2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）考點29 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（解析版）

1、考點29 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【命題解讀】三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查力度有所加強，往往將三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)結合考查，先利用三角公式進行化簡，然后進一步研究三角函數(shù)的性質(zhì).其中三角函數(shù)的定義域值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性以及圖象變換是主要考查對象，難度以中檔以下為主.【基礎知識回顧】 1用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)“五點法”作圖原理：在正弦函數(shù)ysin x，x0,2的圖象上，五個關鍵點是：(0,0)，(，0)，(2，0)在余弦函數(shù)ycos x，x0,2的圖象上，五個關鍵點是：(0,1)，(，1)，(2，1). (2)五點法作圖的三步驟：列表、描點、連線(注意光滑

2、)2正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域rr值域1,11,1r奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在(kz)上是遞增函數(shù)，在(kz)上是遞減函數(shù)在2k，2k(kz)上是遞增函數(shù)，在2k，2k(kz)上是遞減函數(shù)在(kz)上是遞增函數(shù)周期性周期是2k(kz且k0)，最小正周期是2周期是2k(kz且k0)，最小正周期是2周期是k(kz且k0)，最小正周期是對稱性對稱軸是xk(kz)，對稱中心是(k，0)(kz)對稱軸是xk(kz)，對稱中心是(kz)對稱中心是(kz)1、函數(shù)的定義域為（ ）abcd【答案】d【解析】因為，所以故函數(shù)的定義域為 ，選d。2、下

3、列關于函數(shù)y4sin x，x，的單調(diào)性的敘述，正確的是()a在，0上是增函數(shù)，在0，上是減函數(shù)b在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)c在0，上是增函數(shù)，在，0上是減函數(shù)d在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)【答案】b【解析】函數(shù)y4sin x在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故選b.3、（安徽省淮南市2019屆高三模擬） 若函數(shù)f(x)sin x(>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則等于()a.b.c2 d3【答案】b【解析】因為f(x)sin x(>0)過原點，所以當0x，即0x時，ysin x是增函數(shù)；當x，即x時，ysin x是減函數(shù)由f(x)sin x(>0)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)

4、遞減知，所以。4、下列關于函數(shù)的說法正確的是a在區(qū)間上單調(diào)遞增b最小正周期是c圖象關于成中心對稱d圖象關于直線成軸對稱【答案】【解析】令，解得，顯然滿足上述關系式，故正確；易知該函數(shù)的最小正周期為，故正確；令，解得，任取值不能得到，故錯誤；正切函數(shù)曲線沒有對稱軸，因此函數(shù)的圖象也沒有對稱軸，故錯誤5、 函數(shù)ycos的單調(diào)減區(qū)間為_【答案】：(kz)【解析】：由ycoscos得2k2x2k(kz)，解得kxk(kz)所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(kz)6、 函數(shù)ytan的圖象與x軸交點的坐標是_【答案】：，kz【解析】：由2xk(kz)得，x(kz)函數(shù)ytan的圖象與x軸交點的坐標是，kz考向一三角

5、函數(shù)的定義域例1(1)函數(shù)y的定義域為 (2)函數(shù)ylg(2sinx1)的定義域為 【答案】（1）（2）(kz)【解析】(1)要使函數(shù)有意義，必須使sinxcosx0.利用圖象，在同一坐標系中畫出上ysinx和ycosx的圖象，如圖所示在內(nèi)，滿足sinxcosx的x為，再結合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，原函數(shù)的定義域為.(2)由題意得根據(jù)圖象解得2kx2k，即定義域為(kz)變式1、 (1)函數(shù)y的定義域為_.(2)函數(shù)ylg(sin x)的定義域為_.【答案】（(1)(2)【解析】(1)要使函數(shù)有意義，必須有即故函數(shù)的定義域為.(2)函數(shù)有意義，則即解得所以2k<x2k(kz)，所以函數(shù)

