14-5線段的最大值與最小值的解題策略

1、14-5線段最人值與最小值的解題思路冋顧：1線段公理兩點之間，線段最短；2.對稱的性質(zhì)關(guān)于一條直線對稱的兩 個圖形全等；對稱軸是兩個對稱圖形對應(yīng)點連線的垂直平分線；3.三角形兩邊z和大于 笫三邊；4.三角形兩邊z差小于第三邊。5、垂直線段最短一、兩點之間線段最短、垂線段最短線段之和的問題往往是將各條線段串聯(lián)起來，再連接首尾端點，根據(jù)兩點之間線段最短 以及點到線的距離垂線段最短的基木依據(jù)解決。例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，abc三個點的坐標(biāo)分別為a（-6,0）, b（6,0）,c（0,4巧），延長ac到點d,使cd二* ac,過點d作deab交bc的延長線于點e.（1）求d點的坐標(biāo);（2

2、）作c點關(guān)于直線de的對稱點f,分別連結(jié)df、ef,若過b點的 直線y = hc + b將四邊形cdfe分成周長相籌的兩個四邊形，確定此:直線的解析式；（3）設(shè)g為y軸上一點，點p從直線y = kx + b與y 軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達(dá)g點，再沿ga到達(dá)a點，若p點在y 軸上運動的速度是它在直線ga上運動速度的2倍，試確定g點的位 置，使卩點按照上述耍求到達(dá)a點所用的時間最短。（耍求：簡述確 定g點位置的方法，但不要求證明）p點在y軸上運動的速度是它在 直線ga上運動速度的2倍.zb ac的平分線交于點d m、"分別這不是一道簡單的作圖題，需要經(jīng)歷以下的思索路徑：看數(shù)據(jù)的特殊性，3

3、0。簡化圖形-轉(zhuǎn)化題意-由果索因-畫圖說理課堂練習(xí)：1如圖，在zkabc中,ac=bc=2,zacb二90。，d是bc邊的中點，e是ab邊上一動點，貝ijec+ed的最小值是 2在銳角 zvibc 中，ab = 42, zbac = 45°,p點在gh上運動速度等于它在 直線ga上運動速度.b4nd求gh+ga的最小值.是ad和ab上的動點，則bm +m例2、如圖2,正方形abcd的邊長為4, zdcb的平分線ce交db于點e,若點p,q分別是cd和ce上的動點，則dq+pq的最小值()a.2 b. 22 c. 4 d. 4邁已知:在zabc中，bc=a, ac=b,以ab為邊作等邊

4、三角形abd.探究下列問題：(1) 如圖1,當(dāng)點d與點c位于直線ab的兩側(cè)時，a=b=3,且zacb=60° ,則cd=；(2) 如圖2,當(dāng)點d與點c位于直線ab的同側(cè)時，a=b=6,且zacb=90° ,則cd=；(3) 如圖3,當(dāng)zacb變化，且點d與點c位于直線ab的兩側(cè)時，求cd的最大值及相 應(yīng)的zacb的度數(shù).二、三角形兩邊之和大于第三邊求線段的最人值與最小值需要將該條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，在該三角形中，其他兩邊是 已知的，則所求線段的最人值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。在轉(zhuǎn)化較難進 行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。例1 在rt

5、aabc中，zacb=90°, tanzbac=丄.點d在邊ac上(不與a, c重合)，連2結(jié)bd, f為bd中點.(1) 若過點d作de丄ab于e,連結(jié)cf、ef、c£,如圖1設(shè)cf = kef ,則k =；(2) 若將圖1中的繞點a旋轉(zhuǎn)，使得d、e、b三點共線，點f仍為中點, 如圖2所示.求證：bede=2cf；(3) 若bc=6,點d在邊ac的三等分點處，將線段ad繞點4旋轉(zhuǎn)，點f始終為bd 中點，求線段cf長度的最大值.圖1備圖課堂練習(xí)（西城 8）如圖，在abc 屮，zc=90° , ac=4, bc=2,點人、c 分別在x軸、y軸上，當(dāng)點a在x軸上運動時

