區(qū)間線性規(guī)劃及其應(yīng)用的研究

1、學(xué)號:xxxxxxx% m必mhebei united university畢業(yè)論文graduate thesis設(shè)計題目:區(qū)間線性規(guī)劃模型的求解及其應(yīng)用的研究學(xué)生姓名：xxx專業(yè)班級：xxx學(xué) 院：xxx指導(dǎo)教師：xxx2013年5月31日摘要線性規(guī)劃模型廣泛應(yīng)用于交通運輸業(yè)、工業(yè)、農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟計劃和管理決策等 領(lǐng)域。由于實際問題屮存在許多不確定因素，因此模型屮的系數(shù)不再是精確數(shù)。 木文研究含有區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃模型，根據(jù)區(qū)間數(shù)的序關(guān)系和代數(shù)運算將含有區(qū) 間數(shù)的線性規(guī)劃模型分割為兩個一般的線性規(guī)模型進行求解，通過數(shù)值算例說明 該算法的有效性。實際中許多問題為區(qū)間多目標線性規(guī)劃問題，本文采用模糊規(guī)

2、劃法求解該問 題，通過伸縮因子將區(qū)間多目標線性規(guī)劃模型分解為多個區(qū)間單目標線性規(guī)劃模 型進行求解，通過數(shù)值算例說明該算法的有效性。證券投資組合的優(yōu)化模型是線性規(guī)劃模型的成功應(yīng)用典范，文章結(jié)合區(qū)間線 性規(guī)劃模型和證券投資組合給出實例進行分析，說明區(qū)間線性規(guī)劃模型在證券投 資中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞 區(qū)間線性規(guī)劃；區(qū)間數(shù)；序關(guān)系；模糊規(guī)劃法；證券投資abstracta linear programming model is widely used in transportation, industrial, agricultural, economic planning and management de

3、cision-making and so. because there are many uncertain factors in the practical problems, so the coefficients in the model is no longer accurate number. the linear programming model in this paper contains the interval number linear programming model, segmentation based on interval number and orderin

4、g relation algebra with interval numbers of two general linear scale to solve, through numerical examples illustrate the effectiveness of the algorithm.many practical problems in interval multi-objective linear programming problem, this paper adopts fuzzy programming method to solve the problem, thr

5、ough the expansion factor will interval multi-objective linear programming model is decomposed into multiple interval single-objective linear programming model, a numerical example is used to illustrate the effectiveness of the algorithm.the optimization model of portfolio is linear programming mode

6、l of successful application of the model, combining the interval linear programming model and portfolio analysis examples, illustrated the application of interval linear programming model in the securities investment.key： interval linear programming； interval number； investment securities；fuzzy prog

7、ramming; securities investment目 錄摘要iabstract i第1章緒論1第2章 預(yù)備知識及背景內(nèi)容22. 1基本概念22. 1. 1序關(guān)系22.1.2區(qū)間數(shù)22. 2線性規(guī)劃模型的相關(guān)概念32. 2. 1單目標線性規(guī)劃模型的相關(guān)概念32. 2.2多目標線性規(guī)劃模型的相關(guān)概念3第3章 單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型53.1區(qū)間數(shù)的運算53.2單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的求解53. 2.1單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的一般形式53. 2.2單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的求解6第4章 多目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的建立及求解10第5章 線性規(guī)劃模型在證券投資中的應(yīng)用14結(jié)論15參考文獻16謝辭17

8、第1章緒論眾所周知，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題是人們在科學(xué)研究、工程技術(shù)、生產(chǎn)生活以 及經(jīng)濟管理等眾多領(lǐng)域中經(jīng)常面對的問題，它所研究的是在眾多的方案屮如何找 出最優(yōu)方案。在現(xiàn)實生活和工程領(lǐng)域中，存在著許多不確定性現(xiàn)象，這種不確定 現(xiàn)象主要表現(xiàn)在兩個方面，隨機性和模糊性。而在數(shù)學(xué)規(guī)劃問題中，獲得信息往 往不是精確的數(shù)值，而是一些區(qū)間數(shù)，這種不確定性現(xiàn)象會給決策者作決策時帶 來很大的困難。因此對于研究這種含有區(qū)間數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，具有很重要的理 論和實際意義。本文給出了線性規(guī)劃模型的概念建立及單目標和多目標線性規(guī)劃問題的闡 述以及決策變量目標函數(shù)的系數(shù)都為區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃問題的建立以及求解，同 時描述了這

