專升本考試中微分中值定理證明方法研究

1、    專升本考試中微分中值定理證明方法研究    張磊盧傳明徐榮貴摘 要：微分中值定理各個省份或?qū)W校專升本考試中高等數(shù)學(xué)考試中的?？純?nèi)容。在微分中值定理的證明中，輔助函數(shù)的構(gòu)造是首要步驟。因此，研究證明方法很有必要。原函數(shù)法（積分法）、常數(shù)k 值法和指數(shù)因子法是專升本考試中最常用的輔助函數(shù)的構(gòu)造方法。關(guān)鍵詞：專升本 微分中值定理 證明 輔助函數(shù)：g642.4 ：a ：1672-3791（2017）07（a）-0200-02“高等職業(yè)教育專升本考試”指高等職業(yè)院校?？茖W(xué)生升入本科院校時，所參加的選撥考試。通過專升本考試能夠使大學(xué)?？茖哟螌W(xué)生進(jìn)入本科層次階

2、段學(xué)習(xí)。袁嬌嬌1在對高職院?！皩Ｉ尽睂W(xué)歷教育的幾點(diǎn)思考中提出，高職院校實行“專升本”教育能夠促使教育體系更加完善，能夠更好地滿足社會的需求，同時可以緩解高職院校人才的就業(yè)壓力。其實，施行“專升本”也是部分學(xué)生實現(xiàn)自身學(xué)歷提升的一個途徑，能夠使那些在高考中失利的學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)自己的本科夢。在對歷年專升本考試中出現(xiàn)的微分中值定理證明題分析和對學(xué)生調(diào)查后可知，微分中值定理證明題的重點(diǎn)和難點(diǎn)是輔助函數(shù)的構(gòu)造。因此，該文對此進(jìn)行研究并分別總結(jié)出相應(yīng)題型的解法，以期為考生的備考起到積極的作用。1 微分中值定理在抽象函數(shù)證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造1.1 原函數(shù)法（積分法）方法內(nèi)容：從結(jié)論出發(fā)，利用導(dǎo)數(shù)（微分）與積

3、分之間的互逆運(yùn)算關(guān)系，將結(jié)論一端變?yōu)?，找出另一端的原函數(shù)即為所要構(gòu)造的輔助函數(shù)，再利用該輔助函數(shù)來證明結(jié)論。方法原理：對于拉格朗日中值定理的結(jié)論，從函數(shù)觀點(diǎn)來看，為方程的根.在該方程兩邊同時求不定積分得（其中c為積分常數(shù)，下面如無特別說明則與此相同）。構(gòu)造步驟：三步法。第一步：換元。首先把結(jié)論等式中的換成x，構(gòu)造出微分方程；第二步：變形。利用恒等變形把結(jié)論的形式化為易積分的形式；第三步：移項。將上述形式進(jìn)行積分后把積分常數(shù)c放在等式一邊， 那么另一邊就是所作的輔助函數(shù)。例1：2010年河南專升本高等數(shù)學(xué)第52題。設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間0，1上連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且。證明，在（0，1）內(nèi)至

4、少存在一點(diǎn)，使得成立。分析：此題的結(jié)論為明顯的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題，因此可以用上述方法解決。這里首先把結(jié)論等式中的換成x，構(gòu)造出微分方程，兩邊直接同時積分得到，移項得，從而可構(gòu)造函數(shù)。證明：構(gòu)造函數(shù)，因在閉區(qū)間0，1上連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，所以函數(shù)在閉區(qū)間0，1上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且。于是在0，1上滿足羅爾中值定理的條件，故在開區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。將代入上式，得，于是。1.2 常數(shù)k值法方法原理：表達(dá)式的形式具有對稱性，從而利用對稱性構(gòu)造輔助函數(shù)。構(gòu)造步驟。第一步：分離常數(shù)，把常數(shù)部分記為k。第二步：恒等變形，把兩個變量的表達(dá)式分別放在等式兩端。第三步：找對稱，看關(guān)于各

5、個變量的表達(dá)式是否為對稱式，如果是，那么把其中一端的自變量改為x，相應(yīng)的函數(shù)值同時改為f （x），變換后即為所求的輔助函數(shù)f（x）。例2：（西華大學(xué)2013）設(shè)e，求證：。分析：。證明：設(shè)，則f（x）在a，b上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此有，因，故，即證。1.3 指數(shù)因子法方法原理：指數(shù)函數(shù)具有的可導(dǎo)不變性及非負(fù)性。即的各階導(dǎo)數(shù)仍然是， 并且恒大于零， 我們可以利用指數(shù)函數(shù)的這種良好性質(zhì)構(gòu)造型輔助函數(shù)6。例3：2013年四川理工學(xué)院第19題。設(shè)與在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使 0。證明：構(gòu)造函數(shù)，在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，還滿足。于是由羅爾定理可知，至

6、少存在一點(diǎn)，使得，即有。2 微分中值定理在不等式證明中的應(yīng)用專升本考試中，不等式的證明也是?？碱}型之一。如河南的2005年、2011年、2012年、2014年的考試題中，四川理工學(xué)院2015年、西華大學(xué)2010年、2012年、2015年的考試題中均有涉及.盡管不等式的證明可以用單調(diào)性、最值等方法，但是運(yùn)用中值定理證明的方法更加普遍。用微分中值定理證明不等式時，通常也要構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)。此處輔助函數(shù)的構(gòu)造往往從結(jié)論出發(fā)，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為中值定理結(jié)論的形式，從而得出相應(yīng)的輔助函數(shù)形式。下面以河南專升本2014年的考題為例進(jìn)行講解。例4：2014河南專升本第53題。設(shè)，證明：分析： 。證明：令f（x）

7、=ln2x，則f（x）在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，即。又e3 結(jié)語在各省或者各個學(xué)校在專升本中高等數(shù)學(xué)考試中，盡管它們在題目設(shè)置上有所不同，但是，作為高等數(shù)學(xué)的一個重要知識點(diǎn)，微分中值定理在這些試卷上占據(jù)著重要的地位。因此，分析它在考試中的常考題型及解法無論對考生還是對輔導(dǎo)專升本學(xué)生的教師都是非常必要的。由于微分中值定理中輔助函數(shù)的構(gòu)造有很大的靈活性和技巧性，因此應(yīng)具體問題具體分析，根據(jù)已知條件和所證結(jié)論中蘊(yùn)涵的信息，大膽地運(yùn)用歸納、猜想、分析與化歸等數(shù)學(xué)思想，從而選擇合適的輔助函數(shù)使問題得以解決。參考文獻(xiàn)1 袁嬌嬌.對高職院校 “專升本”學(xué)歷教育的幾點(diǎn)思考j.教師，2014（2）：29.2 林美容.淺談專升本高等數(shù)學(xué)課的輔導(dǎo)