全國通用版2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六單元解三角形學(xué)案文201806133171_20210103224758

1、第六單元 解三角形教材復(fù)習(xí)課“解三角形”相關(guān)基礎(chǔ)知識一課過正弦定理、余弦定理過雙基1正弦定理2r，其中r是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：(1)abcsin_asin_bsin_c；(2)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c.2余弦定理a2b2c22bccos_a，b2a2c22accos b，c2a2b22abcos_c.余弦定理可以變形：cos a，cos b，cos c.1設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若a2，c2 ，cos a，且bc，則b()a3b2c2 d.解析：選c由a2b2c22bccos a，得4b2126b，解得b2或4，bc，b2.

2、2在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若b2c2a2bc，則角a的大小為()a30° b60°c120° d150°解析：選b由余弦定理可得b2c2a22bccos a，又因為b2c2a2bc，所以cos a，則a60°.3在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若asin absin b<csin c，則abc的形狀是()a銳角三角形 b直角三角形c鈍角三角形 d不確定解析：選c根據(jù)正弦定理可得a2b2<c2.由余弦定理得cos c<0，所以角c是鈍角，故選c.4(2018·鄭州質(zhì)量預(yù)測)已知a

3、，b，c分別為abc三個內(nèi)角a，b，c的對邊，且(bc)(sin bsin c)(ac)sin a，則角b的大小為()a30° b45°c60° d120°解析：選a由正弦定理及(bc)(sin bsin c)(ac)·sin a，得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，所以a2c2b2ac，又因為cos b，所以cos b，所以b30°.5在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知bcos cbsin ca0，則b_.解析：由正弦定理可得sin bcos csin bsin csin asin(bc)sin bc

4、os csin ccos b，則sin bsin csin ccos b，又sin c0，所以tan b，則b30°.答案：30°清易錯1由正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角時易忽視解的判斷2利用正、余弦定理解三角形時，要注意三角形內(nèi)角和定理對角的范圍的限制1在abc中，若a18，b24，a45°，則此三角形解的情況是()a無解 b兩解c一解 d不確定解析：選b，sin bsin asin 45°.又a<b，b有兩個解，即此三角形有兩解2設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若a，sin b，c，則b_.解析：在ab

5、c中，sin b，0<b<，b或b.又bc<，c，b，a.，b1.答案：13在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知a7，b8，c13，則角c的大小為_解析：在abc中，a7，b8，c13，由余弦定理可得cos c，c(0，)，c.答案：三角形的面積公式過雙基設(shè)abc的邊為a，b，c，所對的三個角為a，b，c，其面積為s.(1)sah(h表示邊a上的高)(2)sbcsin aacsin babsin c.(3)sr(abc)(r為abc內(nèi)切圓的半徑)1在abc中，a，b，c分別是角a，b，c的對邊，若a1，b，b60°，則abc的面積為()a. b.c1

6、 d.解析：選b在abc中，由正弦定理可得sin a，則a30°，所以c90°，則abc的面積sabsin c×1××1.2在abc中，a60°，ab2，且abc的面積為，則bc的長為()a. b.c2 d2解析：選b由題意sabc·ab·ac·sin a，則ac1，由余弦定理可得bc.3在abc中，b120°，ac7，ab5，則abc的面積為_解析：由余弦定理知7252bc22×5×bc×cos 120°，即4925bc25bc，解得bc3.故sabca

7、b·bcsin b×5×3×.答案：4在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.已知abc的面積為3，bc2，cos a，則a的值為_解析：由cos a，得sin a，所以abc的面積為bcsin abc×3，解得bc24，又bc2，所以a2b2c22bccos a(bc)22bc2bccos a222×242×24×64，解得a8.答案：8清易錯應(yīng)用三角形面積公式sabsin cacsin bbcsin a時，注意公式中的角應(yīng)為兩邊的夾角在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若a2，c2，

