2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）考點(diǎn)11 函數(shù)的奇偶性與周期性（解析版）

1、考點(diǎn)11 函數(shù)的奇偶性與周期性【命題解讀】關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的考查：以考查能力為主，往往以常見函數(shù)（二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)）為基本考察對象，以絕對值或分段函數(shù)的呈現(xiàn)方式，與不等式相結(jié)合，考查函數(shù)的基本性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性與最值、函數(shù)與方程（零點(diǎn)）、不等式的解法等，考查數(shù)學(xué)式子變形的能力、運(yùn)算求解能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.其中函數(shù)與方程考查頻率較高.涉及函數(shù)性質(zhì)的考查；【基礎(chǔ)知識回顧】 1、 奇、偶函數(shù)的定義對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，則稱f(x)為奇函數(shù)；對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)(或f(x)f

2、(x)0)，則稱f(x)為偶函數(shù)2、 奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)(2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱(3)若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)_0_(4)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則有f(|x|)f(x)(5)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反3、 周期性(1)周期函數(shù)對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)t，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xt)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱t為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(

3、x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期4、函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義，則一定有f(0)0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性5、函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量x：(1)若f(xa)f(x)，則t2a(a>0)(2)若f(xa)，則t2a(a>0)(3)若f(xa)，則t2a(a>0)6、函數(shù)圖象的對稱性(1)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，即f(ax)f(ax)，則函數(shù)yf(x)的圖象

4、關(guān)于直線xa對稱(2)若對于r上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱(3)若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，即f(xb)f(xb)0，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對稱1、下列函數(shù)為奇函數(shù)的是a b c d【答案】d【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除a；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以排除b；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以排除c；因?yàn)?，所以為奇函?shù)2、若函數(shù)為奇函數(shù)，則=(a) (b) (c) (d)1【答案】a【解析】為奇函數(shù)，得3、設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則=a3 b1 c1 d3【答案】a【解析】因?yàn)槭嵌x在r上的奇函數(shù)，

5、且當(dāng)時(shí)，選a4、設(shè)函數(shù)，的定義域都為r，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是a是偶函數(shù) b|是奇函數(shù)c|是奇函數(shù) d|是奇函數(shù)【答案】b【解析】為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，故為奇函數(shù)，|為奇函數(shù)，|為偶函數(shù)，|為偶函數(shù)，故選b5、（2019·福建莆田一中模擬）定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在0，1上是減函數(shù)，則有()af<f<fbf<f<fcf<f<fdf<f<f【答案】c【解析】因?yàn)閒(x2)f(x)，所以f(x22)f(x2)f(x)，所以函數(shù)的周期為4，作出f(x)的草圖(如圖)，由圖可知f<f<f，

6、6、(多選)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x)f(2x)0，下列說法正確的是()a函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)b函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)c函數(shù)f(x2)為偶函數(shù)d函數(shù)f(x3)為偶函數(shù)【答案】bc【解析】偶函數(shù)f(x)滿足f(x)f(2x)0，即有f(x)f(x)f(2x)，即為f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，可得f(x)的最小正周期為4，故a錯(cuò)誤，b正確；由f(x)f(2x)0，可得f(x)f(2x)0，兩式相減得f(2x)f(2x)0，故f(2x)f(2x)，f(x2)為偶函數(shù)，故c正確；由f(x)為偶函數(shù)得f(x3)f(x3)，若f(x3)為偶函數(shù)，則有f(

7、x3)f(x3)，可得f(x3)f(x3)，即f(x6)f(x)，可得6為f(x)的周期，這與4為最小正周期矛盾，故d錯(cuò)誤故選b、c.7、(2018江蘇)函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為 【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足()，所以函數(shù)的最小正周期是4因?yàn)樵趨^(qū)間 上，所以考向一奇偶性的定義與判斷例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)【解析】：(1)由得x±1，f(x)的定義域?yàn)?,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)±f(x)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，不關(guān)于坐

8、標(biāo)原點(diǎn)對稱，函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(3)f(x)的定義域?yàn)閞，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)(4)由得2x2且x0f(x)的定義域?yàn)?,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)(5)易知函數(shù)的定義域?yàn)?，0)(0，)關(guān)于原點(diǎn)對稱，又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x2x，則當(dāng)x<0時(shí)，x>0，故f(x)x2xf(x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)x2x，則當(dāng)x>0時(shí)，x<0，故f(x)x2xf(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)變式1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1)；(3)f(x).（4）f(x)【

9、解析】(1)由得x±3.f(x)的定義域?yàn)?，3，此時(shí)f(x)0.又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.即f(x)±f(x)f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)(2)由得1<x1.f(x)的定義域(1，1不關(guān)于原點(diǎn)對稱f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(3)由得2x2且x0.f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，2，關(guān)于原點(diǎn)對稱此時(shí)，有f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)(3)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x22x1，x<0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)x22x1，x>0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)

10、所以f(x)為奇函數(shù)變式2、判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x).【解析】：(1)由x21x±1，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，1，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x)0，所以f(x)f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)因?yàn)閒(x)有意義，則滿足0，所以1<x1，所以f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f(x)為非奇非偶函數(shù)(3)因?yàn)樗?x2且x0，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱又f(x)，所以f(x)f(x)故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)方法總結(jié)：1. 判斷函數(shù)的奇偶性，首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱若函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，則此函

