2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第8講　第1課時(shí)　圓錐曲線中的證明、范圍(最值)問題

1、第 8 講圓錐曲線的綜合問題一、知識(shí)梳理1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定(1)代數(shù)法：把圓錐曲線方程 c1與直線方程 l 聯(lián)立消去 y，整理得到關(guān)于 x 的方程 ax2bxc0.方程 ax2bxc0 的解l 與 c1的交點(diǎn)a0b0無解(含 l 是雙曲線的漸近線)無公共點(diǎn)b0有一解(含 l 與拋物線的對(duì)稱軸平行(重合)或與雙曲線的漸近線平行)一個(gè)交點(diǎn)a00兩個(gè)不相等的解兩個(gè)交點(diǎn)0兩個(gè)相等的解一個(gè)交點(diǎn)0無實(shí)數(shù)解無交點(diǎn)(2)幾何法：在同一直角坐標(biāo)系中畫出圓錐曲線和直線，利用圖象和性質(zhì)可判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2直線與圓錐曲線的相交弦長問題設(shè)斜率為 k(k0)的直線 l 與圓錐曲線 c 相交于 a

2、，b 兩點(diǎn)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則|ab| 1k2|x1x2| 1k2(x1x2)24x1x211k2|y1y2|11k2(y1y2)24y1y2.常用結(jié)論圓錐曲線以 p(x0，y0)(y00)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率如下表：圓錐曲線方程直線斜率橢圓：x2a2y2b21(ab0)kb2x0a2y0雙曲線：x2a2y2b21(a0，b0)kb2x0a2y0拋物線：y22px(p0)kpy0二、教材衍化1過點(diǎn)(0，1)作直線，使它與拋物線 y24x 僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有()a1 條b2 條c3 條d4 條解析：選 c結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有 3 條：直線 x0，

3、過點(diǎn)(0，1)且平行于 x 軸的直線以及過點(diǎn)(0，1)且與拋物線相切的直線(非直線 x0)2已知與向量 v(1，0)平行的直線 l 與雙曲線x24y21 相交于 a，b 兩點(diǎn)，則|ab|的最小值為_解析：由題意可設(shè)直線 l 的方程為 ym，代入x24y21 得 x24(1m2)，所以 x1 4(1m2)2 1m2，x22 1m2，所以|ab|x1x2|4 1m24，即當(dāng) m0 時(shí)，|ab|有最小值 4.答案：4一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)直線 l 與拋物線 y22px 只有一個(gè)公共點(diǎn)，則 l 與拋物線相切()(2)直線 ykx(k0)與雙曲線 x2y21 一定相交(

4、)(3)與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)()(4)直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)直線與橢圓相切()(5)過點(diǎn)(2，4)的直線與橢圓x24y21 只有一條切線()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易錯(cuò)糾偏常見誤區(qū)|(1)沒有發(fā)現(xiàn)直線過定點(diǎn)，導(dǎo)致運(yùn)算量偏大；(2)不會(huì)用函數(shù)法解最值問題1直線 ykxk1 與橢圓x29y241 的位置關(guān)系為()a相交b相切c相離d不確定解析：選 a直線 ykxk1k(x1)1 恒過定點(diǎn)(1，1)，又點(diǎn)(1，1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交2拋物線 yx2上的點(diǎn)到直線 xy20 的最短距離為()a 2b7 28c2 2d5 26解析：選 b設(shè)拋物線上一

5、點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則 d|xy2|2|x2x2|2|x12274|2，所以 x12時(shí)，dmin7 28.第 1 課時(shí)圓錐曲線中的證明、范圍(最值)問題考點(diǎn)一證明問題(綜合型)(2018高考全國卷節(jié)選)已知斜率為 k 的直線 l 與橢圓 c：x24y231 交于 a，b兩點(diǎn)，線段 ab 的中點(diǎn)為 m(1，m)(m0)(1)證明：k12；(2)設(shè) f 為 c 的右焦點(diǎn)，p 為 c 上的點(diǎn)，且fpfafb0.證明：|fa|，|fp|，|fb|成等差數(shù)列【證明】(1)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x214y2131，x224y2231.兩式相減，并由y1y2x1x2k 得x1x24y1