9、種類型的線性規(guī)劃問題在實際中的應(yīng)用。本文主要內(nèi)容：(1) 介紹線性規(guī)劃模型的建立；(2) 介紹多目標線性規(guī)劃問題的建立及求解；(3) 闡述了區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃問題的概念及求解；(4) 結(jié)合證券投資和簡單的運輸問題說明區(qū)間線性規(guī)劃在實際問題中的應(yīng) 用。在真實的投資環(huán)境中，由于社會、經(jīng)濟和文化、心理等諸多因素的影響，使得 證券市場具有很強的不確定性，這種不確定性包含隨機性和模糊性。在這個復(fù)雜 的金融系統(tǒng)中，由于市場本身的隨機性和模糊性以及影響市場變化的各種因素的 模糊性的存在，對于證券的期望收益率風險損失率和證券的流動性，投資者很 難具體給出一個精確值。而區(qū)間方法是處理不確定性風險企業(yè)政府機構(gòu)之間合作

10、 的橋梁風險投資機構(gòu)與風險企業(yè)在技術(shù)研發(fā)和融資過程等方面存在著明顯的信 息不對稱，中介機構(gòu)能有效地減弱這種不對稱，并降低交易成本。第2章預(yù)備知識及背景內(nèi)容2. 1基本概念2. 1. 1序關(guān)系序關(guān)系是集合元素間的一種二元關(guān)系.定義2. 1. 1非空集合s,其元素之間定義了一種二元關(guān)系t,若滿足：1.不可逆性：對任意a,be s,若有8 tb,則沒有bta。2傳遞性：對任意a,b,ce s,若有atb,btc,則有atc。3反自反性：對任意aw s,都沒有a ta.則t稱為5上的一個偏療；或偏療；關(guān)系。若t還滿足：4岐性：對任意a,bw s,a t b,b t a,有且僅有一個成立。則t稱為s上的

11、一個全序或全序關(guān)系。2. 1.2區(qū)間數(shù)定義2.1.2設(shè)/?為實數(shù)域，稱閉區(qū)間礦,/為區(qū)間數(shù)，記作a,其中 aaa<a全體區(qū)間數(shù)的集合記為/。若>0,稱區(qū)間數(shù)a =為正區(qū)間數(shù)，正區(qū)間數(shù)的集合記為廠；若6/+<0,稱區(qū)間數(shù)a = f/-,6z+為負區(qū)間 數(shù)，負區(qū)間數(shù)的集合為廠。當a=a+=a,稱區(qū)間數(shù)a = q為退化區(qū)間數(shù)，即退化為常數(shù)5當曠工/時，稱區(qū)間數(shù)為真區(qū)間數(shù)。區(qū)間數(shù)的中點定義為，區(qū)間數(shù)的寬度定義為l(a) = a+-a，也可稱之為區(qū)間數(shù)的長度，其半長度為去=號-.2. 2線性規(guī)劃模型的相關(guān)概念2. 2.1單目標線性規(guī)劃模型的相關(guān)概念線性規(guī)劃模型的建立需耍考慮幾個條件：1

12、.列出約束條件及目標函數(shù)；2.畫出約束條件所要求的可行域；3.在可行域 內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解及最優(yōu)值。線性規(guī)劃模型(linear programming,簡稱為lp),它的一般形式為：max (min)+c2x2 +,cnxna11xi+a12x2+- + alnxn <(>,=)b(+<(>,=)b2< amlxl+am2x2+- + amnxn §(、，=)嘰x，xn no采用求和符號，可以簡寫為：max 5in)z二瀘j=leaiixj-(-)biv j=ixfoi=l, 2,m j=l, 2,n變量稱為決策變量。滿足全部約束條件的變量值稱可行解,

13、 可行解的集合稱為可行域，為d。目標函數(shù)取得最大(最小)值的可行解x.,xn 稱為最優(yōu)解。2. 2.2多目標線性規(guī)劃模型的相關(guān)概念多目標線性規(guī)劃模型如下：max<z2 = °21 兀1 +。22 兀2 t 卜 c2nxn1兮=5西+_2兀2+陽£ 如西+即吃+氣兀三勺 a2lx + a22x2 + + a2nxn < b2驗西+匕”2兀2 +陽必t乞 兀,吃，兀二0有效解和弱有效解的定義：定義2. 2. 1對于向量x/x =(西,©), = (),.，兒),規(guī)定:(1) 兀=歹 0石=y.,/ = 1,2-(2) x < y « %.