11、數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再化簡解析式，根據(jù)f(x)與f(x)的關(guān)系結(jié)合定義作出判斷2. 在函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的條件下，要說明一個(gè)函數(shù)是奇(偶)函數(shù)，必須證明f(x)f(x)(f(x)f(x)對定義域中的任意x都成立；而要說明一個(gè)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，則只須舉出一個(gè)反例就可以了3. 分段函數(shù)指在定義域的不同子集有不同對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從x0或x0來尋找等式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，只有當(dāng)對稱的兩個(gè)區(qū)間上滿足相同關(guān)系時(shí)，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性考向二 函數(shù)的周期性及應(yīng)用例2、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知定義在上的

12、函數(shù)滿足，且圖像關(guān)于對稱，當(dāng)時(shí)，則_.【答案】-2【解析】因?yàn)閳D像關(guān)于對稱，則，故是以8為周期的周期函數(shù)，故答案為：.變式1、已知函數(shù)f（x）滿足f（0）2，且對任意xr都滿足f（x+3）f（x），則f（2019）的值為（）a2019b2c0d2【答案】d【解析】f（x+3）f（x），f（x+6）f（x+3）f（x），f（x）的周期為6，f（2019）f（3），又f（3）f（0）2，f（2019）2故選：d變式2、 定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)當(dāng)3x<1時(shí)，f(x)(x2)2；當(dāng)1x<3時(shí)，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2 019)_【答案】338【解

13、析】由f(x6)f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為6，f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，在一個(gè)周期內(nèi)有f(1)f(2)f(6)1210101，f(1)f(2)f(2 019)f(1)f(2)f(3)336×112(1)336338.變式3、設(shè)是定義在上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則 【答案】【解析】變式4、設(shè)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x2)f(x)，當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)2xx2(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2，4時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2

14、016)【解析】(1)證明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)解x2，4，x4，2，4x0，2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2，4(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 015)0f(0)f(1)f(2)f(2 016)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(0)0方法總結(jié)：(1)判斷函

15、數(shù)的周期性只需證明f(xt)f(x)(t0)即可，且周期為t(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題(3)在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論“若t是函數(shù)的周期，則kt(kz且k0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用(4)除f(xt)f(x)(t0)之外，其它一些隱含周期的條件：，等考向三 函數(shù)奇偶性與單調(diào)性、周期性的應(yīng)用例3、（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，若，則x的取值范圍是_【答案】【解析】根據(jù)已知條件：當(dāng)時(shí)，有恒成立，得函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，故等價(jià)于，所以，

16、即.故答案為：.變式1、（2020·河南高三月考（理）已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則的解集是（ ）abcd【答案】d【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以關(guān)于直線對稱；因此，由得；又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增；所以，當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得；當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得；因此，的解集是.變式2、（2017江蘇）已知函數(shù)，其中是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 【答案】【解析】因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，因?yàn)椋詳?shù)在上單調(diào)遞增，又，即，所以，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為變式3、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，且當(dāng)時(shí)，下列命題正確的是（ ）ab函數(shù)在定義域

17、上是周期為的函數(shù)c直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)d函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮縜【解析】函數(shù)是上的奇函數(shù)，由題意可得，當(dāng)時(shí)，a選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，則，則函數(shù)不是上周期為的函數(shù)，b選項(xiàng)錯(cuò)誤；若為奇數(shù)時(shí)，若為偶數(shù)，則，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，所以，函數(shù)在上的值域?yàn)椋善婧瘮?shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上的值域?yàn)?，由此可知，函?shù)在上的值域?yàn)椋琩選項(xiàng)錯(cuò)誤；如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，此時(shí)，函數(shù)與函數(shù)沒有交點(diǎn)，則函數(shù)與函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，c選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：a.變式4、（多選題）（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）

18、a函數(shù)是周期函數(shù)b函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱c函數(shù)為上的偶函數(shù)d函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)【答案】abc【解析】因?yàn)椋?，即，故a正確；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，所以b正確；又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，根據(jù)，令代有，所以，令代有，即函數(shù)為上的偶函數(shù)，c正確；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，又函數(shù)為上的偶函數(shù)，所以函數(shù)不單調(diào)，d不正確.故選：abc.方法總結(jié)：1. 已知函數(shù)的奇偶性，反求參數(shù)的取值，有兩種思路：一種思路是根據(jù)定義，由f(x)f(x)或f(x)f(x)對定義域內(nèi)的任意x恒成立，建立起關(guān)于參數(shù)的方程，解方程求出參數(shù)之值；另一種思路就是從特殊入手，得出參數(shù)所滿足條件，再驗(yàn)證其充分性得出結(jié)

19、果2. 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性之間有著緊密的聯(lián)系，奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，掌握這一關(guān)系，對于求解有關(guān)奇偶性與單調(diào)性的綜合問題，有著極大的幫助，要予以足夠的重視1、（2020全國文10）設(shè)函數(shù)，則（ ）a是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增b是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減c是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增d是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】a【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，其關(guān)于原點(diǎn)對稱，而，函數(shù)為奇函數(shù)又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在（-，0）上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，在（-，0）上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在（-，0）上單調(diào)遞增故選a2、（2020山東8）若定義在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（ ）a b c d【答案】d【解析】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選d3、(2018全國卷)已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足若，則ab0c2d50【答案】c【解析】是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，是周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4， =，