6、y23k0.由題設(shè)知x1x221，y1y22m，于是 k34m.由題設(shè)得 0m32，故 k12.(2)由題意得 f(1，0)設(shè) p(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)由(1)及題設(shè)得 x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又點(diǎn) p 在 c 上，所以 m34，從而 p1，32 ，|fp|32.于是|fa| (x11)2y21(x11)231x214 2x12.同理|fb|2x22.所以|fa|fb|412(x1x2)3.故 2|fp|fa|fb|，即|fa|，|fp|，|fb|成等差數(shù)列圓錐曲線中的證明問題涉及證明的范圍比較廣， 但無論證明什么，

7、其常用方法有直接法和轉(zhuǎn)化法，對(duì)于轉(zhuǎn)化法，先是對(duì)已知條件進(jìn)行化簡，根據(jù)化簡后的情況，將證明的問題轉(zhuǎn)化為另一問題(2020江西七校第一次聯(lián)考)已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)經(jīng)過點(diǎn)m1，22 ，其離心率為22，設(shè)直線 l：ykxm 與橢圓 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)(1)求橢圓 c 的方程；(2)已知直線 l 與圓 x2y223相切，求證：oaob(o 為坐標(biāo)原點(diǎn))解：(1)因?yàn)?eca22，a2b2c2，所以 a22b2，所以橢圓 c 的方程為x22b2y2b21.因?yàn)?，22 在橢圓上，所以12b212b21，b21，a22，所以橢圓 c 的方程為x22y21.(2)證明：因?yàn)橹本€ l

8、 與圓 x2y223相切，所以|m|1k263，即 3m22k220，由ykxm，x22y22得(12k2)x24kmx2m220，16k2m24(12k2)(2m22)0.設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 x1x24km12k2，x1x22m2212k2，所以 y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m22k212k2，所以oaobx1x2y1y22m2212k2m22k212k23m22k2212k20，所以 oaob.考點(diǎn)二范圍問題(綜合型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|圓錐曲線中的取值范圍問題的求解方法有函數(shù)法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法、不等式法(根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，

9、通過解不等式求參數(shù)的取值范圍)已知曲線 m 由拋物線 x2y 及拋物線 x24y 組成， 直線 l： ykx3(k0)與曲線 m 有 m(mn)個(gè)共同點(diǎn)(1)若 m3，求 k 的最小值；(2)若 m4，自上而下記這 4 個(gè)交點(diǎn)分別為 a，b，c，d，求|ab|cd|的取值范圍【解】(1)聯(lián)立 x2y 與 ykx3，得 x2kx30，因?yàn)?k2120，所以 l 與拋物線 x2y 恒有兩個(gè)交點(diǎn)聯(lián)立 x24y 與 ykx3，得 x24kx120.因?yàn)?m3，所以216k2480.因?yàn)?k0，所以 k 3，所以 k 的最小值為 3.(2)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，d(x

10、4，y4)，則 a，b 兩點(diǎn)在拋物線 x24y 上，c，d 兩點(diǎn)在拋物線 x2y 上，因?yàn)?x1x24k，x1x212，x3x4k，x3x43，且216k2480，k0，所以 k 3.所以|ab| 1k2 (4k)248，|cd| 1k2 k212，所以|ab|cd|(4k)248k2124k23k2124115k212.所以 k 3，所以 015k2121，所以|ab|cd|(0，4)求解圓錐曲線中有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題， 關(guān)鍵是構(gòu)建與參數(shù)有關(guān)的不等關(guān)系， 主要方法有：(1)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(2)建立已知參數(shù)與未知參數(shù)之間的等量關(guān)系，利用已知參數(shù)的范圍，

11、求新參數(shù)的范圍；(3)利用隱含的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍若直線 l 與橢圓y29x21 交于不同的兩點(diǎn) m，n，如果線段 mn 被直線2x10 平分，求直線 l 的斜率的取值范圍解：因?yàn)橹本€ x12與 x 軸垂直，且由已知得直線 l 與直線 x12相交，所以直線 l不可能與 x 軸垂直設(shè)直線 l 的方程為 ykxm，由ykxm，9x2y29，得(k29)x22kmxm290.4k2m24(k29)(m29)0，即

