兀o+ cos 兀o 又因?yàn)?a cos x0 = sin x0 ,

9、且 sirr x() + cos" x0 = 1 , 所以(a + 1) cos x) = 1 , cos2 x0 =所以 /oomax = /(兀0)= (a" + 1)cosx° =+ 1 依題意得，當(dāng)al (0,1)時(shí)，.a yja2+< t2+ at + 2恒成立. j/+ 1即ai (0,1)時(shí)，(-2)a+尸+2> 0恒成立.令他十2)宀+2,得僦：甞即尸2?。， fr2+ r? 0.解得f? 1或八o.所以所求實(shí)數(shù)t地取值范圍是(-oo-lu0,+oo).3策略3證一一證明方程f(x) = 0無(wú)根例6若存在兀使不等式蘭二巴> 依 成

10、立，則實(shí)數(shù)加地取值范圉是.ea解(-00,0).題設(shè)即存在x使不等式一磴> 屁- x成立.設(shè)低=t(t > 0),得題設(shè)即3r>0使不等式一 m > re/? -t2成立.設(shè)/(0 = t2-r2(r>0),下面須求函數(shù)/(0地最小值.得r(r) = e/2(2r+l)-2r(r>0),須解方程f(t) = 0 ,但此方程不易求解.可大膽猜測(cè)方程ft) = 0無(wú)解(若方程ft) = 0無(wú)解，則f(t)地值恒正或恒負(fù)(否則由 勘根定理知方程廠二0有解)，得/(0是增函數(shù)或減函數(shù)，此時(shí)研究函數(shù)/就很方便), 證明如下：f(t) = /(2/2 +l)-2r>

11、;2qj2 -2r>0(r>0)進(jìn)而可得/z(0 > 0(>0),所以函數(shù)/是增函數(shù)，得其最小值為/(0) = 0, 所以題設(shè)即- 777>0,由此可得答案. 1 例 7 已知/?7g r,函數(shù) fx) = mxlnx,(x) = + lnx.(1)求函數(shù)g(x)地極小值；若函數(shù)=f(x)-g(x)在1,+8)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)加地取值范圍；2e(3)設(shè)h(x)=,若3x0ehe使得/(x0)-j?(x0) >/t(x0),求實(shí)數(shù)加地取值范圍.解(1)(過(guò)程略)當(dāng)且僅當(dāng)兀=1時(shí)，g(x)取極小值，且極小值是1.(2)(過(guò)程略)所求實(shí)數(shù)加地取值范圍是l,+oo

12、) (3) 題意即關(guān)于x地不等式f(x)-g(x)>h(x)在l,e上有解,也即關(guān)于兀地不等式2e + 2xlnx< m(l < < e)有解.2e + 2_x in x設(shè)u(x)="十q 兒(l<x<e),下面須求函數(shù)u(x)地最小值.jt -1得 ux)=2x2 一4ex-2-(2x2 + 2)inx(x2-l)2(l<x<e),但不易求解方程u(x) = 0.可大膽猜測(cè)方程ux) = 0無(wú)解，證明如下:由 1 vxse,可得一(2x2 +2)lnx< 0;2x2 - 4ex - 2 = 2(x - e)2 - 2e2 - 2

13、 < 0 ,所以_ 4e、u(x) < 0 ,得以x)是減函數(shù)，所以函數(shù)班x)地值域是-一,4-00 ,進(jìn)而可得所求實(shí)數(shù)加 l&t丿/ a、地取值范圍是=,+oo .(e -1丿版權(quán)申明本文部分內(nèi)容，包括文字、圖片、以及設(shè)計(jì)等在網(wǎng)上搜集整理. 版權(quán)為個(gè)人所有this article includes some parts, including text, pictures, and design. copyright is personal ownership.用戶可將本文地內(nèi)容或服務(wù)用于個(gè)人學(xué)習(xí)、研究或欣賞，以及其 他非商業(yè)性或非盈利性用途，但同時(shí)應(yīng)遵守著作權(quán)法及其他相關(guān)

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