6、的定義域為.變式2、函數(shù)y的定義域為_【答案】【解析】法一：要使函數(shù)有意義，必須使sin xcos x0.利用圖象，在同一坐標系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖象，如圖所示在0,2內(nèi)，滿足sin xcos x的x為，再結合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以原函數(shù)的定義域為.法二：sin xcos xsin0，將x視為一個整體，由正弦函數(shù)ysin x的圖象和性質(zhì)可知2kx2k(kz)，解得2kx2k(kz)所以定義域為.方法總結：三角函數(shù)定義域的求法(1)以正切函數(shù)為例，應用正切函數(shù)ytan x的定義域求函數(shù)yatan(x)的定義域轉化為求解簡單的三角不等式(2)求復雜函數(shù)的定義域轉化為

7、求解簡單的三角不等式2簡單三角不等式的解法(1)利用三角函數(shù)線求解(2)利用三角函數(shù)的圖象求解考向二 三角函數(shù)的值域(最值)例2、（1）2017·全國高考函數(shù)fsin2xcosx(x)的最大值是_(2)函數(shù)y的值域為_ _(3)函數(shù)f(x)cos2x6cos(x)的最大值為_【答案】（1）1；（2），)（3）5【解析】（1）f(x)1cos2xcosxcos2xcosx21，由自變量的范圍：x可得：cosx0，1，當cosx時，函數(shù)f(x)取得最大值1.(2)y1，當sinx1時，ymin1，值域為，)(3) f(x)cos2x6cos12sin2x6sinx22，當sinx1時函數(shù)

8、的最大值為5.變式1、(1)函數(shù)f(x)3sin在區(qū)間上的值域為_(2)設x，則函數(shù)y的最大值為_(3)函數(shù)ysin xcos xsin xcos x的值域為_【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)當x時，2x，sin，故3sin，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域為.(2)因為x，所以tan x0，y，當且僅當3tan x時等號成立，故最大值為.(3)設tsin xcos x，則t，t2sin2xcos2x2sin xcos x，則sin xcos x，yt(t1)21.當t1時，ymax1；當t時，ymin.函數(shù)的值域為.變式2、函數(shù)的最大值為_，最小值為_【答案】 【解析】：(1)由 ，得.3

9、x或0x函數(shù)ylg(sin 2x)的定義域為 (2)令tsin x，|x|，tyt2t12，當t時，ymax，當t時，ymin函數(shù)的最大值為，最小值為方法總結：求三角函數(shù)的值域(最值)的3種類型及解法思路(1)形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yasin(x)k的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設sin xt，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函數(shù)，可先設tsin x±cos x，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)考向三 三角函數(shù)的單調(diào)性例3、寫

10、出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)ysin；(2)y|tan x|【解析】：(1)ysinsin，它的遞增區(qū)間是ysin的遞減區(qū)間，它的遞減區(qū)間是ysin的遞增區(qū)間由2k2x2k，kz，得kxk，kz由2k2x2k，kz，得kxk，kz故所給函數(shù)的遞減區(qū)間為，kz；遞增區(qū)間為，kz(2)觀察圖象(圖略)可知，y|tan x|的遞增區(qū)間是，kz，遞減區(qū)間是，kz變式1：已知0，函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是_【答案】：【解析】：由x，0得，x，又ysin x在上遞減，所以，解得變式2：函數(shù)ycos的單調(diào)遞增區(qū)間為_【答案】：(kz)【解析】：函數(shù)ycos x的單調(diào)遞增區(qū)間為2k，2k，

11、kz由2k2x2k，kz，得kxk，kz方法總結：本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性首先化成yasin(x)的形式，再把x看作整體代入ysinx的相應單調(diào)區(qū)間內(nèi)求x的范圍即可對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集；其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關系可求解考查運算求解能力，整體代換及轉化與化歸的思想考向四 三角函數(shù)的奇偶性、周期性及對稱性例4、（1） 函數(shù)y2cos21是_最小正周期為的奇函數(shù)； 最小正周期為的偶函數(shù)；最小正周期為的奇函數(shù)； 最小正周期為的非奇非偶函數(shù)（2）當x時，函數(shù)f(x)sin(x)取得最小值，則函數(shù)