12、m2k290，設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)，則 x1x22kmk29.因?yàn)榫€段 mn 被直線 2x10 平分，所以 2x1x2210，即2kmk2910.由m2k290，2kmk2910，得k292k2(k29)0，因?yàn)?k290，所以k294k210，即 k23，解得 k 3或 k 3.所以直線 l 的斜率的取值范圍為(， 3)( 3，)考點(diǎn)三最值問題(綜合型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|有關(guān)圓錐曲線的最值問題類型多樣且解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：代數(shù)法和幾何法若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函

13、數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值已知橢圓 m：x2a2y231(a0)的一個(gè)焦點(diǎn)為 f(1，0)，左、右頂點(diǎn)分別為 a，b.經(jīng)過點(diǎn) f 的直線 l 與橢圓 m 交于 c，d 兩點(diǎn)(1)當(dāng)直線 l 的傾斜角為 45時(shí)，求線段 cd 的長；(2)記abd 與abc 的面積分別為 s1和 s2，求|s1s2|的最大值【解】(1)由題意，c1，b23，所以 a24，所以橢圓 m 的方程為x24y231，易求直線方程為 yx1，聯(lián)立方程，得x24y231，yx1，消去 y，得 7x28x80，2880，設(shè) c(x1，y1)，d(x2，y2)，x1x287，x1x287，所以|cd| 2|x1x2| 2 (x1x2

14、)24x1x2247.(2)當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，直線方程為 x1，此時(shí)abd 與abc 面積相等，|s1s2|0；當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為 yk(x1)(k0)，聯(lián)立方程，得x24y231，yk(x1)，消去 y，得(34k2)x28k2x4k2120，0，且 x1x28k234k2，x1x24k21234k2，此時(shí)|s1s2|2|y2|y1|2|y2y1|2|k(x21)k(x11)|2|k(x1x2)2k|12|k|34k2，因?yàn)?k0，上式123|k|4|k|1223|k|4|k|122 12 3當(dāng)且僅當(dāng) k32時(shí)等號(hào)成立，所以|s1s2|的最大值為 3.圓錐曲線中

15、的最值問題常涉及不等式、函數(shù)的值域問題，總體上主要有兩種方法：(1)幾何法利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解(2)代數(shù)法把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)的思想、不等式的思想等進(jìn)行求解1已知橢圓 c：x24y231 的右焦點(diǎn)為 f，p 為橢圓 c 上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn) a(2，4)，則|pa|pf|的最小值為_解析：如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為 f，則|pf|pf|4，所以|pf|4|pf|，所以|pa|pf|pa|pf|4.當(dāng)且僅當(dāng) p，a，f三點(diǎn)共線時(shí)，|pa|pf|取最小值|af| (21)2165，所以|pa|pf|的最小值為 1

16、.答案：12(2020河北省九校第二次聯(lián)考)已知拋物線 c：y22px(p0)的焦點(diǎn)為 f，若過點(diǎn) f且斜率為 1 的直線與拋物線相交于 m，n 兩點(diǎn)，且|mn|8.(1)求拋物線 c 的方程；(2)設(shè)直線 l 為拋物線 c 的切線，且 lmn，p 為 l 上一點(diǎn)，求pmpn的最小值解：(1)由題意可知 fp2，0，則直線 mn 的方程為 yxp2，代入 y22px(p0)得 x23pxp240，設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)，則 x1x23p，因?yàn)閨mn|8，所以 x1x2p8，即 3pp8，解得 p2，所以拋物線 c 的方程為 y24x.(2)設(shè)直線 l 的方程為 yxb，代入 y

17、24x，得 x2(2b4)xb20，因?yàn)橹本€ l 為拋物線 c 的切線，所以0，解得 b1，所以 l 為 yx1.由(1)可知，x1x26，x1x21，設(shè) p(m，m1)，則pm(x1m，y1(m1)，pn(x2m，y2(m1)，所以pmpn(x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2，(y1y2)216x1x216，所以 y1y24，y21y224(x1x2)，所以 y1y24x1x2y1y24，pmpn16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714，當(dāng)且僅當(dāng) m2，即點(diǎn) p 的坐標(biāo)為(2，3)時(shí)，pmpn取