6、，點c隨z在y軸 上運動，在運動過程中，點b到原點的最大距離是a. 2a/2+2 b- 2a/5 co 2喬d. 6三、線段差的問題已知兩點a、b與直線/ （ab與/不平行.fl在/同側(cè)），動點p在/上，求pa - pbmax連接ab并延長交直線/于點p,則點p為所求最人值時所取的點,a先閱讀下面材料，然后解答問題：（本小題滿分10分）【材料一】：如圖，直線/上有a、人兩個點，若在直線/上要確定一點p，且使點p 到點人、的距離之和最小，很明顯點p的位置可取在£和血之間的任何地方，此時距離 z和為人到仏的距離.如圖，氏線/上依次有a、a?、九三個點，若在直線/上要確定一點p,且使點p

7、到點人、人、州的距離z和最小，不難判斷，點p的位置應(yīng)取在點舛處，此時距離z利為 a到£的距離（想一想,這是為什么？）不難知道，如果直線/上依次有a、4、人、岀四個點，同樣要確定一點巴使它到 各點的距離z和最小，則點p應(yīng)取在點a和九z間的任何地方;如果直線/上依次冇a、 人3、£、as五個點，則相應(yīng)點p的位置應(yīng)取在點人3的位置.* i* iaia2ai a2 a3圖圖【材料二】：數(shù)軸上任意兩點心間的距離可以表示為ab.【問題一】：若已知直線/上依次有點£、舛、舛、每5共25個點，要確定一點p,使它到己知各點的距離之和最小，則點p的位置應(yīng)取在；若已知直線/上依次有點人

8、、舛、九、人0共50個點，要確定一點p,使它到 已知各點的距離z和最小，則點p的位置應(yīng)取在.【問題二】：現(xiàn)要求|x + l|+ x + x-l|+ x-2 + x-3 +- + |%-97| 的最小值，根據(jù)問題一的解答思路，可知當(dāng)兀值為時，上式有最小值為四、幾種變式變式1如圖1, e為正方形abcd的邊bc上的中點，且bo2,請在對角線bd上找一個點p使pc+pe的值最小為圖1c變式 2.如圖 3,在直角梯形 abcd 中，zabc=90° , adbc, ad=4, ab= 5, bc = 6,點p是ab上一個動點，當(dāng)pc + pd的和最小時，pb的長為變式3、如圖3,梯形abcd

9、中，ad/bc, be平分zabc,且be丄cd于e, p是be ±一動點。若bc = 6, ce=2de,則| pc - pa |的般大值是 變式4如圖2,如圖，cd是00的百徑，點a是半圓上的三等分點，b是弧ad的中點，p點為直線cd上的一個動點，當(dāng)cd二4時，則（1） ap+bp的最小值為（2） ap-bp的最人值為.變式5.如圖3-7,正方形abcd的邊長為4 , ce=3, cf二2,請在邊ab, ad上找兩個點g、h使四邊形efgii周長最小,并求出此時的周長。3 1 2變式6、拋物線y = -x2 一一x + 3和y軸的交點為a,m為04的中 點，若有一動點p,自m點處

10、出發(fā)，沿直線運動到兀軸上的某點（設(shè) 為點e）,再沿直線運動到該拋物線對稱軸上的某點（設(shè)為點f）,最 后又沿直線運動到點a,求使點p運動的總路程最短的點e,點f的 處標(biāo)，并求出這個最短路程的長。變式7、如圖（1）,直線y二jl + 2與兀軸交于點c,與y軸交于點b,點a為y軸正半軸上的一點，oa經(jīng)過點b和點0 ,直線bc交oa于點do（1）求點d的處標(biāo)；d（2）過0, c, d三點作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點p,使線段p0與pdz差的值最人？若存在，請求出這個最人值和點p的坐標(biāo)。若不存在，請說明理由。變式8、如圖3-8,以矩形創(chuàng)的頂點0為原點，創(chuàng)所在的直線為乂軸，所在的直線為 y軸，

