2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第九章 9.3圓的方程-教師版

1、 第1課時(shí)進(jìn)門(mén)測(cè)判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)已知點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則以ab為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(3)方程ax2bxycy2dxeyf0表示圓的充要條件是ac0，b0，d2e24af>0.()(4)方程x22axy20一定表示圓(×)(5)若點(diǎn)m(x0，y0)在圓x2y2dxeyf0外，則xydx0ey0f0.()作業(yè)檢查無(wú)第2課時(shí)階段訓(xùn)練題型一求圓的方程例1(1)已知圓c的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)m(0，)在圓c上，且圓心到直線(xiàn)2xy0的距

2、離為，則圓c的方程為_(kāi)(2)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案(1)(x2)2y29(2)2y2解析(1)因?yàn)閳Ac的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)c(a,0)，且a>0，所以圓心到直線(xiàn)2xy0的距離d，解得a2，所以圓c的半徑r|cm|3，所以圓c的方程為(x2)2y29.(2)由題意知圓過(guò)(4,0)，(0,2)，(0，2)三點(diǎn)，(4,0)，(0，2)兩點(diǎn)的垂直平分線(xiàn)方程為y12(x2)，令y0，解得x，圓心為，半徑為.思維升華(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則

3、設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于d、e、f的方程組，進(jìn)而求出d、e、f的值已知圓c關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(1,0)，且被x軸分成兩段弧，弧長(zhǎng)之比為12，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案x2(y±)2解析圓c關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可設(shè)c(0，b)，設(shè)圓c的半徑為r，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(yb)2r2，依題意，得解得于是圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y±)2.題型二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題例2已知點(diǎn)(x，y)在圓(x2)2(y3)21上求xy的最大值和最小值解設(shè)txy，則yxt，t可視為

4、直線(xiàn)yxt的在y軸上的截距，xy的最大值和最小值就是直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線(xiàn)縱截距的最大值和最小值，即直線(xiàn)與圓相切時(shí)的在y軸上的截距由直線(xiàn)與圓相切得圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即1，解得t1或t1.xy的最大值為1，最小值為1.引申探究1在例2的條件下，求的最大值和最小值解可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的最大值和最小值，即直線(xiàn)與圓相切時(shí)的斜率設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)的方程為ykx，由直線(xiàn)與圓相切得圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即1，解得k2或k2.的最大值為2，最小值為2.2在例2的條件下，求的最大值和最小值解，求它的最值可視為求點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(1,

5、 2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心(2，3)到定點(diǎn)(1,2)的距離與半徑的和或差又圓心到定點(diǎn)(1,2)的距離為，的最大值為1，最小值為1.思維升華與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題的解法一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解(2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見(jiàn)類(lèi)型及解法形如u型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線(xiàn)的斜率的最值問(wèn)題；形如taxby型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)的截距的最值問(wèn)題；形如(xa)2(yb)2型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a，b)的距離平方的最值問(wèn)題已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程x2y24x1

6、0.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)x2y2的最大值和最小值解(1)如圖，方程x2y24x10表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，以為半徑的圓設(shè)k，即ykx，則圓心(2,0)到直線(xiàn)ykx的距離為半徑，即直線(xiàn)與圓相切時(shí)，斜率取得最大值、最小值由，解得k23，kmax，kmin.(2)設(shè)yxb，則yxb，當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)yxb與圓切于第四象限時(shí)，在y軸上的截距b取最小值，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，得，即b2±，故(yx)min2.(3)x2y2是圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，故連接oc，與圓交于b點(diǎn)，并延長(zhǎng)交圓于c，則(x2y2)max|oc|2(2)274，(x2y2)min|ob|

7、2(2)274.題型三與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題例3已知圓x2y24上一定點(diǎn)a(2,0)，b(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，p，q為圓上的動(dòng)點(diǎn)(1)求線(xiàn)段ap中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若pbq90°，求線(xiàn)段pq中點(diǎn)的軌跡方程解(1)設(shè)ap的中點(diǎn)為m(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，p點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y)因?yàn)閜點(diǎn)在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故線(xiàn)段ap中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)pq的中點(diǎn)為n(x，y)，在rtpbq中，|pn|bn|.設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接on，則onpq，所以|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線(xiàn)段pq