14、< y., i 二 1,2，隅(3) x<y<> 兀 <= 1,2，隅(4) x<y o xi < yj = l,2，仏但至少存在一個l<j<n,使巧v y廠定義2.2.2設(shè)/ e /?,如果不存在jcwr,使得z(x”)vz(x)(或z(f) v z(x),則稱f w r是多目標規(guī)劃問題的有效解(或弱有效 解)。第3章單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型3.1區(qū)間數(shù)的運算3.1.1區(qū)間數(shù)的運算定義：3. 1. 1設(shè)a,b,cyde i(r),區(qū)間數(shù)的運算定義如下:a,b + c,d = a + c,bd,a,b-c.d = a-d.b-c.,re r.

15、3.2單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的求解3. 2.1單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的一般形式單冃標區(qū)間線性規(guī)劃就是冃標函數(shù)為單一冃標的含有區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃，這 一類問題因為涉及了區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃，這里先給出了其一般形式：max (min) z =+c2i,c22x2 +cnl,cn2xn知心+ %?！? +§ (乙=)如，幾£ no簡寫為其中 勺切,勺1，勺2 i = l,2,加;) = 1,2,71均為區(qū)間數(shù)。3.2.2單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的求解遇到所給出的最優(yōu)解和最優(yōu)值是區(qū)間數(shù)的實際問題屮，常常采用需要具體的 最優(yōu)方案，基于此，下面給出規(guī)劃(3-1)的一種新算法。這里討論求最大值的

16、 情況，求最小值同理。由區(qū)間數(shù)的運算法則可將(3-1)轉(zhuǎn)化為(3-2)max z -工j=inm 工 c/2®"j=ln工 q內(nèi) < hj2j = 1,2,加(3-2)j=l工>bix,i = 1,2,加j=i旺 n 0顯=1，2,，加 j = 1,2,j這里，s是下而(3-3)的最優(yōu)解。min z = cj2xjj=is 工 ciijxj < hi2 j = 1,2,- m(33)>1af/xj xbyi = 1，2,加j=ixj >0,i = 1，2，加,丿=l,2,n.j定理3. 2. 1如果兀是問題(3-2)的最優(yōu)解，則兀是問題(31)

17、的最優(yōu)解。其中n兀=(,宀)，z二厶勺兀廠戶1證明：由于xy>0, £scj<£c護j ,設(shè)二者的可行集合為f,g,很明顯 j=ij=i的guf ,滿足(3-2)的可行解一定被包含在(3-1)中，所以上述定理是成立 的。綜上，求解區(qū)間線性規(guī)劃模型(3-1)的算法如下算法3. 1：步驟1求出線性規(guī)劃(3-3)的解s步驟2求解線性規(guī)劃(3-2),得到問題(3-1)的最優(yōu)解f及最優(yōu)值zl數(shù)值算例max z = 2.6,3 x, + 5.5,6x2 + 4.4,5x3s.t. xl+x2< 6.4,7+ x2 + x3 < 8,9xj <1,3根據(jù)本文

18、所給出的算法先求解下面一個線性規(guī)劃的最優(yōu)值max 可=2.6%j +5.5x2 + 4.4x3s.t. xj + x2 > 6.4%! + x2 +> 8x3 > 1%! +x2 <7+ x2 +< 9輕3利用lingo,求得召的最優(yōu)值為z嚴47.3,(0,7,2)"接下來求下面的線性規(guī)劃的最優(yōu)值：maxz2 = 3x + 6x2 + 5x3s.t. 2.6兀+ 5.5兀2 + 4.4禺 > 47.3xj + x2 > 6.4x, + x2 + x3 > 8導(dǎo)1+ x2 < 7xj + x2 + x3 < 9x3 <

19、3利用lingo求出z2 =52 x； =(0,7,2)j因此0,7,2是最優(yōu)解，最優(yōu)值是 z* = 47.3,52.第4章多目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的建立及求解這一節(jié)我們給岀求解多目標區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃模型的算法.在算法中，通過引 入滿意度函數(shù)的概念，得到最優(yōu)滿意度解.多目標區(qū)間線性規(guī)劃模型表示為：z = q 1，1 兀1 + 。2 , %2 兀2卜 kl"，血xnmax<z2 二cd2lk+c22，22x2 + + ，暫=s，如兀+ c2，比2 兀2 + + crn，dmxn坷“+即兀2+ + %£ §血如-2122%" + s2 + + % 