11、建立平而直角坐標(biāo)系.已知滋=3, 0c=2,點f是初的屮點，在滋上取一點，將 尿m沿劭翻折，使點力落在 比邊上的點f處.(1) 直接寫出點從廠的處標(biāo)；(2) 設(shè)頂點為廠的拋物線交y軸止半軸于點p, 且以點以f、戶為頂點的三角形是等腰三角形， 求該拋物線的解析式；(3) 在jv軸、y軸上是否分別存在點收n,使得 四邊形於陽的周長最??？如果存在，求出周長的最 小值；如果不存在，請說明理由 變式9 (2010天津市)在平面直角朋標(biāo)系中，矩形oacb的頂點o彳 分別在x軸、y軸的正半軸上，oa = 3, ob=4, d為邊03的中點.(i) 若e為邊04上的一個動點，當(dāng)acde的周長最小時，求點e的坐

12、標(biāo)；c1b/>eoda"圖38 b(ii) 若e、f為邊0a上的兩個動點，h-ef=2,當(dāng)四邊形cqef的周長最小時，求點e、 f的坐標(biāo).變式10.如圖，已知直線y =+尢+ 1與)；軸交于點a,與兀軸交于點d,拋物線exd o1 .y = x +bx + c與直線交十a(chǎn)、e兩點，與x軸交十b、 2c兩點,且b點坐標(biāo)為(1, 0)o在拋物線的對稱軸上找一點m,使am-mc的值最 人，求出點m的坐標(biāo)。變式11、如圖，已知點a(-4, 8)和點3(2,力在拋物線y = ax2±.(1)求。的值及點b關(guān)于x軸對稱點p的朋標(biāo)，并在兀軸上找一點0,使得a0+qb最短， 求出點q

13、的朋標(biāo)；(2)平移拋物線y = ax2,記平移后點a的對應(yīng)點為從點3的對應(yīng)點為夕，點c(-2, 0) 和點d(-4, 0)是x軸上的兩個定點. 當(dāng)拋物線向左平移到某個位置時，4c+cf最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式； 當(dāng)拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形abcd的周長最短？若存 在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由.作業(yè)1、（北京市競賽題）如圖（11）,在矩形abcd中，ab=20 cm, bc=10 cm,若在ac、ab ±各取一點m、n,使bm+mn的值最小，求 這個最小值。a2如圖（12）在菱形abcd中，zdab=120°，點e平分b

14、c,點p在bd上，且pe+pc=1,那么邊長ab的最大值是。3、如圖13,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點m （-2, - 1）, kp （- 1, 一 2）為雙曲線上的一點，0為處標(biāo)平面上一動點，用垂直于x軸，qb垂直于y軸，垂足分 別是a、b.（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點q在直線上運動時，直線m0上是否存在這樣的點q,使得obq與 oap lfli積相等？如果存在，請求出點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；（3）如圖12,當(dāng)點0在笫一彖限中的雙曲線上運動時，作以op、0q為鄰邊的平行 四邊形opcq,求平行四邊形opcq周長的最小值.圖13圖14提高作業(yè)（利用旋轉(zhuǎn)對稱變換）2010寧徳第25題：如圖，四邊形abcd是正方形，aabe是等邊三角形，m為對角線bd （不含b點）上任意一點，將bm繞點b逆時針 旋轉(zhuǎn) 60° 得到 bn,連接 en、am、cm. （1）求證:aamba exb；當(dāng)m點在何處時，am+cm的值最??；當(dāng)m點在何處時，am+bm+cm的值最小，并說明理由;當(dāng)am+bm+cm的最小值為v3 + 1r',求正方形的邊長.2閱讀下列材料：問題