專題05 函數(shù) 5.2二次函數(shù)與冪函數(shù) 題型歸納講義-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

1、高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 專題四 函數(shù)講義5.2 二次函數(shù)與冪函數(shù)知識梳理.二次函數(shù)與冪函數(shù)1二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)圖象定義域(，)(，)值域單調(diào)性在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x對稱2冪函數(shù)(1)定義：形如yx(r)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，為常數(shù)常見的五類冪函數(shù)為yx，yx2，yx3，yx，yx1.(2)

2、五種冪函數(shù)的圖象(3)性質(zhì)冪函數(shù)在(0，)上都有定義；當(dāng)>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，)上單調(diào)遞減題型一. 二次函數(shù)考點(diǎn)1.二次函數(shù)根的分布、恒成立問題1函數(shù)f（x）ax2+（a3）x+1在區(qū)間1，+）上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）a3，0）b（，3c2，0d3，0【解答】解：函數(shù)f（x）ax2+（a3）x+1在區(qū)間1，+）上是遞減的，當(dāng)a0時(shí)，f（x）3x+1，30，f（x）在r上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f（x）ax2+（a3）x+1為二次函數(shù)，二次函數(shù)在對稱軸右側(cè)單調(diào)遞

3、增，不可能在區(qū)間1，+）上遞減，故不符合題意；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f（x）ax2+（a3）x+1為二次函數(shù)，對稱軸為x=-a-32a，二次函數(shù)在對稱軸右側(cè)單調(diào)遞減，且f（x）ax2+（a3）x+1在區(qū)間1，+）上是遞減的，-a-32a-1，解得3a0，實(shí)數(shù)a的取值范圍是3a0綜合，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是3，0故選：d2設(shè)f（x）x22x+a若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（3，1【解答】解：f（x）的對稱軸為x1函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）內(nèi)有零點(diǎn)，0f(-1)0，即4-4a03+a0，解得3a1故答案為（3，13方程mx2（m1）x+10在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的根

4、，則m的取值范圍為（）am1bm3+22cm3+22或0m3-2d322m1【解答】解：構(gòu)造函數(shù)f（x）mx2（m1）x+1，圖象恒過點(diǎn)（0，1）方程mx2（m1）x+10在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的根，m00m-12m1f(1)00m0m1(m-1)2-4m0m3+22故選：b4已知命題p：xr，x2+（a1）x+10若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）a1，3b1，3c（1，3）d0，2【解答】解：依題意x2+（a1）x+10對任意實(shí)數(shù)x都成立，所以（a1）240，解得1a3故選：b5已知函數(shù)f（x）ax22x+2，若對一切x12，2，f（x）0都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）a4

5、，+）b（4，+）c12，+）d（12，+）【解答】解：由題意得，對一切x12，2，f（x）0都成立，即a2x-2x2=2x-2x2=-2（1x-12）2+12，而2（1x-12）2+1212，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（12，+）故選：d6已知不等式kx24kx30對任意k1，1時(shí)均成立，則x的取值范圍為(2-7，1)(3，2+7)【解答】解：令f（k）kx24kx3（x24x）k3，看作關(guān)于k的一次函數(shù)，不等式kx24kx30對任意k1，1時(shí)均成立，f(-1)0f(1)0，即-x2+4x-30x2-4x-30，解得2-7x1或3x2+7x的取值范圍為(2-7，1)(3，2+7)故答案為：(2-

6、7，1)(3，2+7)考點(diǎn)2.二次函數(shù)的值域與最值1函數(shù)yx22x+3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值為2，m的取值范圍是（）a（，2b0，2c1，2d1，+）【解答】解：作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示，當(dāng)x1時(shí)，y最小，最小值是2，當(dāng)x2時(shí)，y3，函數(shù)f（x）x22x+3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是1，2故選：c2求函數(shù)yx（xa）在x1，1上的最大值【解答】解：函數(shù)y（x-a2）2+a24圖象開口向下，對稱軸方程為x=a2，（1）當(dāng)a2-1，即a2時(shí)，由圖可知，當(dāng)x1時(shí)，ymaxa1；（2）當(dāng)1a21，即2a2時(shí)，由圖可知，當(dāng)x=a2時(shí)，ymax=a24；