8、a30°，則abc的面積為_解析：a2，c2，a30°，由正弦定理得sin c，c60°或120°，b90°或30°，則sabcacsin b2或.答案：2或正弦、余弦定理實際應(yīng)用中的有關(guān)術(shù)語過雙基1仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖)2方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如b點的方位角為(如圖)3方向角相對于某一正方向的水平角(1)北偏東，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達目標(biāo)方向(如圖)；(2)北偏西，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)到達目標(biāo)方向；(3)南偏西等其他方向角類似4坡角

9、與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角(如圖，角為坡角)；(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比1(2018·濰坊調(diào)研)海面上有a，b，c三個燈塔，ab10 n mile，從a望c和b成60°視角，從b望c和a成75°視角，則bc()a10 n mileb. n milec5 n mile d5 n mile解析：選d如圖，在abc中，c180°60°75°45°，又a60°，由正弦定理，得，即，解得bc5.2江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，

10、由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距_m.解析：如圖，omao·tan 45°30(m)，onao·tan 30°×3010(m)，在mon中，由余弦定理得，mn 10(m)答案：103.如圖，一艘船上午9：30在a處測得燈塔s在它的北偏東30°的方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達b處，此時又測得燈塔s在它的北偏東75°的方向，且與它相距8 n mile.則此船的航速是_n mile/h.解析：設(shè)航速為v n mile/h，

11、在abs中abv，bs8，bsa45°，由正弦定理得，則v32.答案：32清易錯易混淆方位角與方向角概念：方位角是指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角若點a在點c的北偏東30°，點b在點c的南偏東60°，且acbc，則點a在點b的()a北偏東15° b北偏西15°c北偏東10° d北偏西10°解析：選b如圖所示，acb90°，又acbc，cba45°，而30°，90°45°30°15°.點a在點b

12、的北偏西15°.一、選擇題1已知abc中，sin asin bsin c11，則此三角形的最大內(nèi)角為()a60°b90°c120° d135°解析：選csin asin bsin c11，abc11，設(shè)am，則bm，cm.cos c，c120°.2在abc中，已知b40，c20，c60°，則此三角形的解的情況是()a有一解 b有兩解c無解 d有解但解的個數(shù)不確定解析：選c由正弦定理得，sin b>1.角b不存在，即滿足條件的三角形不存在3在abc中，內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若c2a，b4，cos b.則c

13、的值為()a4 b2c5 d6解析：選ac2a，b4，cos b，由余弦定理得b2a2c22accos b，即16c2c2c2c2，解得c4.4已知abc中，內(nèi)角a，b，c所對邊分別為a，b，c，若a，b2acos b，c1，則abc的面積等于()a. b.c. d.解析：選b由正弦定理得sin b2sin acos b，故tan b2sin a2sin，又b(0，)，所以b，又ab，則abc是正三角形，所以sabcbcsin a×1×1×.5(2018·湖南四校聯(lián)考)在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若(a2b2c2)tan cab，則

14、角c的大小為()a.或 b.或c. d.解析：選a由題意知，cos c，sin c，又c(0，)，c或.6已知a，b兩地間的距離為10 km，b，c兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測得abc120°，則a，c兩地間的距離為()a10 km b10 kmc10 km d10 km解析：選d如圖所示，由余弦定理可得，ac21004002×10×20×cos 120°700，ac10(km)7(2018·貴州質(zhì)檢)在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別是a，b，c，若c2(ab)26，c，則abc的面積是()a3 b.c. d3解析：選cc2(

15、ab)26，c2a2b22ab6.c，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.sabcabsin c×6×.8一艘海輪從a處出發(fā)，以每小時40 n mile的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達b處，在c處有一座燈塔，海輪在a處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在b處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么b，c兩點間的距離是()a10 n mileb10 n milec20 n mile d20 n mile解析：選a畫出示意圖如圖所示，易知，在abc中，ab20，cab30°，acb45°，