8、中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線(xiàn)等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式等設(shè)定點(diǎn)m(3,4)，動(dòng)點(diǎn)n在圓x2y24上運(yùn)動(dòng)，以om、on為兩邊作平行四邊形monp，求點(diǎn)p的軌跡解如圖所示，設(shè)p(x，y)，n(x0，y0)，則線(xiàn)段op的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線(xiàn)段mn的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，故，.從而又n(x3，y4)在圓上，故(x3)2(y4)24.因此所求軌跡為圓：(x3)2

9、(y4)24，但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)p在直線(xiàn)om上的情況)第3課時(shí)階段重難點(diǎn)梳理1圓的定義與方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(xa)2(yb)2r2(r>0)圓心(a，b)半徑為r一般x2y2dxeyf0充要條件：d2e24f>0圓心坐標(biāo)：(，)半徑r【知識(shí)拓展】1確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或d、e、f的方程組；(3)解出a、b、r或d、e、f代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2，點(diǎn)m(

10、x0，y0)(1)點(diǎn)在圓上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)點(diǎn)在圓外：(x0a)2(y0b)2>r2；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0a)2(y0b)2<r2.重點(diǎn)題型訓(xùn)練典例在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線(xiàn)yx26x1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓c上，求圓c的方程思想方法指導(dǎo)本題可采用兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法(1)一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線(xiàn)yx26x1與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)圓的方程為一般式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式(2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質(zhì)，知道圓心一定在圓上兩點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)上，從而設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，簡(jiǎn)化計(jì)算，顯然幾何法比代數(shù)法的計(jì)算量小，因此平時(shí)訓(xùn)練多采用幾何法解題規(guī)

11、范解答解一般解法(代數(shù)法)曲線(xiàn)yx26x1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(32，0)，(32，0)，設(shè)圓的方程是x2y2dxeyf0(d2e24f>0)，則有解得故圓的方程是x2y26x2y10.巧妙解法(幾何法)曲線(xiàn)yx26x1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(32，0)，(32，0)故可設(shè)c的圓心為(3，t)，則有32(t1)2(2)2t2，解得t1.則圓c的半徑為3，所以圓c的方程為(x3)2(y1)29.1將圓x2y22x4y10平分的直線(xiàn)是()axy10 bxy30 cxy10 dxy30答案c解析圓心是(1,2)，所以將圓心坐標(biāo)代入檢驗(yàn)選項(xiàng)c滿(mǎn)足2方程x2y

12、2mx2y30表示圓，則m的范圍是()a(，)(，)b(，2)(2，)c(，)(，)d(，2)(2，)答案b解析將x2y2mx2y30化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得(x)2(y1)213.由其表示圓可得2>0，解得m<2或m>2.3圓c的圓心在x軸上，并且過(guò)點(diǎn)a(1,1)和b(1,3)，則圓c的方程為_(kāi)答案(x2)2y210解析設(shè)圓心坐標(biāo)為c(a,0)，點(diǎn)a(1,1)和b(1,3)在圓c上，|ca|cb|，即，解得a2，圓心為c(2,0)，半徑|ca|，圓c的方程為(x2)2y210.4已知ar，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，則圓心坐標(biāo)是_，半徑是_答案(2，4)5解析由

13、已知方程表示圓，則a2a2，解得a2或a1.當(dāng)a2時(shí)，方程不滿(mǎn)足表示圓的條件，故舍去當(dāng)a1時(shí)，原方程為x2y24x8y50，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y4)225，表示以(2，4)為圓心，半徑為5的圓.作業(yè)布置1已知點(diǎn)a(1，1)，b(1,1)，則以線(xiàn)段ab為直徑的圓的方程是 ()ax2y22 bx2ycx2y21 dx2y24答案a解析ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，|ab|2，圓的方程為x2y22.2圓心在y軸上，且過(guò)點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()ax2y210y0 bx2y210y0cx2y210x0 dx2y210x0答案b解析根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，r)，半徑為r，則

