試論類比推理在高等數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中的應(yīng)用

1、    試論類比推理在高等數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中的應(yīng)用    宋顥""【摘要】類比推理是一種重要的科學(xué)研究方法，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，合理地應(yīng)用類比推理，不僅能顯著提高教學(xué)成效，而且能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新思維，增強學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力?！娟P(guān)鍵詞】類比推理 高等數(shù)學(xué) 教學(xué)實踐g633.6 a 2095-3089（2016）21-0031-02一、引言類比推理是在已知兩個或兩類對象部分屬性（如特征、屬性、關(guān)系等）相同的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出其他屬性也相同的思維方式。類比推理是一種重要的科學(xué)研究方法，是從特殊推向特殊的推理過程，科學(xué)家常根

2、據(jù)類比推理得出重要結(jié)論，尋找和發(fā)現(xiàn)真理。類比推理可分為簡單類比、復(fù)雜類比；概念性類比、過程性類比；性質(zhì)類比、關(guān)系類比等等。類比推理拓展了人們的思維空間，為人們的“自由創(chuàng)造”提供了廣闊的天地。二、類比教學(xué)法的模式及教育價值類比推理作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識，是從特殊到一般，由此及彼的過程，其基本模式為：若a對象具有屬性a，b，c，d，且b對象具有屬性a，b，c，猜想：b對象具有屬性d。通過這種方法推理出的結(jié)果，可能不一定精準、可靠，但是極具創(chuàng)造性，思維方法生動活潑、富有創(chuàng)造性，能給人帶來深刻的啟迪。例如，數(shù)學(xué)家笛卡爾受到天文和地理經(jīng)緯度啟發(fā)，運用類比推理的

3、方法，建立了坐標幾何學(xué)，奠定了微積分發(fā)展的基礎(chǔ)；一些高深數(shù)學(xué)理論也是通過類比推理獲得的，例如，平面幾何、線性代數(shù)之間的分析類比，從平面幾何向量的長度可類比推理出線性代數(shù)n維向量的模。在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用類比推理進行教學(xué)，具有積極的實踐價值：第一，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生提出新的問題、新的可能性，并運用既有的知識，去從新的角度發(fā)現(xiàn)另一事物的某一方面的特點，從而幫助學(xué)生做到溫故而知新，提高發(fā)現(xiàn)問題的能力。第二，通過類比推理教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探究問題本質(zhì)，學(xué)會多維度分析問題。高等數(shù)學(xué)涉及到很多抽象、艱澀的概念和公式，學(xué)生難以較好地理解和記憶，借助類比推理，可以讓抽象的概念變得更加條

4、理，這對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯分析能力和數(shù)學(xué)思維有很大助益。第三，通過類比推理教學(xué)，能夠?qū)⒅R點的形成過程和邏輯關(guān)系，清楚、條理地表現(xiàn)出來，有利于學(xué)生領(lǐng)悟其中的本質(zhì)聯(lián)系，利用已學(xué)知識創(chuàng)新解決問題。三、類比推理在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1.高等數(shù)學(xué)類比法教學(xué)程序的建構(gòu)一元函數(shù)微積分與多元函數(shù)微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，教師可根據(jù)一元函數(shù)與多元函數(shù)的共性特點，即都是對一個變量與另外（一個或多個）變量之間關(guān)系的描述，通過類比推理，從一元函數(shù)推理出多元函數(shù)也可能具有相同或相似的結(jié)論，并對結(jié)論進行驗證。其教學(xué)程序見圖1所示。2.高等數(shù)學(xué)中類比推理教學(xué)實例及應(yīng)用策略（1）概念類比推理數(shù)學(xué)概念是對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的抽象與概

5、括，學(xué)生只有正確地理解數(shù)學(xué)概念，才能從根本上理解和掌握概念的本質(zhì)屬性，為下一步數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。教師可從具體事例或相近概念出發(fā)，應(yīng)用類比思想導(dǎo)入教學(xué)，將會收到事半功倍的教學(xué)效果。例如：（2）性質(zhì)類比推理高等數(shù)學(xué)中不少概念都有相似的性質(zhì)，教師可以應(yīng)用類比推理，引導(dǎo)學(xué)生找出不同概念性質(zhì)之間的聯(lián)系和特點，然后，有針對性地進行區(qū)分和記憶。例如，一元函數(shù)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有最值定理和介值定理，利用類比思想，可得多元函數(shù)在閉區(qū)域上有類似的最值定理和介值定理性質(zhì)。再如，常數(shù)k乘以一個函數(shù)有一系列相似的性質(zhì)，極限，可類比推理出導(dǎo)數(shù)，繼續(xù)推理，可得微分，層層推理下，可相繼得到不定積分、定積分、二重積分；等等。

6、另外，在高等數(shù)學(xué)常微分方程中，部分方程的通解也具有相似的性質(zhì)，例如，根據(jù)結(jié)論：一階線性非齊次微分方程的通解等于其對應(yīng)的齊次微分方程的通解加該非齊次微分方程的任一特解，利用類比推理，可以推導(dǎo)出如下相似結(jié)論：二階線性非齊次微分方程的通解等于對應(yīng)的齊次微分方程的通解加上該非齊次微分方程的任一特解；線性非齊次方程組的通解等于其對應(yīng)的齊次方程組的通解加上該非齊次方程組的任一特解；非齊次的矩陣微分方程的通解等于其對應(yīng)的齊次方程的通解加上該非齊次方程的任一特解，等等。（3）公式類比推理高等數(shù)學(xué)中的公式比較多，但若運用類比推理，則能很容易地掌握其內(nèi)在聯(lián)系。例如，對于牛頓-萊布尼茨公式、格林公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，教師可利用類比推理的方式，幫助學(xué)生進行區(qū)分和記憶。牛頓-萊布尼茨公式，建立了一元函數(shù)在一個區(qū)間的定積分與其原函數(shù)在區(qū)間邊界值的聯(lián)系，借助類比推理，可得格林公式，格林公式可視為牛頓-萊布尼茨公式的二維推廣。四、結(jié)語綜上所述，教學(xué)實踐表明，類比推理在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，具有良好的應(yīng)用價值和實踐效果，不僅能增強教學(xué)效果，而且能有效提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和運用既有知識解決問題的能力。教師在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)努力為學(xué)生創(chuàng)造應(yīng)用類比推理的“最佳思維環(huán)境”，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，使學(xué)生敢于創(chuàng)新猜想，大膽類比推理，細心檢驗和嚴格論證，從而不斷提升數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。