7、（3）當(dāng)a21，即a2時(shí)，由圖可知，當(dāng)x1時(shí)，ymaxa1；故ymax=-(a+1)，a-2a24，-2a2a-1，a23已知函數(shù)f（x）=mx2-(m-2)x+m-1的值域是0，+），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是0，233【解答】解：當(dāng)m0時(shí)，（x）=mx2-(m-2)x+m-1=2x-1，值域是0，+），滿足條件；當(dāng)m0時(shí)，f（x）的值域不會是0，+），不滿足條件；當(dāng)m0時(shí)，f（x）的被開方數(shù)是二次函數(shù)，0，即（m2）24m（m1）0，-233m233，綜上，0m233，實(shí)數(shù)m的取值范圍是：0，233，故答案為：0，233，4已知函數(shù)f（x）（m2）x2+（m8）x（mr）是奇函數(shù)，若對于任意的x

8、r，關(guān)于x的不等式f（x2+1）f（a）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，1）【解答】解：由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，f（x）f（x）恒成立，即（m2）x2（m8）x（m2）x2（m8）x，故m20即m2，此時(shí)f（x）6x單調(diào)遞減的奇函數(shù)，由不等式f（x2+1）f（a）恒成立，可得x2+1a恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，x2+11，所以a1故答案為：（，1）題型二. 冪函數(shù)考點(diǎn)1.冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)1已知冪函數(shù)yx的圖象過點(diǎn)(12，4)，則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）a（，+）b（，0）c0，+）d（0，+）【解答】解：根據(jù)冪函數(shù)yx的圖象過點(diǎn)(12，4)，得(12)=4，解得2，所以函數(shù)yx2，x0；

9、所以函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+）故選：d2冪函數(shù)y（m2m5）xm2-4m+1的圖象分布在第一、二象限，則實(shí)數(shù)m的值為m3【解答】解：冪函數(shù)y（m2m5）xm2-4m+1的圖象分布在第一、二象限，m2m51，且m24m+1為偶數(shù)，求得m3，故答案為：33冪函數(shù)f(x)=(a-1)xm2-2m-3（a，mn）為偶函數(shù)，且在（0，+）上是減函數(shù)，則a+m3【解答】解：冪函數(shù)f(x)=(a-1)xm2-2m-3（a，mn），在（0，+）上是減函數(shù)，a11，且m22m30，a2，1m3，又mn，m0，1，2，又冪函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，m1，a+m3，故答案為：34已知函數(shù)f（x）=x-k2+k+2

10、，且f（2）f（3），則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（，1）（2，+）【解答】解：因?yàn)閒（x）=x-k2+k+2，且f（2）f（3），所以其在（0，+）上是減函數(shù)，所以根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，有k2+k+20，即k2k20，所以k1或k2故答案為（，1）（2，+）考點(diǎn)2.利用冪函數(shù)比較大小1已知a（53）13，b（23）34，c（53）14，則a，b，c的大小關(guān)系是（）abcababccbacdcba【解答】解：對于y=log53x是增函數(shù)，故c（53）14a（53）13，而b（23）341=(53)0c（53）14，故bca，故選：a2設(shè)a=(34)12，b=(43)14，c=(23)34，則a，b，c的大小順序是（）acabbcbacacbdbca【解答】解：a=(34)12=(916)141，b=(43)141，c=(23)34=(827)141；且08279161，函數(shù)y=x14在（0，+）上是單調(diào)增函數(shù)，所以(827)14(916)14，所以ca；綜上知，cab故選：a3已知冪函數(shù)f（x）（m1）2xm2-4m+2（mr），在（0，+）上單調(diào)遞增設(shè)alog54，b