16、根據(jù)正弦定理得，解得bc10.故b，c兩點間的距離是10 n mile.二、填空題9在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且a2，cos c，3sin a2sin b，則c_.解析：因為3sin a2sin b，所以由正弦定理可得3a2b，則b3，由余弦定理可得c2a2b22abcos c492×2×3×16，則c4.答案：410在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.若角a，b，c成等差數(shù)列，且邊a，b，c成等比數(shù)列，則abc的形狀為_解析：在abc中，角a，b，c成等差數(shù)列，2bac，由三角形內(nèi)角和定理，可得b，又邊a，b，c成等比數(shù)列，

17、b2ac，由余弦定理可得b2a2c22accos b，aca2c2ac，即a2c22ac0，故(ac)20，可得ac，所以abc的形狀為等邊三角形答案：等邊三角形11已知abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且ax，b2，b45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍為_解析：由acb2，要使三角形有兩解，就是要使以c為圓心，以2為半徑的圓與ab有兩個交點，當(dāng)a90°時，圓與ab相切，只有一解；當(dāng)a45°時，交于b點，也就是只有一解，所以要使三角形有兩解，需滿足45°<a<90°，即<sin a<1，由正弦定理可得a

18、x2sin a，所以2<x<2.答案：(2,2)12如圖，航空測量組的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s.某一時刻飛機看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420 s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開m(取1.4，1.7)解析：如圖，作cd垂直于ab的延長線于點d，由題意知a15°，dbc45°，acb30°，ab50×42021 000(m)又在abc中，bc×sin 15°10 500()cdad，cdbc·sindbc10 500()&

19、#215;10 500(1)7 350.故山頂?shù)暮０胃叨萮10 0007 3502 650(m)答案：2 650三、解答題13(2017·山東高考)在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c.已知b3，6，sabc3，求a和a.解：因為·6，所以bccos a6，又sabc3，所以bcsin a6，因此tan a1，又0a，所以a.又b3，所以c2.由余弦定理a2b2c22bccos a，得a2982×3×2×29，所以a.14在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知2bcos cacos cccos a.(1)求角c的大小；(

20、2)若b2，c，求a及abc的面積解：(1)2bcos cacos cccos a，由正弦定理可得2sin bcos csin acos ccos asin c，即2sin bcos csin(ac)sin b.又sin b0，cos c，c.(2)b2，c，c，由余弦定理可得7a242×a×2×，即a22a30，解得a3或1(舍去)，abc的面積sabsin c×3×2×.高考研究課(一)正、余弦定理的3個基礎(chǔ)點邊角、形狀和面積全國卷5年命題分析考點考查頻度考查角度解三角形求邊、角5年6考求解三角形中的邊、角值三角形面積問題5年6考

21、由面積求邊、求比值，求面積最值利用正、余弦定理解三角形典例(2017·天津高考)在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.已知a>b，a5，c6，sin b.(1)求b和sin a的值；(2)求sin的值解(1)在abc中，因為a>b，故由sin b，可得cos b.由已知及余弦定理，得b2a2c22accos b13，所以b.由正弦定理，得sin a.所以b的值為，sin a的值為.(2)由(1)及a<c，得cos a，所以sin 2a2sin acos a，cos 2a12sin2a.故sinsin 2acoscos 2asin×.方法技巧應(yīng)

22、用正、余弦定理的解題策略(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到(2)三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷即時演練1(2017·山東高考)在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若abc為銳角三角形，且滿足sin b(12cos c)2sin acos ccos asin c，則下列等式成立的是()aa2bbb2ac

23、a2b db2a解析：選a由題意可知sin b2sin bcos csin acos csin(ac)，即2sin bcos csin acos c，又cos c0，故2sin bsin a，由正弦定理可知a2b.2(2017·全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若2bcos bacos cccos a，則b_.解析：法一：由2bcos bacos cccos a及正弦定理，得2sin bcos bsin acos csin ccos asin(ac)sin b0，因此cos b.又0b，所以b.法二：由2bcos bacos cccos a及余弦定理，得2b

