2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）考點28 三角恒等變換（2）（解析版）

1、考點28 三角恒等變換（2）【命題解讀】運用兩角和與差以及二倍角進行化簡求值；能熟練解決變角問題；能熟練的運用公式進行求角【基礎(chǔ)知識回顧】 知識梳理1. 在三角函數(shù)式的化簡、求值、證明等三角恒等變換中，要注意將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)，如遇到正切、正弦、余弦并存的情況，一般要切化弦2. 要注意對“1”的代換：如1sin2cos2tan，還有1cos2cos2，1cos2sin2.3. 對于sincos與sin±cos同時存在的試題，可通過換元完成：如設(shè)tsin±cos，則sincos±.4. 要注意角的變換，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角與半角是相對的，如2

2、()()，()()，是的半角，是的倍角等5. 用三角方法求三角函數(shù)的最值常見的函數(shù)形式：(1)yasinxbcosxsin(x)，其中cos，sin.則y.(2)yasin2xbsinxcosxccos2x可先降次，整理轉(zhuǎn)化為上一種形式(3)y(或y)可轉(zhuǎn)化為只有分母含sinx或cosx的函數(shù)式sinxf(y)的形式，由正、余弦函數(shù)的有界性求解6. 用代數(shù)方法求三角函數(shù)的最值常見的函數(shù)形式：(1)yasin2xbcosxc可轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)式(2)yasinx(a，b，c0)，令sinxt，則轉(zhuǎn)化為求yat(1t1)的最值，一般可用基本不等式或單調(diào)性求解1、若sin 2，sin()

3、，且，則的值是()a.b.c.或 d.或【答案】a【解析】，2，sin 2，2.且cos 2.又sin()，cos()，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2××，又，.2、已知，若sin，cos，則sin()的值為_a b. c. d【答案】：a【解析】：由題意可得，所以cos，sin()，所以sin()sin()()3、已知sin ，sin()，均為銳角，則_.【答案】【解析】因為，均為銳角，所以<<.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin()×

4、5;.所以.4、(一題兩空)如圖，在平面直角坐標系xoy中，以x軸正半軸為始邊的銳角與鈍角的終邊與單位圓分別交于a，b兩點，x軸正半軸與單位圓交于點m，已知soam，點b的縱坐標是.則cos()_，2_.【答案】【解析】由題意，oaom1，因為soam和為銳角，所以sin ，cos .又點b的縱坐標是，所以sin ，cos ，所以cos()cos cos sin sin ××.因為cos 22cos212×21，sin 22sin cos 2××，所以2.因為，所以2.因為sin(2)sin 2cos cos 2sin ，所以2.5、【江蘇省南

5、通市海安高級中學(xué)2019-2020學(xué)年3月線上考試】若，則_【答案】【解析】，化為：，解得，故答案為考向一變角的運用例1、（2020江蘇蘇州五校12月月考）已知，則的值為_【答案】【解析】，又， =變式1、【江蘇省南通市如皋市2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期期初考】已知為銳角，且，則_【答案】【解析】因為為銳角，則，所以， .故答案為： .變式2、(2019通州、海門、啟東期末）設(shè)，已知向量a(sin，)，b，且ab.(1) 求tan的值；(2) 求cos的值【解析】 (1) 因為a(sina，)，b，且ab.所以sinacos，所以sin.2分因為，所以，(4分)所以cos，故sin所以ta

6、n.(6分)(2) 由(1)得cos2cos212×1.(8分)因為，所以2，所以sin.(10分)所以coscoscossinsin(12分).(14分)方法總結(jié)：所謂邊角就是用已知角表示所求的角，要重點把握住它們之間的關(guān)系，然后運用有關(guān)公式進行求解。考向二 求角例2、(2019蘇州期初調(diào)查）已知cos，.(1) 求sin的值；(2) 若cos()，求的值【解析】 (1) 由cos，得sin.(2分)所以sinsincoscossin(4分)××.(6分)(2) 因為，所以(0，)又cos()，則sin().(8分)所以sinsin()sin()coscos()

7、sin(10分)××.(12分)因為，所以.(14分)變式1、如圖，在平面直角坐標系xoy中，以ox軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于a，b兩點，已知a，b的橫坐標分別為，求：(1) tan()的值；(2) 2的大小【解析】： 由條件得cos，cos ，為銳角， sin，sin因此tan7，tan(1) tan()3(2) tan2， tan(2)1 ，為銳角， 0<2<， 2變式2、（2020江蘇揚州高郵上學(xué)期開學(xué)考）在平面直角坐標系中，銳角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，終邊上有一點(1)求的值；(2)若，且，求角的值【解析】(1)角的終

8、邊上有一點p，(2)由，得，則，因，則方法總結(jié)：求角的步棸：1、求角的某一個三角函數(shù)值，（結(jié)合具體情況確定是正弦、余弦還是正切）2、確定角的范圍（范圍盡量縮?。?、根據(jù)范圍和值確定角的大小?？枷蛉?公式的綜合運用 例3、【江蘇省南通市西亭高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)情調(diào)研】已知函數(shù)，（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間。（2）若方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍?！窘馕觥浚?） 由，解得：的單調(diào)遞減區(qū)間為： （2）即在區(qū)間上的圖象與直線有兩個不同的交點由（1）知：在上單調(diào)減，在上單調(diào)增， 當(dāng)時，在區(qū)間上的圖象與直線有兩個不同的交點，即方程在區(qū)間上兩個不同的實數(shù)解的取

9、值范圍為 變式1、（2020江蘇淮安楚州中學(xué)月考）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小值，并寫出取得最小值時自變量x的取值集合；(2)若，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間【解析】(1) 當(dāng)，即時，取得最小值0此時，取得最小值時自變量x的取值集合為(2)因為，令， 解得，又，令，令，所以函數(shù)在的單調(diào)增區(qū)間是和變式2、（2020江蘇如東高級中學(xué)月考）已知函數(shù)若，求函數(shù)的值域【解析】，由得，即函數(shù)的值域為方法總結(jié)：降冪公式是解決含有cos2x、sin2x式子的問題較常用的變形之一，它體現(xiàn)了逆用二倍角公式的解題技巧1、（2016新課標，理9）若，則abcd【答案】d【解析】法，法，故選2、（2011浙江）若，則a b c d

10、【答案】c【解析】，而，因此，則3、（2015江蘇）已知，則的值為_【答案】3【解析】4、（2012江蘇）設(shè)為銳角，若，則的值為 【答案】【解析】 因為為銳角，cos(=，sin(=，sin2(cos2(，所以sin(5、（2013廣東）已知函數(shù)(1) 求的值；(2) 若，求【解析】（1）（2）<<2，所以，因此6、（2019年高考浙江卷）設(shè)函數(shù).（1）已知函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）求函數(shù)的值域【解析】（1）因為是偶函數(shù)，所以，對任意實數(shù)x都有，即，故，所以又，因此或（2）因此，函數(shù)的值域是7、（2017年高考浙江卷）已知函數(shù)（1）求的值（2）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間【解析】（1）由，得（2）由與得所以的最小正周期是由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，解得，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是8、（2018年高考浙江卷）已知角的頂點與原點o重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點p（）（1）求sin（+）的值；（2）若角滿足sin（+）