20、7; 打1，饑2 兀，兀2，心no記:a =(知扁c = (c.,6?.), b =(仏胡2,，爲,bm2)t,，/，z = (z,z2,-,zr)r.則上述多目標線性規(guī)劃可用矩陣形式表示為:max z = cxax<bx>0模糊規(guī)劃法由于多目標線性規(guī)劃的目標函數(shù)不止一個，要想求得某一個點使得所有 的目標函數(shù)都達到各自的最大值,這樣的絕對最優(yōu)解通常是不存在的。因此，在具 體求解時，需要采取折衷的方案,使各冃標函數(shù)都盡可能的大。模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃方法 可對其各目標函數(shù)進行模糊化處理，將多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標，從而求該問題 的模糊最優(yōu)解。具體方法如下：先求在約束條件:axb下各個單目標zj

21、= 1,2,廠的最大值z；和最小值 x>0z,伸縮因子為d嚴z：z；,i = l,2,rmax z = a工 cijxj _ "i 入-z； _ 4 , i = 12 廠>1工伽® 5bk，k = ,2,mj=>0,xpx2,% >0上式為單目標線性規(guī)劃問題。最后求得模糊最優(yōu)值為：利用模糊規(guī)劃法求解區(qū)間多目標線性規(guī)劃模型max將原區(qū)間多fi標線性規(guī)劃問題先拆解為幾個單目標問題maxz = q 1，d】1 兀1 + 。12' "12 兀2卜q”'血xnz2=c21,6/21xi+c22,6/22x2+- + c2z?,j2jx

22、?jmax zr =cri, dr x + cr2,島比 + + f，£e內(nèi) + a22x2 + + a2nxn <b2l,b22匕腫+ a.nlx2 + %叫5 紜，饑2 x,x2,-,xn >0再利用文章中給出的求解單目標線性規(guī)劃的方法分別求出各目標的最大值 z；和最小值z；再確定伸縮因子為a=z：-z,i = l,2,v。本文求解區(qū)間多目標線性規(guī)劃問題的基本步驟為：（1）多目標區(qū)間線性規(guī)劃 問題；（2）求解多個單目標區(qū)間線性規(guī)劃問題；（3）利用區(qū)間數(shù)的運算規(guī)則轉(zhuǎn)換為 一般區(qū)間線性規(guī)劃問題；（4）利用模糊數(shù)算法解決該問題。算例：max z =2.6,3西+5.5,6兀

23、2+4.4,5兀3z2 =6,7xj +3,4比+2,3兀3s.t. %! +x2 < 20,30+ x2 + x3 < 45,50 x3 <10,50先分別求兩個線性規(guī)劃的最優(yōu)解：max z =2.6,3兀+5.5,6 %+4.4,5 £s.t . %)+x2 < 20,30%! + x2 +< 45,50<10,50求得 最優(yōu)解為(0,30,20),最優(yōu)值為253,280。當目標函數(shù)取最小值時最優(yōu)解為(30,0,15),最優(yōu)值為144,165max z2 =6,7x + 3,4 x2 +2,3兀3s.t. % +x2 < 20,30兀+花

24、 +x3 5 45,50 x3 <10,50求得最優(yōu)解為(30,0,20),最優(yōu)值為220,270當目標函數(shù)為求最小值時最優(yōu)解為(0,20,25),最優(yōu)值為110,155. 所以 ,=(136,60).可列出下面線性規(guī)劃：max z = 2s.t. 3尢1 + 6x2 + 5兀3 136/1 n 144+4乞 +3花 一 602 > 210xj + x2 < 30xl+x2> 20兀+尢2 +兀§ 50%! + x2 + x3 > 45<50x3 > 10qno,兀,勺，£所以原線性規(guī)劃最優(yōu)解為x = (20.8,9.1,20)r

25、最優(yōu)值為189.5,236.第5章線性規(guī)劃問題在證券投資中的應(yīng)用在真實的投資環(huán)境中，由于社會、經(jīng)濟、文化和心理等諸多因素的影響，使得 證券市場具有很強的不確定性，這種不確定性包含隨機性和模糊性。在這個復(fù)雜 的金融系統(tǒng)中，由于市場本身的隨機性和模糊性以及影響市場變化的各種因素的 模糊性的存在，對于證券的期望收益率、風險損失率和證券的流動性，投資者很 難具體給出一個精確值，而區(qū)間方法是處理不確定性風險企業(yè)、政府機構(gòu)之間合 作的橋梁。在證券組合投資問題的研究中，難于用確定的常數(shù)來準確反映某證券的期望 收益率與風險損失率。事實上，在現(xiàn)實的證券市場中，由于諸多因素如政治、經(jīng) 濟、社會等因素的影響，導(dǎo)致證