24、83;a·c·，整理得，a2c2b2ac，所以2accos bac0，cos b.又0b，所以b.答案：3.(2018·成都二診)如圖，在平面四邊形abcd中，已知a，b，ab6.在ab邊上取點e，使得be1，連接ec，ed.若ced，ec.(1)求sinbce的值；(2)求cd的長解：(1)在bec中，由正弦定理，知.b，be1，ce，sinbce.(2)cedb，deabce，cosdea.a，aed為直角三角形，又ae5，ed2.在ced中，cd2ce2de22ce·de·cosced7282××2×49.c

25、d7.利用正、余弦定理判斷三角形形狀要判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷時，主要有如下兩條途徑：(1)角化邊；(2)邊化角.典例在abc中，“(a2b2)sin(ab)(a2b2)·sin(ab)”，試判斷三角形的形狀解(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，b2sin(ab)sin(ab)a2sin(ab)sin(ab)，2sin acos b·b22cos asin b·

26、;a2，即a2cos asin bb2sin acos b.法一：用“邊化角”解題由正弦定理得a2rsin a，b2rsin b，sin2acos asin bsin2bsin acos b，又sin a·sin b0，sin acos asin bcos b，sin 2asin 2b.在abc中，02a2，02b2，2a2b或2a2b，ab或ab.abc為等腰三角形或直角三角形法二：用“角化邊”解題由正弦定理、余弦定理得：a2b·b2a·，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.

27、abc為等腰三角形或直角三角形方法技巧判斷三角形形狀的2種方法(1)“邊化角”利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用abc這個結(jié)論(2)“角化邊”利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀提醒在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解即時演練1設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若bcos cccos basin a，則abc的形狀為()a銳角三角形 b直角三角形c鈍角三角形 d不確定解

28、析：選b依據(jù)題設(shè)條件的特點，由正弦定理，得sin bcos ccos bsin csin2a，有sin(bc)sin2a，從而sin(bc)sin asin2a，解得sin a1，a，abc是直角三角形2在abc中，“2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c，且sin bsin c1”，試判斷abc的形狀解：由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得，cos a，sin a，則sin2asin2bsin2csin bsin c.又sin bsin c1，所以sin bsin c，解得sin bsin c.因為0<b<，0&l

29、t;c<，故bc，所以abc是等腰鈍角三角形三角形面積問題典例(2017·全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知sin(ac)8sin2.(1)求cos b；(2)若ac6，abc的面積為2，求b.解(1)由題設(shè)及abc得sin b8sin2，即sin b4(1cos b)，故17cos2b32cos b150，解得cos b或cos b1(舍去)(2)由cos b，得sin b，故sabcacsin bac.又sabc2，則ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos b(ac)22ac(1cos b)362××4.所以b2.方法

30、技巧三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式sabsin cacsin bbcsin a，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化 即時演練1(2018·太原一模)在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若a60°，b1，sabc，則c等于()a1 b2c3 d4解析：選dsabcbcsin a，×1×c×，c4.2(2018·陜西四校聯(lián)考)在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且cos a.(1)求cos2cos 2a的值；(2)若a，求abc面積的

31、最大值解：(1)cos2cos 2a2cos2a12cos2a1×2×21.(2)由余弦定理可得()2b2c22bccos ab2c2bc2bcbcbc，所以bc，當(dāng)且僅當(dāng)bc時，bc有最大值.又cos a，a(0，)，所以sin a ，于是abc面積的最大值為××.1(2016·全國卷)在abc中，b，bc邊上的高等于bc，則cos a()a. b.c d解析：選c法一：設(shè)abc中角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，則由題意得sabca·aacsin b，ca.由余弦定理得b2a2c22accos ba2a22×a

32、15;a×a2，ba.cos a.法二：如圖，ad為abc中bc邊上的高設(shè)bca，由題意知adbca，b，易知bdada，dca.在rtabd中，由勾股定理得，ab a.同理，在rtacd中，ac a.cos a.2(2017·全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c.已知c60°，b，c3，則a_.解析：由正弦定理，得sin b，因為0°b180°，所以b45°或135°.因為bc，所以bc，故b45°，所以a180°60°45°75°.答案：75°3