14、32(r1)2r2，解得r5，可得圓的方程為x2y210y0.3設(shè)圓的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，則原點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是 ()a原點(diǎn)在圓上 b原點(diǎn)在圓外c原點(diǎn)在圓內(nèi) d不確定答案b解析將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(y1)22a，因?yàn)?a1，所以(0a)2(01)22a(a1)20，即，所以原點(diǎn)在圓外4點(diǎn)p(4，2)與圓x2y24上任一點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)的軌跡方程是()a(x2)2(y1)21b(x2)2(y1)24c(x4)2(y2)24d(x2)2(y1)21答案a解析設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，xy4，連線(xiàn)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則代入xy4中得(x2)2(y1

15、)21.5圓c的圓心在y軸正半軸上，且與x軸相切，被雙曲線(xiàn)x21的漸近線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，則圓c的方程為()ax2(y1)21 bx2(y)23cx2(y1)21 dx2(y)23答案a解析依題意得，題中的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的斜率為，傾斜角為60°，結(jié)合圖形(圖略)可知，所求的圓c的圓心坐標(biāo)是(0,1)、半徑是1，因此其方程是x2(y1)21.6已知p是直線(xiàn)l：3x4y110上的動(dòng)點(diǎn)，pa，pb是圓x2y22x2y10的兩條切線(xiàn)(a，b是切點(diǎn))，c是圓心，那么四邊形pacb的面積的最小值是()a. b2 c. d2答案c解析圓的方程可化為(x1)2(y1)21，則c(1,1)，當(dāng)|pc|

16、最小時(shí)，四邊形pacb的面積最小，|pc|min2，此時(shí)|pa|pb|.所以四邊形pacb的面積s2×××1，故選c.7設(shè)直線(xiàn)l1：mx(m1)y10(mr)，則直線(xiàn)l1恒過(guò)定點(diǎn)_；若直線(xiàn)l1為圓x2y22y30的一條對(duì)稱(chēng)軸，則實(shí)數(shù)m_.答案(1,1)2解析l1方程變形為m(xy)y10，令得l1恒過(guò)定點(diǎn)(1,1)l1過(guò)圓心(0，1)，則m110，m2.8若圓c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)(4,0)，且與直線(xiàn)y1相切，則圓c的方程是_答案(x2)2(y)2解析因?yàn)閳A的弦的垂直平分線(xiàn)必過(guò)圓心且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)和(4,0)，所以設(shè)圓心為(2，m)又因?yàn)閳A與直線(xiàn)y1相切，所以|1

17、m|，解得m.所以圓c的方程為(x2)2(y)2.9圓心在直線(xiàn)x2y0上的圓c與y軸的正半軸相切，圓c截x軸所得弦的長(zhǎng)為2，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案(x2)2(y1)24解析設(shè)圓c的圓心為(a，b)(b>0)，由題意得a2b>0，且a2()2b2，解得a2，b1.所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.10直線(xiàn)mxy40與直線(xiàn)xmy40相交于點(diǎn)p，則p到點(diǎn)q(5,5)的距離|pq|的取值范圍是_答案，5解析直線(xiàn)mxy40過(guò)定點(diǎn)a(0,4)，直線(xiàn)xmy40過(guò)定點(diǎn)b(4,0)，且兩直線(xiàn)互相垂直，所以點(diǎn)p在以ab為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，圓心k(2,2)，r2.又|qk|3，所以32|pq|3

18、25，即|pq|的取值范圍是，511已知圓c經(jīng)過(guò)p(4，2)，q(1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)為4，半徑小于5.(1)求直線(xiàn)pq與圓c的方程；(2)若直線(xiàn)lpq，且l與圓c交于點(diǎn)a，b，且以線(xiàn)段ab為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線(xiàn)l的方程解(1)由題意知直線(xiàn)pq的方程為xy20.設(shè)圓心c(a，b)，半徑為r，由于線(xiàn)段pq的垂直平分線(xiàn)的方程是yx，即yx1，所以ba1.由圓c在y軸上截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)為4，知r212a2，可得(a1)2(b3)212a2，由得a1，b0或a5，b4.當(dāng)a1，b0時(shí)，r213，滿(mǎn)足題意，當(dāng)a5，b4時(shí)，r237，不滿(mǎn)足題意故圓c的方程為(x1)2y213.(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為yxm(m2)，a(x1，mx1)，b(x2，mx2)由題意可知oaob，即·0，x1x2(mx1)(mx2)0，化簡(jiǎn)得2x1x2m(x1x2)m20.由得2x22(m1)xm2120，x