12、yf滿足_是奇函數(shù)且圖象關于點對稱； 是偶函數(shù)且圖象關于點(，0)對稱；是奇函數(shù)且圖象關于直線x對稱；是偶函數(shù)且圖象關于直線x對稱（3） 函數(shù)ycos(3x)的圖象關于原點成中心對稱圖形，則_【答案】：（1）（2） （3）k(kz)【解析】：（1）因為ycossin 2x，所以是最小正周期為的奇函數(shù)（2）當x時，函數(shù)f(x)取得最小值，sin1，2k(kz)f(x)sinsinyfsin(x)sin xyf是奇函數(shù)，且圖象關于直線x對稱（3）由題意，得ycos(3x)是奇函數(shù)，故k(kz)變式1、(1)若函數(shù)f(x)3sin，(0，)為偶函數(shù)，則的值為_(2)若函數(shù)ycos(n*)圖象的一個對

13、稱中心是，則的最小值為_【答案】（1）.（2）2【解析】(1)由題意知f(x)為偶函數(shù)，關于y軸對稱，f(0)3sin±3，k，kz，又0，.(2)由題意知k(kz)，6k2(kz)，又n*，min2.變式2、下列函數(shù)，最小正周期為的偶函數(shù)有abcd【答案】【解析】：函數(shù)的最小正周期為，且該函數(shù)為奇函數(shù)，故排除；函數(shù)的最小正周期為，且該函數(shù)為偶函數(shù)，故滿足條件；函數(shù)的最小正周期為，且該函數(shù)為偶函數(shù)，故不滿足條件，故排除；函數(shù)的最小正周期為，且該函數(shù)為偶函數(shù)，故滿足條件，方法總結：本題考查三角函數(shù)的奇偶性與對稱性求f(x)的對稱軸，只需令xk(kz)，求x即可；如果求f(x)的對稱中心

14、的橫坐標，只需令xk(kz)，求x即可奇偶性可以用定義判斷，也可以通過誘導公式將yasin(x)轉化為yasinx或yacosx.考查運算求解能力，整體代換及轉化與化歸的思想1、【2019年高考全國卷理數(shù)】函數(shù)f(x)=在的圖象大致為abcd【答案】d【解析】由，得是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，排除a又，排除b，c，故選d2、【2019年高考全國卷理數(shù)】關于函數(shù)有下述四個結論：f(x)是偶函數(shù)f(x)在區(qū)間（，）單調(diào)遞增f(x)在有4個零點f(x)的最大值為2其中所有正確結論的編號是a bcd【答案】c【解析】為偶函數(shù)，故正確當時，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故錯誤當時，它有兩個零點：；當時，它有一個零

15、點：，故在有個零點：，故錯誤當時，；當時，又為偶函數(shù)，的最大值為，故正確綜上所述，正確，故選c3、【2019年高考全國卷理數(shù)】下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是af(x)=|cos2x| bf(x)=|sin2x| cf(x)=cos|x| df(x)=sin|x|【答案】a【解析】作出因為的圖象如下圖1，知其不是周期函數(shù)，排除d；因為，周期為，排除c；作出圖象如圖2，由圖象知，其周期為，在區(qū)間(，)單調(diào)遞增，a正確；作出的圖象如圖3，由圖象知，其周期為，在區(qū)間(，)單調(diào)遞減，排除b，故選a圖1圖2圖34、【2018年高考全國卷ii理數(shù)】若在是減函數(shù)，則的最大值是a bc d【答案】a【解析】因為，所以由得，因此，從而的最大值為，故選a.5、【2019年高考北京卷理數(shù)】函數(shù)f（x）=sin22x的最小正周期是_【答案】【解析】函數(shù)，周期為.6、【2020年高考全國iii卷理數(shù)】.關于函數(shù)f（x）=有如下四個命題