33、(2016·全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若cos a，cos c，a1，則b_.解析：因為a，c為abc的內(nèi)角，且cos a，cos c，所以sin a，sin c，所以sin bsin(ac)sin(ac)sin acos ccos asin c××.又a1，所以由正弦定理得b×.答案：4(2017·全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c.已知abc的面積為.(1)求sin bsin c；(2)若6cos bcos c1，a3，求abc的周長解：(1)由題設(shè)得acsin b，即csin b.由正弦定理得

34、sin csin b.故sin bsin c.(2)由題設(shè)及(1)得cos bcos csin bsin c，即cos(bc).所以bc，故a.由題設(shè)得bcsin a，即bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，得bc.故abc的周長為3.5(2017·全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c.已知sin acos a0，a2，b2.(1)求c；(2)設(shè)d為bc邊上一點，且adac，求abd的面積解：(1)由已知可得tan a，所以a.在abc中，由余弦定理得284c24ccos ，即c22c240.解得c4(負值舍去)(2)由題設(shè)可得cad，所以badb

35、accad.故abd的面積與acd的面積的比值為1.又abc的面積為×4×2×sin2，所以abd的面積為.6(2016·全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知2cos c(acos bbcos a)c.(1)求c；(2)若c，abc的面積為，求abc的周長解：(1)由已知及正弦定理得2cos c(sin acos bsin bcos a)sin c，即2cos csin(ab)sin c，故2sin ccos csin c.因為sin c0，可得cos c，所以c.(2)由已知得absin c.又c，所以ab6.由已知及余弦定理得a

36、2b22abcos c7，故a2b213，從而(ab)225.所以abc的周長為5.7(2015·全國卷)abc中，d是bc上的點，ad平分bac，bd2dc.(1)求；(2)若bac60°，求b.解：(1)由正弦定理，得，.因為ad平分bac，bd2dc，所以.(2)因為c180°(bacb)，bac60°，所以sin csin(bacb)cos bsinb.由(1)知2sin bsin c，所以tan b，所以b30°.8(2013·全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知abcos ccsin b.(1)求b；

37、(2)若b2，求abc面積的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sin asin bcos csin csin b又a(bc)，故sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c由和c(0，)得sin bcos b.又b(0，)，所以b.(2)abc的面積sacsin bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，當(dāng)且僅當(dāng)ac時，等號成立因此abc面積的最大值為×1.一、選擇題1在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知a1，b，a30°，若b為銳角，則abc()a113b123c132 d141解析：選b因為a1，b，

38、a30°，b為銳角，所以由正弦定理可得sin b，則b60°，所以c90°，則abc123.2如果將直角三角形三邊增加相同的長度，則新三角形一定是()a銳角三角形b鈍角三角形c直角三角形d根據(jù)增加的長度確定三角形的形狀解析：選a設(shè)原來直角三角形的三邊長是a，b，c且a2b2c2，在原來的三角形三條邊長的基礎(chǔ)上都加上相同的長度，設(shè)為d，原來的斜邊仍然是最長的邊，故cos a>0，所以新三角形中最大的角是一個銳角，故選a.3(2018·太原模擬)在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若b2c2a2bc，且ba，則下列關(guān)系一定不成立的是()a

39、ac bbcc2ac da2b2c2解析：選b由余弦定理，得cos a，則a30°.又ba，由正弦定理得sin bsin asin 30°，所以b60°或120°.當(dāng)b60°時，abc為直角三角形，且2ac，可知c、d成立；當(dāng)b120°時，c30°，所以ac，即ac，可知a成立，故選b.4在直角梯形abcd中，abcd，abc90°，ab2bc2cd，則cosdac()a. b.c. d.解析：選b如圖所示，設(shè)cda，則易知aca，ada，在acd中，cd2ad2ac22ad×ac×cosdac