26、券的期望收益率與風險損失率具有較強的模糊不 確定性.因此，在綜合分析各因素影響的基礎(chǔ)上，對某證券的期望收益率與風險 損失率作出一個在一定精度范圍內(nèi)的估計，故采用區(qū)間值模糊數(shù)來刻劃某證券的 期望收益率與風險損失率，則顯得更為科學(xué)與合理。實際屮經(jīng)常把風險證券的收益率，投資風險及證券的流動性用區(qū)間數(shù)來描述, 并結(jié)合絕對偏差風險函數(shù)的思想建立了一種關(guān)于區(qū)間數(shù)的證券投資組合選擇模 型。最后利用區(qū)間數(shù)的兩種序關(guān)系將所提出的模糊線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為普通的參 數(shù)線性規(guī)劃問題進而求其解。下面通過簡單實例說明問題下面是一個證券投資的投資項目和收益：2000年1-6月份齊魯石化，東北高速，武鋼股份和東風汽車4種證券的

27、收益和風險損失率變化范圍整理成表;證券名稱齊魯石化東北高速武鋼股份東風汽車收益波動-0.0138,0.1343-0.0258,0.27670.0339,0.1136-0.0347,0.0867風險損失率0. 0340. 0260.0180. 022依據(jù)銀行規(guī)定去r= 0.20,0.22,利率= 0.05,建立持有期t內(nèi)證券投資組合的 優(yōu)化模型為：max z=0.05x(h +-0.038,0.1343 4- -0.0258,0.2767 x2/ +0.0339,0.1136% +-0.0347,0.0867比s.t. 0.034兀 + 0.026x2/ + 0.018x3/ + 0.022心

28、< 0.2,0.22 xoz+xk+x2f+x3z+x4/ = ,xnj >0 (心0,1,4) 先求解下列模型：max z = 0.05x0z - o.o38xh - 0.0258x2/ + 0.0339x3z - 0.0347兀釗s.t. 0.034兀 + 0.026x2z + 0.01 sx3r + 0.022x4f < 0.220.034況 +0.026x2/ +0.018x3/+0.022x4/ >0.2心+旺+占+兀引+乜i，幾(/ = 0,l,-4)使用lingo求出max的值s再求max z = 0.05x0z + 0343兀 + 0.2767x2z +

29、0.1136x3/ + 0.0867x4/s.t. 0.05x0z -0.038兀一 0.0258x2/ + 0.0339x3/ - 0.0347x4z > $0.034況 +0.026x2/ +0.018x3/+0.022x4/ <0.220.034旺 + 0.026x2t +0.018兀3$ + 0.022x4/ > 0.2xo/ + xlz + x2/ + x3/ +x4/ =1,兀” >0 (z = 0,l,-4)分別求得極大值和投資數(shù)這樣就能給出理想的投資方案和最大收益。解得最優(yōu)解為(0.2, 0.3, 0.4, 0. 1),最大收益值為1.6488.結(jié)論區(qū)間

30、線性規(guī)劃也是決策活動中經(jīng)常碰到的問題，通過某些特殊的方法可以把 這些看似復(fù)雜的區(qū)間線性規(guī)劃轉(zhuǎn)換成經(jīng)典的線性規(guī)劃并加以解決，由于證券投資 存在風險性所以使用區(qū)間線性規(guī)劃模型合理的規(guī)劃和分配是十分有必要和合理 的。本文通過給出新算法解決了含有區(qū)間數(shù)的單目標區(qū)間線性規(guī)劃問題，為解決 線性規(guī)劃問題提供了新思路和新方法，再結(jié)合算例深入闡述了解題過程，同時印 證了揭發(fā)的方便性。再利用模糊規(guī)劃法將多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標問題，這就很 好地解決了目標函數(shù)之間不能得到同一組最優(yōu)解可以使得目標函數(shù)的值最人的 問題，這樣就可以較為方便的解決多fi標區(qū)間線性規(guī)劃問題。證券投資往往是帶有風險和不確定性的，區(qū)間數(shù)的存在加大了證券投資的難 度，這樣建立區(qū)間西岸行規(guī)劃模型模型同吋應(yīng)用在證券投資上可以為證券投資做 出合理的投資方案，使投資人獲益更多而且可以盡量降低風險投資。參考文獻1 陳希孺，倪國熙.數(shù)理統(tǒng)計學(xué)教程m.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社.2010.2 胡寶清，模糊理論基