18、得最小值為14.基礎(chǔ)題組練1 過橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的右頂點(diǎn) a 且斜率為 k 的直線交橢圓 c 于另一個(gè)點(diǎn) b，且點(diǎn) b 在 x 軸上的射影恰好為左焦點(diǎn) f，若14k23，則橢圓離心率的取值范圍為()a13，34b13，34c0，34d13，1解析：選 b由題意知 bc，b2a ，所以 kb2acaaca1e.又14k23，所以141e23，解得13e34.2拋物線 y28x 的焦點(diǎn)為 f，設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若 x1x242 33|ab|，則afb 的最大值為_解析：由拋物線的焦半徑公式可得|af|x12，|bf|x22.又 x1x

19、242 33|ab|，即|ab|32(|af|bf|)，所以 cos afb|af|2|bf|2|ab|22|af|bf|af|2|bf|232(|af|bf|)22|af|bf|14|af|214|bf|232|af|bf|2|af|bf|18|af|bf|bf|af| 34182|af|bf|bf|af|3412，當(dāng)且僅當(dāng)|af|bf|bf|af|即|af|bf|時(shí)，等號(hào)成立又 0afb，所以afb 的最大值為23.答案：233設(shè)橢圓 e 的方程為x2a2y2b21(ab0)，點(diǎn) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) a 的坐標(biāo)為(a，0)，點(diǎn)b 的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn) m 在線段 ab 上，滿足|bm|2

20、|ma|，直線 om 的斜率為510.(1)求 e 的離心率 e；(2)設(shè)點(diǎn) c 的坐標(biāo)為(0，b)，n 為線段 ac 的中點(diǎn)，證明：mnab.解：(1)由題設(shè)條件知，點(diǎn) m 的坐標(biāo)為23a，13b，又 kom510，從而b2a510.進(jìn)而 a 5b，c a2b22b，故 eca2 55.(2)證明：由 n 是 ac 的中點(diǎn)知，點(diǎn) n 的坐標(biāo)為a2，b2 ，可得nma6，5b6 .又 ab(a，b)，從而有abnm16a256b216(5b2a2)由(1)的計(jì)算結(jié)果可知 a25b2，所以abnm0，故 mnab.4(2020重慶南開中學(xué)質(zhì)檢)已知 a(0， 2)，b( 3，1)是橢圓 c：x2

21、a2y2b21(ab0)上的兩點(diǎn)(1)求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，m 為橢圓 c 上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) p(3，0)，線段 pm 的垂直平分線交 y軸于點(diǎn) q，求|oq|的最小值解：(1)由題意知代入 a，b 兩點(diǎn)坐標(biāo)得2b21，3a21b21.解得 a26，b22，所以橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26y221.(2)根據(jù)題意知直線 pm，qn 的斜率存在且不為 0.設(shè)點(diǎn) m 坐標(biāo)為(x0，y0)，則x206y2021，即 x2063y20.線段 pm 的中點(diǎn) nx032，y02 ，kpmkqn1，即 kqn3x0y0，所以直線 lqn：yy023x0y0 xx032.令 x0，并結(jié)

22、合式得 yqy02x2092y0y0233y202y032y202y0，|oq|yq|32y202y0|32|y0|y0|232|y0|y0| 6，當(dāng)且僅當(dāng)32|y0|y0|，即 y062時(shí)取等號(hào)，所以|oq|的最小值為 6.綜合題組練1(2020河南階段性測試)已知橢圓x2a2y2b21(ab0)上的點(diǎn)到右焦點(diǎn) f(c，0)的最大距離是 21，且 1， 2a，4c 成等比數(shù)列(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn) f 且與 x 軸不垂直的直線 l 與橢圓交于 a，b 兩點(diǎn)，線段 ab 的垂直平分線交 x軸于點(diǎn) m(m，0)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍解：(1)由已知可得ac 21，14c2a2，a2b2

23、c2，解得a 2，b1，c1，所以橢圓的方程為x22y21.(2)由題意得 f(1，0)，設(shè)直線 ab 的方程為 yk(x1)與橢圓方程聯(lián)立得x22y220，yk(x1)，消去 y 可得(12k2)x24k2x2k220.設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 x1x24k212k2，y1y2k(x1x2)2k2k12k2.可得線段 ab 的中點(diǎn)為 n2k212k2，k12k2.當(dāng) k0 時(shí)，直線 mn 為 y 軸，此時(shí) m0.當(dāng) k0 時(shí)，直線 mn 的方程為yk12k21kx2k212k2，化簡得 kyxk212k20.令 y0，得 mk212k2.所以 mk212k211k220，12 .綜上所述，m 的取值范圍