40、，a2(a)2(a)22×a×a×cosdac，cosdac.5在abc中，內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若abc的面積為s，且2s(ab)2c2，則tan c等于()a. b.c d解析：選c因為2s(ab)2c2a2b2c22ab，則由面積公式與余弦定理，得absin c2abcos c2ab，即sin c2cos c2，所以(sin c2cos c)24，即4，所以4，解得tan c或tan c0(舍去)6在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且滿足b2c2a2bc，·>0，a，則bc的取值范圍是()a. b.c. d.解

41、析：選b在abc中，b2c2a2bc，由余弦定理可得cos a，a是abc的內(nèi)角，a60°.a，由正弦定理得1，bcsin bsin(120°b)sin bcos bsin(b30°)·|·|·cos(b)>0，cos b<0，b為鈍角，90°<b<120°，120°<b30°<150°，故sin(b30°)，bcsin(b30°).二、填空題7在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且2ccos b2ab，若abc的面積

42、sc，則ab的最小值為_解析：將2ccos b2ab中的邊化為角可得2sin ccos b2sin asin b2sin ccos b2sin bcos csin b則2sin bcos csin b0，因為sin b0，所以cos c，則c120°，所以sabsin 120°c，則cab.由余弦定理可得2a2b22abcos c3ab，則ab12，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時取等號，所以ab的最小值為12.答案：128(2017·浙江高考)已知abc，abac4，bc2.點d為ab延長線上一點，bd2，連接cd，則bdc的面積是_，cosbdc_.解析：在abc中，abac

43、4，bc2，由余弦定理得cosabc，則sinabcsincbd，所以sbdcbd·bcsincbd×2×2×.因為bdbc2，所以cdbabc，則coscdb .答案：9已知a，b，c分別為abc三個內(nèi)角a，b，c的對邊，a2，且(2b)(sin asin b)(cb)sin c，則abc面積的最大值為_解析：因為a2，且(2b)(sin asin b)(cb)sin c，所以(ab)(sin asin b)(cb)sin c.由正弦定理得b2c2bc4，又因為b2c22bc，所以bc4，當(dāng)且僅當(dāng)bc2時取等號，此時三角形為等邊三角形，所以sbcsin

44、 60°×4×，故abc的面積的最大值為.答案：三、解答題10(2017·天津高考)在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.已知asin a4bsin b，ac(a2b2c2)(1)求cos a的值；(2)求sin(2ba)的值解：(1)由asin a4bsin b，及，得a2b.由ac(a2b2c2)及余弦定理，得cos a.(2)由(1)，可得sin a，代入asin a4bsin b，得sin b.由(1)知，a為鈍角，所以cos b.于是sin 2b2sin bcos b，cos 2b12sin2b，故sin(2ba)sin 2bco

45、s acos 2bsin a××.11在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c.已知asin bbcos a.(1)求角a的大小；(2)若a，b2，求abc的面積解：(1)因為asin bbcos a，由正弦定理得sin asin bsin bcos a.又sin b0，從而tan a.由于0<a<，所以a.(2)法一：由余弦定理a2b2c22bccos a，及a，b2，a，得74c22c，即c22c30.因為c>0，所以c3.故abc的面積sbcsin a.法二：由正弦定理，得，從而sin b，又由a>b，知a>b，所以cos b.故s

46、in csin(ab)sinsin bcos cos bsin .所以abc的面積sabsin c.12在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，sin b·(acos bbcos a)ccos b.(1)求b；(2)若b2，abc的面積為2，求abc的周長解：(1)由正弦定理得，sin b(sin acos bsin bcos a)sin ccos b，sin bsin(ab)sin ccos b，sin bsin csin ccos b.sin c0，sin bcos b，即tan b.b(0，)，b.(2)sabcacsin bac2，ac8.根據(jù)余弦定理得，b2a2

47、c22accos b，12a2c28，即a2c220，ac6，abc的周長為62.1在平面五邊形abcde中，已知a120°，b90°，c120°，e90°，ab3，ae3，當(dāng)五邊形abcde的面積s時，則bc的取值范圍為_解析：因為ab3，ae3，且a120°，由余弦定理可得be3，且abeaeb30°.又b90°，e90°，所以debebc60°.又c120°，所以四邊形bcde是等腰梯形易得三角形abe的面積為，所以四邊形bcde的面積的取值范圍是.在等腰梯形bcde中，令bcx，則cd3

48、x，且梯形的高為，故梯形bcde的面積為·(33x)·，即15(6x)x<24，解得x<2或4<x5.答案：，2)(4，52.如圖，有一直徑為8 m的半圓形空地，現(xiàn)計劃種植果樹，但需要有輔助光照半圓周上的c處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿足果樹生長的需要，該光源照射范圍是ecf，點e，f在直徑ab上，且abc.(1)若ce，求ae的長；(2)設(shè)ace，求該空地種植果樹的最大面積解：(1)由已知得abc為直角三角形，因為ab8，abc，所以bac，ac4.在ace中，由余弦定理得，ce2ac2ae22ac·aecos a，且ce，所以1316ae24ae，解得

49、ae1或ae3.(2)因為acb，ecf，所以ace，所以afcbacacf，在acf中，由正弦定理得，所以cf，在ace中，由正弦定理得，所以ce，所以secfce·cfsinecf.因為，所以2，所以0sin1，所以當(dāng)sin0，即時，secf取得最大值為4.即該空地種植果樹的最大面積為4 m2.高考研究課(二)正、余弦定理的3個應(yīng)用點高度、距離和角度全國卷5年命題分析考點考查頻度考查角度高度問題5年1考測量山高問題距離問題未考查角度問題未考查測量高度問題典例如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到a處時測得公路北側(cè)一山頂d在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到

50、達b處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度cd_m.解析由題意，在abc中，bac30°，abc180°75°105°，故acb45°.又ab600 m，故由正弦定理得，解得bc300 m.在rtbcd中，cdbc·tan 30°300×100 (m)答案100方法技巧利用正、余弦定理求解高度問題應(yīng)注意的3個方面(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地

51、面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題即時演練1.要測量底部不能到達的電視塔ab的高度，在c點測得塔頂a的仰角是45°，在d點測得塔頂a的仰角是30°，并測得水平面上的bcd120°，cd40 m，則電視塔的高度為()a10 mb20 mc20 m d40 m解析：選d設(shè)電視塔的高度為x m，則bcx，bdx.在bcd中，根據(jù)余弦定理得3x2x24022×40x×cos 120°，即x220x8000，解得x40或x

52、20(舍去)故電視塔的高度為40 m.2.如圖，為測得河岸塔ab的高，先在河岸上選一點c，使c在塔底b的正東方向上，測得點a的仰角為60°，再由點c沿北偏東15°方向走10 m到位置d，測得bdc45°，則塔ab的高是_m.解析：在bcd中，cd10，bdc45°，bcd15°90°105°，dbc30°，由正弦定理得，所以bc10.在rtabc中，tan 60°，abbctan 60°10(m)答案：10測量距離問題典例如圖所示，a，b兩點在一條河的兩岸，測量者在a的同側(cè)，且b點不可到達，要測

53、出a，b的距離，其方法在a所在的岸邊選定一點c，可以測出a，c的距離m，再借助儀器，測出acb，cab，在abc中，運用正弦定理就可以求出ab.若測出ac60 m，bac75°，bca45°，則a，b兩點間的距離為_m.解析abc180°75°45°60°，由正弦定理得，ab20(m)即a，b兩點間的距離為20 m.答案20方法技巧求距離問題的2個注意事項(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理即時演練1.如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)a，b兩點間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢胏，用經(jīng)緯儀測出角，再分別測出ac，bc的長b，a，則可求出a，b兩點間的距離即ab.若測得ca400 m，cb600 m，acb60°